$a$を正の定数とし，座標平面において放物線$C:y=ax^2$上の点$\mathrm{P}(t,\ at^2)$を考える．ただし，$t>0$とする．点$\mathrm{P}$における$C$の接線$\ell$と$x$軸の交点を$\mathrm{R}$とする．$x$軸上の点$\mathrm{Q}$を，$\mathrm{RP}=\mathrm{RQ}$を満たし，その$x$座標が$\mathrm{R}$の$x$座標より大きいものとする．

(1)点$\mathrm{P}$を通り$\ell$と直交する直線の方程式を求めよ．
(2)点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(3)直線$\ell$と点$\mathrm{P}$において接し$x$軸とも接する円で，中心が第$1$象限にあるものを考える．この円の中心の座標を$(q,\ r)$とするとき，$q,\ r$を$t$と$a$を用いて表せ．
(4)$(3)$の$q,\ r$に対して，$t$が$0$に限りなく近づくときの，$\displaystyle \frac{q}{t},\ \frac{r}{t^2},\ \frac{r}{q^2}$の極限値をそれぞれ求めよ．

次の等式が成り立つように，定数$a,\ b,\ c,\ d$の値を定めよ．

(1)$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left\{ \frac{3x^2-5x+4}{x-1}-(ax+b) \right\}=0$

(2)$\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{x^2+cx+12}{x^2-5x+6}=d$

以下の問いに答えよ．

(1)$a_1=1$，$\displaystyle a_{n+1}=4a_n+\left( \frac{1}{3} \right)^n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定められた数列$\{a_n\}$を考える．$\alpha$を定数として
\[ b_n=a_n+\alpha \left( \frac{1}{3} \right)^n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
とおくと$\displaystyle \alpha=\frac{[ア]}{[イ][ウ]}$のとき，$\{b_n\}$は初項$\displaystyle \frac{[エ][オ]}{[カ][キ]}$，公比$[ク]$である等比数列となる．これより
\[ a_n=\frac{[ケ]}{[コ][サ]} \left( [シ]^n-\left( \frac{[ス]}{[セ]} \right)^n \right) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
である．
(2)$a_1=1$である数列$\{a_n\}$が$5^{n+1}a_{n+1}+24a_{n+1}a_n-5^na_n=0 (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を満たしているとき
\[ a_n=\frac{[ソ]^{n-1}}{[タ] \cdot [チ][ツ]^{n-1}-1} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
である．

$a,\ b,\ c$を定数とする．関数$\displaystyle f(x)=\frac{ax+b}{x^2+c}$は$x=2$，$x=4$で極値をとり，$f(0)=3$を満たす．

(1)$a=[ク]$，$b=[ケコサ]$，$c=[シス]$である．
(2)関数$f(x)$は$x=[セ]$で極大値$[ソ]$をとり，$x=[タ]$で極小値$[チ]$をとる．

$a,\ b,\ c,\ d$を定数とし，$ab \neq 0$とする．関数$f(x)=ae^{bx}+cx+d$は等式
\[ f(x)+2 \int_0^x f(t) \, dt=4x^2+8x+10 \]
を満たしている．

(1)$a=[ア]$，$b=[イウ]$，$c=[エ]$，$d=[オ]$である．
(2)$\displaystyle \int_0^1 f(x) \, dx=[カ]-[キ]e^{[クケ]}$である．

$a$を正の定数とする．座標平面上において，曲線$\displaystyle y=\frac{2}{\sqrt{x}} \cdots\cdots①$上の点$\displaystyle \mathrm{A}(a,\ \frac{2}{\sqrt{a}})$における接線を$\ell$とする．

