「定数」について
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私立 広島工業大学 2012年 第4問関数$f(x)=x^3+(a-2)x^2+3x$について，次の問いに答えよ．ただし，$a$は定数とする．
(1)$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)$f(x)$が極値をもつとき，$a$の値の範囲を求めよ．
(3)$f(x)$が$x=-a$で極値をもつとき，$a$の値を求めよ．さらに，このときの極大値を求めよ．
(1)$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)$f(x)$が極値をもつとき，$a$の値の範囲を求めよ．
(3)$f(x)$が$x=-a$で極値をもつとき，$a$の値を求めよ．さらに，このときの極大値を求めよ．
私立 広島工業大学 2012年 第5問次の各問いに答えよ．
(1)不等式$ax+3>2x$を解け．ただし，$a$は定数とする．
(2)$\displaystyle a=\frac{2}{\sqrt{3}+1},\ b=\frac{2}{\sqrt{3}-1}$とするとき，$\displaystyle \frac{b^2}{a}+\frac{a^2}{b}$の値を求めよ．
(3)$2$本の平行な直線上にそれぞれ$3$個と$4$個の点がある．この中の$3$点を選んでできる三角形の個数を求めよ．
(1)不等式$ax+3>2x$を解け．ただし，$a$は定数とする．
(2)$\displaystyle a=\frac{2}{\sqrt{3}+1},\ b=\frac{2}{\sqrt{3}-1}$とするとき，$\displaystyle \frac{b^2}{a}+\frac{a^2}{b}$の値を求めよ．
(3)$2$本の平行な直線上にそれぞれ$3$個と$4$個の点がある．この中の$3$点を選んでできる三角形の個数を求めよ．
私立 広島国際学院大学 2012年 第2問定義域$-2 \leqq x \leqq 3$において$2$次関数$f(x)=x^2+ax+3$を考える．$a$は定数である．
(1)$f(3)-f(-2)=-5$であるとき，$a$の値を求めなさい．
(2)$a$が$(1)$で求めた値をとるとき，定義域における$f(x)$の最大値と最小値，またそのときの$x$の値を求めなさい．
(1)$f(3)-f(-2)=-5$であるとき，$a$の値を求めなさい．
(2)$a$が$(1)$で求めた値をとるとき，定義域における$f(x)$の最大値と最小値，またそのときの$x$の値を求めなさい．
私立 福岡大学 2012年 第1問次の$[ ]$をうめよ．
(1)どのような実数$x$に対しても，不等式$x^2+ax+a>-2x^2+x+1$が成り立つ定数$a$の値の範囲は$[ ]$である．
また，$2$つの放物線$y=x^2+ax+a$と$y=-2x^2+x+1$が点$\mathrm{A}$を共有し，その点で共通な接線をもつとき，点$\mathrm{A}$の座標は$[ ]$である．
(2)$a=3^{96}$のとき，$\sqrt[3]{a}$は$[ ]$桁の整数である．また，$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{a}}$は，小数第$[ ]$位に初めて$0$でない数が現れる．ただし，$\log_{10}3=0.4771$とする．
(3)$0 \leqq x \leqq \pi$のとき，方程式$\displaystyle \sin x+\cos x+\sin 2x=-\frac{1}{2}$の解は，$x=[ ]$である．また，$\displaystyle -\frac{\pi}{2}<y<\frac{\pi}{2}$のとき，$\displaystyle \sin y+\sqrt{3} \cos y+4 \cos^2 \left( y+\frac{\pi}{3} \right)=4$の解は，$y=[ ]$である．
(1)どのような実数$x$に対しても，不等式$x^2+ax+a>-2x^2+x+1$が成り立つ定数$a$の値の範囲は$[ ]$である．
