曲線$C:y=\sqrt{x}$上の点$\mathrm{P}(a,\ \sqrt{a})$における接線を$\ell$とする．曲線$C$，直線$x=a$，および$x$軸で囲まれた図形の面積が$18$であるとき，次の問いに答えよ．ただし，$a$は定数とし，$a>0$である．

(1)$a$の値を求めよ．
(2)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(3)接線$\ell$，曲線$C$，および$x$軸で囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$V$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$x=3+\sqrt{2}$のとき，$\displaystyle \frac{(x+2)(x-1)+2}{(x-2)(x-1)-2}$の値を求めよ．
(2)$x$の$2$次方程式$2x^2-5x+3=0$と$2x^2+3x+a=0$を同時に満たす実数解が，少なくとも$1$つあるような定数$a$の値をすべて求めよ．
(3)周の長さが$a$メートルで，面積が$\displaystyle \frac{a^2}{25}$平方メートル以上の長方形の庭園を造りたい．庭園の縦の長さを$x$メートルとするとき，$x$の値の範囲を$a$を用いて表せ．ただし，$a$は正の定数とする．

$x$の関数
\[ y=x^4+4x^3+2(2-a)x^2-4ax-1 \quad (-4 \leqq x \leqq 2) \]
について次の問いに答えよ．ただし，$a$は定数とする．

(1)$t=x^2+2x (-4 \leqq x \leqq 2)$とおくとき，$t$の値の範囲を求めよ．また，$y$を$t$と$a$を用いて表せ．
(2)$a=0$のとき，$y$の値の範囲を求めよ．このとき，$y$が最小になるような$x$の値を求めよ．
(3)$0 \leqq a \leqq 1$のとき，$y$の値の範囲を$a$を用いて表せ．このとき，$y$が最小になるような$x$の値を$a$を用いて表せ．

放物線$y=x^2+2(1-a)x-3a$を，$x$軸方向に$1$，$y$軸方向に$7$だけ平行移動して得られる放物線を$C:y=f(x)$とする．ただし，$a$は定数とする．

(1)$C$の頂点の座標を$a$を用いて表せ．
(2)$C$と$x$軸の正の部分が異なる$2$点で交わるような$a$の値の範囲を求めよ．
(3)$a$の値が上の(2)で求めた範囲にあるとする．このとき，$0 \leqq x \leqq 5$における関数$f(x)$の最大値と最小値をそれぞれ$a$を用いて表せ．

$\mathrm{AB}=x$，$\mathrm{BC}=6$，$\mathrm{CA}=x+2$である三角形$\mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{BC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{D}$とし，$\mathrm{AD}=y$とする．三角形$\mathrm{ABD}$と三角形$\mathrm{ADC}$の内接円の半径をそれぞれ$r_1,\ r_2$とするとき，$\displaystyle \frac{r_2}{r_1}=\frac{3}{2}$を満たしている．ただし，$x$と$y$は定数とし，$x>0$，$y>0$とする．

(1)$x,\ y,\ \cos \angle \mathrm{ADB},\ \cos \angle \mathrm{ADC}$の値をそれぞれ求めよ．
(2)三角形$\mathrm{ABD}$と三角形$\mathrm{ADC}$の面積をそれぞれ求めよ．
(3)三角形$\mathrm{ABD}$と三角形$\mathrm{ADC}$の外接円の半径をそれぞれ$R_1,\ R_2$とするとき，$R_1$と$R_2$の値をそれぞれ求めよ．

$3$次関数$f(x)=x^3+ax^2+bx$は，$x=2$で極大値$20$をとる．ただし，$a$と$b$は定数とする．

(1)$a$と$b$の値をそれぞれ求めよ．また，$f(x)$の極小値を求めよ．
(2)$f(x)$の定義域を$1 \leqq x \leqq 5$とするとき，$f(x)$の最大値と最小値をそれぞれ求めよ．
(3)$2$曲線$y=f(x)$，$y=x^3+27$，および$2$直線$x=1$，$x=5$で囲まれた図形の面積を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$2$次不等式$x^2+2x-15<0$を解け．
(2)次の連立不等式が解を持たないような定数$a$の値の範囲を求めよ．
\[ \left\{
\begin{array}{l}
x^2+2x-15<0 \\
ax-3 \geqq 0
\end{array}
\right. \]

次の問いに答えよ．

(1)$\alpha,\ \beta$を実数の定数とするとき，
\[ \int_\alpha^\beta (x-\alpha)(x-\beta) \, dx \]
を計算せよ．
(2)点$(1,\ 2)$を通る直線と放物線$y=x^2$とで囲まれる部分の面積が最小となるときの直線の傾きを求めよ．

$2$次関数$f(x)=3x^2-6x+4$を考える．関数$g(x)$は，定数$a$に対して
\[ \int_a^x g(t) \, dt=f(x)-2a^2 \]
を満たす．

(1)曲線$y=f(x)$の接線で点$(0,\ -8)$を通るものが$2$つある．それぞれの方程式を求めよ．
(2)(1)で求めた$2$つの接線と曲線$y=f(x)$とで囲まれた部分の面積を求めよ．
(3)$g(x)$を求めよ．
(4)$a$の値を求めよ．

$[　]$の中に答を入れよ．

(1)$3$次の整式$F(x)$を$x^2-3x+2$で割ると，余りは$-3x-5$である．これより，$F(2)=[ア]$である．この$F(x)$を$x^2+3x+2$で割った余りが$3x+7$であるとき，$F(0)=[イ]$である．
(2)関数$\displaystyle f(x)=\frac{9 \cdot 10^x}{(1+10^x)^2}$を考える．$f(x) \geqq 2$となる$x$の値の範囲は$[ウ]$である．また，等式$\displaystyle f(-x)=\frac{a \cdot 10^{bx}}{(1+10^x)^2}$がすべての$x$について成り立つように定数$a,\ b$の値を定めると$(a,\ b)=[エ]$である．
(3)直線$\ell:y=7x+6a-5$と放物線$y=(x-a)^2-5$が異なる$2$点で交わるとき，定数$a$のとりうる値の範囲を求めると$[オ]$である．また，直線$y=2x+a$に関して，$\ell$と対称な直線の方程式を求めると$[カ]$である．
(4)$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．$\displaystyle \frac{1}{\sin \theta}+\frac{1}{\cos \theta}=4 \sqrt{3}$のとき，$\sin \theta \cos \theta$の値を求めると$\sin \theta \cos \theta=[キ]$であり，$\sin^4 \theta+\cos^4 \theta$の値を求めると$\sin^4 \theta+\cos^4 \theta=[ク]$である．