(1)接線$\ell$の方程式は$\displaystyle y=-\frac{[ア]}{a \sqrt{a}}x+\frac{[イ]}{\sqrt{a}}$と表される．
(2)接線$\ell$が点$(2,\ 1)$を通るとすると，$a$は条件$a \sqrt{a}=[ウ]a-[エ]$を満たす．これより$a=[オ]$，$[カ]+[キ] \sqrt{[ク]}$である．
(3)$a=[オ]$のとき，接点$\mathrm{A}$の$y$座標は$[ケ]$であり，接線$\ell$の傾きは$[コサ]$である．このとき，曲線$①$と接線$\ell$および直線$x=2$によって囲まれた図形の面積は$\displaystyle \frac{[シ] \sqrt{[ス]}-[セソ]}{[タ]}$である．

次の問いに答えよ．

(1)$x=\sqrt{7}-\sqrt{3}$，$y=\sqrt{7}+\sqrt{3}$のとき，$\displaystyle \frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{\sqrt{[ア]}}{[イ]}$であり，$\displaystyle \frac{1}{x^3}-\frac{1}{y^3}=\frac{[ウ] \sqrt{[エ]}}{[オ]}$である．
(2)$(9x-5)(2x+3)+10x-41=([カ]x-[キ])([ク]x+[ケ])$である．
(3)連立不等式$\displaystyle \frac{5x-7}{3}-1 \leqq x+2<\frac{4x-3}{2}$の解は$\displaystyle \frac{[コ]}{[サ]}<x \leqq [シ]$である．
(4)等式$2 |x-1|+x-7=0$を満たす実数$x$の値は$[スセ]$と$[ソ]$である．
(5)男子$4$人，女子$3$人が$1$列に並ぶとき，男女が交互に並ぶ並び方は$[タチツ]$通りである．
(6)$1$から$9$までの整数を$1$つずつ書いたカードが$9$枚ある．この中から同時に$2$枚を取り出したとき，それらの整数の積が偶数である確率は$\displaystyle \frac{[テト]}{[ナニ]}$である．
(7)$0^\circ \leqq \theta \leqq 90^\circ$とする．$\displaystyle \sin \theta=\frac{1}{5}$のとき，
\[ \sin (180^\circ-\theta)+\cos (180^\circ-\theta)+\tan (90^\circ-\theta)=\frac{[ア]+[イ] \sqrt{[ウ]}}{[エ]} \]
である．
(8)$a,\ b$を正の整数の定数とする．$2$次関数$y=2x^2+(a-2)x+3-b$のグラフが$x$軸と接するとき，$a=[オ]$，$b=[カ]$，あるいは$a=[キ]$，$b=[ク]$である．ただし，$[オ]<[キ]$である．

$a,\ b$を定数とする．関数$f(x)=6x^2+2ax+b$は$\displaystyle \int_0^1 f(x) \, dx=4$，$f(2)=2$を満たす．このとき，

(1)$a=[コサ]$，$b=[シス]$である．
(2)$x$軸と関数$y=f(x)$のグラフで囲まれた図形の面積は$\displaystyle \frac{[セ]}{[ソタ]}$である．

定数$a,\ b$は$a>b>0$とし，$0 \leqq x \leqq 2\pi$とする．$2$曲線
\[ C_1:y=a \sin x,\quad C_2:y=b \cos x \]
の交点の$x$座標を$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\sin \alpha,\ \sin \beta$と$\cos \alpha,\ \cos \beta$を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)$C_1$と$C_2$で囲まれた部分の面積$S$を$a,\ b$を用いて表せ．
(3)$S=2 \sqrt{5}$，$a+b=3$であるとき，定数$a,\ b$の値を求めよ．

$a$を正の定数とする．$2$つの放物線

$y=x^2-ax+1$
$y=-x^2+(a+4)x-3a+1$

がある．

(1)$2$つの放物線は異なる$2$点で交わる．その$x$座標を$\alpha,\ \beta$とするとき，$\alpha+\beta$および$\alpha\beta$を$a$を用いて表せ．
(2)$2$つの放物線で囲まれる部分の面積$S(a)$を$a$を用いて表せ．
(3)$S(a)$の最小値とそのときの$a$の値を求めよ．