また，$2$つの放物線$y=x^2+ax+a$と$y=-2x^2+x+1$が点$\mathrm{A}$を共有し，その点で共通な接線をもつとき，点$\mathrm{A}$の座標は$[ ]$である．
(2)$a=3^{96}$のとき，$\sqrt[3]{a}$は$[ ]$桁の整数である．また，$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{a}}$は，小数第$[ ]$位に初めて$0$でない数が現れる．ただし，$\log_{10}3=0.4771$とする．
(3)$0 \leqq x \leqq \pi$のとき，方程式$\displaystyle \sin x+\cos x+\sin 2x=-\frac{1}{2}$の解は，$x=[ ]$である．また，$\displaystyle -\frac{\pi}{2}<y<\frac{\pi}{2}$のとき，$\displaystyle \sin y+\sqrt{3} \cos y+4 \cos^2 \left( y+\frac{\pi}{3} \right)=4$の解は，$y=[ ]$である．
私立 成城大学 2012年 第2問ある自動車が速度$x \; \mathrm{km/h}$で走行しているとき，ブレーキをかけてから停止するまでの距離を$y \; \mathrm{m}$とすると，$x$と$y$の間には$y=ax^2$という関係がある．ただし，$a$は定数とし，$x=50$のとき，$y=25$であるとする．
(1)$a$の値はいくつになるか．
(2)危険を感じてから実際にブレーキをかけるまでの時間が$0.9$秒である運転者が，この車を停止させるまでの距離を$51 \; \mathrm{m}$以下にするためには，速度何$\mathrm{km/h}$以下で走行すればよいか．
(1)$a$の値はいくつになるか．
(2)危険を感じてから実際にブレーキをかけるまでの時間が$0.9$秒である運転者が，この車を停止させるまでの距離を$51 \; \mathrm{m}$以下にするためには，速度何$\mathrm{km/h}$以下で走行すればよいか．
私立 津田塾大学 2012年 第3問関数$y=|x| (|x|-3)$のグラフを$C$とするとき，次の問に答えよ．
(1)点$(0,\ -b)$を通る$C$の接線の方程式をすべて求めよ．ただし，$b$は正の定数とする．
(2)$b \geqq 3$のとき，$(1)$で求めた接線と$C$とで囲まれた図形の面積を求めよ．
(1)点$(0,\ -b)$を通る$C$の接線の方程式をすべて求めよ．ただし，$b$は正の定数とする．
(2)$b \geqq 3$のとき，$(1)$で求めた接線と$C$とで囲まれた図形の面積を求めよ．
私立 北海学園大学 2012年 第3問$\mathrm{AB}=k$，$\displaystyle \mathrm{CA}=\frac{5}{3}k$，$\displaystyle \cos A=\frac{1}{3}$である三角形$\mathrm{ABC}$において，頂点$\mathrm{A}$から直線$\mathrm{BC}$に下ろした垂線と直線$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{H}$とする．ただし，$k$は定数で，$k>0$とする．
(1)辺$\mathrm{BC}$の長さを$k$を用いて表せ．
(2)線分$\mathrm{BH}$の長さを$k$を用いて表せ．
(3)線分$\mathrm{AH}$上に$\angle \mathrm{BDC}=90^\circ$となる点$\mathrm{D}$をとるとき，線分$\mathrm{BD}$の長さを$k$を用いて表せ．また，$\cos \angle \mathrm{BDA}$の値を求めよ．
(1)辺$\mathrm{BC}$の長さを$k$を用いて表せ．
(2)線分$\mathrm{BH}$の長さを$k$を用いて表せ．
(3)線分$\mathrm{AH}$上に$\angle \mathrm{BDC}=90^\circ$となる点$\mathrm{D}$をとるとき，線分$\mathrm{BD}$の長さを$k$を用いて表せ．また，$\cos \angle \mathrm{BDA}$の値を求めよ．
私立 北海道薬科大学 2012年 第4問関数$f(x)=x^3-2x^2$に対して，曲線$C$を$y=f(x)$で定義する．
