以下の各問に答えよ．

(1)$3$次関数$f(x)=ax^3+bx^2-6$がある．$f^{\prime}(1)=7,\ f^{\prime}(-2)=4$となるように定数$a,\ b$の値を定めよ．
(2)次の計算をせよ．ただし，$i^2=-1$である．$\displaystyle \frac{2-i}{1+2i}$
(3)$(2x^2-1)^6$を展開したとき，$x^4$の項の係数を求めよ．
(4)$20$本のくじがあり，当たりくじの賞金と本数は$1$等$1000$円が$1$本，$2$等$500$円が$2$本，$3$等$300$円が$3$本である．ただし，はずれくじの賞金は$0$円である．いま，この中から$1$本のくじを引くときの賞金の期待値を求めよ．
(5)$x$は実数とする．命題「$x>0 \Longrightarrow |-x|>|x-1|$」の真偽を答えよ．また，偽であるときは反例をあげよ．
(6)初項$1$，公比$9$の等比数列$\{a_n\} \ (n=1,\ 2,\ \cdots)$を考える．不等式
\[ a_1+a_2+\cdots +a_k \leqq 2^{20}-2^{-3} \]
を満たす最大の整数$k$の値を求めよ．ただし，$\log_{10}2=0.3010,\ \log_{10}3=0.4771$とする．
(7)$\sqrt[12]{20000},\ \sqrt[3]{6+4\sqrt{3}},\ \sqrt[2]{4+\sqrt{2}}$の$3$数の大小を比較せよ．
(8)三角形$\mathrm{OAB}$において，辺$\mathrm{OA}$を$2:3$に内分する点を$\mathrm{C}$，辺$\mathrm{OB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{D}$，$2$直線$\mathrm{AD}$，$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{P}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$として，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．

$k$を定数とする．関数$f(\theta)=\cos 2\theta+4k \sin \theta+3k-3$について，次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle f \left( \frac{1}{2} \pi \right),\ f \left( \frac{3}{2} \pi \right)$を求めよ．
(2)$x= \sin \theta$として，$f(\theta)$を$x$で表せ．
(3)$-1 \leqq k \leqq 1$のとき，$f(\theta)$の最大値を求めよ．
(4)すべての$\theta$に対して常に$f(\theta) \leqq 0$となる$k$の値の範囲を求めよ．

$m$を定数とし，2つの曲線
\[ y=f(x)=-x^2+mx-3,\quad y=g(x)=x^3-x \]
が，点A$(a,\ f(a))$を通り，Aで共通の接線$\ell$をもつ．次の問いに答えよ．

(1)$y=g(x)$のグラフをかけ．
(2)$a,\ m$の値と，接線$\ell$の方程式を求めよ．
(3)積分$\displaystyle \int_0^3 |f(x)| \, dx$の値を求めよ．

$k$と$a$を正の定数とする．曲線$\displaystyle C:y=\frac{x}{x+k} \ (x \geqq 0)$と直線$x=a$および$x$軸で囲まれた図形を$x$軸のまわりに1回転してできる回転体の体積を$V_1$とする．また，曲線$C$と直線$\displaystyle y=\frac{a}{a+k}$および$y$軸で囲まれた図形を$y$軸のまわりに1回転してできる回転体の体積を$V_2$とする．このとき，比$\displaystyle \frac{V_2}{V_1}$を求めよ．

座標平面上に3点O$(0,\ 0)$，A$(r,\ 0)$，B$(0,\ 1)$がある．Oを中心として，Aを反時計回りに$\theta$回転した点をA$^\prime$とし，線分ABと線分OA$^\prime$の交点をPとする．ただし，$r$は$r>1$を満たす定数とし，$\theta$は$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$を満たす変数とする．$\theta$が不等式$\displaystyle \frac{1}{2}r \cos \theta \leqq \sin \theta \leqq 2r \cos \theta$を満たしながら変化するとき，$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$の最小値$M$と，そのときのPの座標$(k,\ l)$を求めよ．

行列$A,\ B$を$A=\biggl( \begin{array}{cc}
a-b & -b \\
b & a+b
\end{array} \biggr),\ B=\biggl( \begin{array}{cc}
-b & -b \\
b & b
\end{array} \biggr)$によって定める．ただし，$a,\ b$は定数で$b \neq 0$とする．行列$A$および$B$で表される1次変換をそれぞれ$f,\ g$とする．また，点P$(1,\ 2)$の$g$による像をQとし，点Pを通り，方向ベクトルが$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$である直線を$\ell$とする．ただし，Oは原点を表す．

(1)点Qの$g$による像を求めよ．
(2)点Pの$f$による像Rが直線$\ell$上にあれば，$a=1$であることを示せ．
(3)$a=1$のとき，直線$\ell$上のすべての点は$f$により$\ell$上に移ることを示せ．

次の問いに答えよ．

(1)次の等式$\displaystyle \int_0^{2\pi} \sin t \cos (x-t) \, dt=a \sin x+ b \cos x$が成り立つような定数$a,\ b$の値を求めよ．
(2)連続な関数$f(x)$と0でない実数$\alpha$は$\displaystyle \int_0^{2\pi}f(t) \cos (x-t) \, dt=\alpha f(x)$を満たしている．$f(0)=f^\prime(0)=1$であるとき，$\alpha$と$f(x)$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$A=\left( \begin{array}{cc}
2 & -1 \\
1 & 0
\end{array} \right)$について，以下の問いに答えよ．

(i) $A$は逆行列をもつことを示し，$A^{-1}$を求めよ．
(ii) $A^2,\ A^3,\ A^4$を求めよ．
(iii) 正の整数$n$に対して$A^n$を推測し，その推測が正しいことを証明せよ．

(2)$a,\ b,\ c$を定数とし，$a>0$であるとする．2次関数$f(x)=ax^2+bx+c \ (-1 \leqq x \leqq 1)$の最小値を求めよ．

表が出る確率が$p$，裏がでる確率が$1-p$である1個のコインがある．ただし，$p$は$0<p<1$である定数とする．このコインをくりかえし投げる試行を考える．$n$を2以上の自然数とし，$Q_n$を$n$回目に初めて2回続けて表が出る確率とする．以下の問いに答えよ．

(1)$Q_2,\ Q_3,\ Q_4$を$p$を用いて表せ．
(2)1回目に表が出た場合と裏が出た場合に分けることによって，$Q_{n+2}$を$Q_n,\ Q_{n+1}$および$p$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle p=\frac{3}{7}$のとき，一般項$Q_n$を$n$を用いて表せ．

$a$を正の定数とする．実数の変数$x$の関数$f(x)=(x+a)e^{2x^2}$について，以下の問いに答えよ．

(1)一階導関数$f^\prime(x)$はある多項式$g(x)$により$f^\prime(x)=g(x)e^{2x^2}$と表され，二階導関数$f^{\prime\prime}(x)$はある多項式$h(x)$により$f^{\prime\prime}(x)=h(x)e^{2x^2}$と表される．$g(x),\ h(x)$を求めよ．
(2)関数$f(x)$が極大値と極小値をもつための$a$の値の範囲を求めよ．
(3)$a$が(2)で求めた範囲にあるとする．関数$f(x)$が極大値をとる$x$の値を$\alpha$とし，極小値をとる$x$の値を$\beta$とする．このとき，$f^{\prime\prime}(\gamma)=0$となる$\gamma$が$\alpha$と$\beta$の間に存在することを示せ．