(1)$C$上の点$(t,\ f(t))$における接線の方程式は
\[ y=([ア]t^2-[イ]t)(x-t)+t^3-[ウ]t^2 \]
である．
(2)$C$上の点$(a_n,\ f(a_n))$における接線が$C$上の他の点$(a_{n+1},\ f(a_{n+1}))$で交わるとすると
\[ a_{n+1}=[エオ]a_n+[カ] \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
が成り立つ．この式を$a_{n+1}-p=q(a_n-p)$とおくと，定数$p,\ q$の値は
\[ p=\frac{[キ]}{[ク]},\quad q=[ケコ] \]
となる．
(3)$a_1=3$のとき，$(2)$の結果より
\[ a_n=\frac{[サ]}{[シ]}+\frac{[ス]}{[セ]}([ソタ])^{n-1} \]
が得られる．
(1)$C$上の点$(t,\ f(t))$における接線の方程式は
\[ y=([ア]t^2-[イ]t)(x-t)+t^3-[ウ]t^2 \]
である．
(2)$C$上の点$(a_n,\ f(a_n))$における接線が$C$上の他の点$(a_{n+1},\ f(a_{n+1}))$で交わるとすると
\[ a_{n+1}=[エオ]a_n+[カ] \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
が成り立つ．この式を$a_{n+1}-p=q(a_n-p)$とおくと，定数$p,\ q$の値は
\[ p=\frac{[キ]}{[ク]},\quad q=[ケコ] \]
となる．
(3)$a_1=3$のとき，$(2)$の結果より
\[ a_n=\frac{[サ]}{[シ]}+\frac{[ス]}{[セ]}([ソタ])^{n-1} \]
が得られる．
私立 北海学園大学 2012年 第4問放物線$C:y=-x^2+ax$上の点$\mathrm{A}(a,\ 0)$を通り，傾きが$-1$の直線を$\ell$とする．ただし，$a$は定数で，$a>1$とする．
(1)$C$と$\ell$の共有点のうち，点$\mathrm{A}$とは異なる点の座標を$a$を用いて表せ．
(2)$C$と$\ell$で囲まれた図形の面積$S_1$を$a$を用いて表せ．また，曲線$C_1:y=-x^2+ax (0 \leqq x \leqq 1)$について，$C_1$，$\ell$および$y$軸によって囲まれた図形の面積$S_2$を$a$を用いて表せ．
(3)$S=S_1-S_2$とする．$S$の最小値とそのときの$a$の値を求めよ．
(1)$C$と$\ell$の共有点のうち，点$\mathrm{A}$とは異なる点の座標を$a$を用いて表せ．
(2)$C$と$\ell$で囲まれた図形の面積$S_1$を$a$を用いて表せ．また，曲線$C_1:y=-x^2+ax (0 \leqq x \leqq 1)$について，$C_1$，$\ell$および$y$軸によって囲まれた図形の面積$S_2$を$a$を用いて表せ．
(3)$S=S_1-S_2$とする．$S$の最小値とそのときの$a$の値を求めよ．
私立 法政大学 2012年 第2問直線$y=5x-9$を$\ell$とおく．また，$k$は実数の定数とする．
(1)放物線$y=x^2+ax-3$の頂点が$\ell$上にあるような実数$a$の値をすべて求めよ．
(2)放物線$y=x^2+ax+k$の頂点が$\ell$上にあるような実数$a$が少なくとも$1$つ存在するための$k$に関する条件を求めよ．
(3)実数の定数$a_1$と$a_2$に対し，放物線$y=x^2+a_1x+k$と$y=x^2+a_2x+k$の頂点がともに$\ell$上にあり，それら$2$頂点の間の距離が$13$であるとき，$k$の値を求めよ．
(1)放物線$y=x^2+ax-3$の頂点が$\ell$上にあるような実数$a$の値をすべて求めよ．
(2)放物線$y=x^2+ax+k$の頂点が$\ell$上にあるような実数$a$が少なくとも$1$つ存在するための$k$に関する条件を求めよ．
(3)実数の定数$a_1$と$a_2$に対し，放物線$y=x^2+a_1x+k$と$y=x^2+a_2x+k$の頂点がともに$\ell$上にあり，それら$2$頂点の間の距離が$13$であるとき，$k$の値を求めよ．