区間$0 \leqq x \leqq \pi$で連続な関数$f(x)$に対して，定積分
\[ I=\int_0^\pi \{t \sin x-f(x) \}^2 \, dx \quad (t \text{は実数}) \]
を考える．定数$c_1,\ c_2,\ c_3$を
\[ c_1=\int_0^\pi \sin^2 x \, dx,\quad c_2=\int_0^\pi f(x) \sin x \, dx,\quad c_3=\int_0^\pi \{f(x)\}^2 \, dx \]
と定めるとき，以下の問いに答えよ．

(1)$I$を，$t$および$c_1,\ c_2,\ c_3$を用いて表せ．
(2)$c_1$の値を求めよ． \\
以下では，$I$を最小にする$t$の値を$t_0$とし，その最小値を$I_0$とする．
(3)$t_0$を$c_2$を用いて表せ．また，$I_0$を$c_2,\ c_3$を用いて表せ．
(4)次の定積分$A,\ B$の値を求めよ．
\[ A=\int_0^\pi x \sin x \, dx,\quad B=\int_0^\pi x \cos x \, dx \]
(5)$f(x)=x(\pi-x)$のとき，$c_2,\ c_3$および$I_0$の値をそれぞれ求めよ．

$a$を正の定数とする．次の等式が成り立つとき，$\log a$の値を求めよ．
\[ \frac{\int_1^e \log (ax) \, dx}{\int_1^e x \, dx}=\int_1^e \frac{\log (ax)}{x} \, dx \]

連続な関数$f(x)$が以下の式を満たすとき，次の問いに答えよ．
\[ \int_a^x (x-t)f(t) \, dt=\cos (ax)-b \]
ただし$a,\ b$は定数で$0<a<2$とする．

(1)定数$a,\ b$の値を求めよ．
(2)$f(x)$を求めよ．
(3) $f(x)$が最大値を取るときの$x$の値を求めよ．

$p$を定数とする．初項$a_1=1$の数列$\{a_n\} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を次のように定める．
\[ a_{n+1}-\frac{a_n}{2} \text{は整数，かつ} -\frac{1}{2}<a_{n+1}-p \leqq \frac{1}{2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]

(1)$p=0$のとき，数列$\{a_n\}$の極限$\lim_{n \to \infty}a_n$を求めよ．
(2)$p=1$のとき，$b_n=a_{2n} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定まる数列$\{b_n\}$の極限$\lim_{n \to \infty}b_n$を求めよ．
(3)$p=1$のとき，数列$\{a_n\}$は収束するかどうか，理由を付けて答えよ．

$a$を正の定数とし，次のように定められた$2$つの数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$を考える．
\[ \left\{
\begin{array}{ll}
a_1=a,\quad a_{n+1}=\displaystyle\frac{1}{2} \left( a_n+\displaystyle\frac{4}{a_n} \right) & (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \\
b_n=\displaystyle\frac{a_n-2}{a_n+2} & (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)
\end{array}
\right. \]
このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$-1<b_1<1$であることを示せ．
(2)$b_{n+1}$を$a_n$を用いて表せ．さらに，$b_{n+1}$を$b_n$を用いて表せ．
(3)$b_3,\ b_4$をそれぞれ$b_1$を用いて表せ．さらに，数列$\{b_n\}$の一般項$b_n$を$n$と$b_1$を用いて表せ．
(4)数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$を$n$と$b_1$を用いて表せ．
(5)極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$を求めよ．

$2$つの関数$f(x)=x^2+ax+2,\ g(x)=-x^2+bx+2$が，$\displaystyle f^\prime \left( \frac{a+1}{2} \right)=g^\prime \left( \frac{a+1}{2} \right)$をみたしている．このとき，次の問に答えよ．ただし，$a,\ b$は定数で$a<-1$とする．

(1)$b$を$a$で表せ．
(2)$2$つの曲線$C_1:y=f(x)$と$C_2:y=g(x)$のすべての共有点について，その$x$座標を$a$の式で表せ．
(3)$C_1$と$C_2$が囲む部分の面積を$S$とするとき，$S$を$a$で表せ．
(4)$\displaystyle S=\frac{7}{3} |a+1|+2$となるような$a$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \frac{1}{2+\sqrt{3}+\sqrt{7}}$の分母を有理化せよ．
(2)方程式$4x^2-3x+k=0$の$2$つの解が$\sin \theta,\ \cos \theta$で与えられるとき，定数$k$の値を求めよ．
(3)関数$y=4^x-2^{x+2}+1$の$-1 \leqq x \leqq 3$における最大値と最小値を求めよ．
(4)直方体の各面にさいころのように$1$から$6$までの目が書かれている．この直方体を投げて，$1,\ 6$の目が出る確率はともに$p$であり，$2,\ 3,\ 4,\ 5$の目が出る確率はいずれも$q$である．この直方体を$1$回投げて，出た目の数を得点とする．このとき，得点の期待値は$p,\ q$の値によらずに一定であることを示せ．

$a$を$0<a<\log 2$となる定数とし，曲線$C$と直線$\ell$を
\[ C:y=\log x \quad (x>0) \qquad \ell:y=a \]
により定める．このとき，次の問に答えよ．

(1)$C$と$\ell$および直線$x=1$で囲まれた部分の面積を$S_1$とするとき，$S_1$を$a$で表せ．
(2)$C$と$\ell$および直線$x=2$で囲まれた部分の面積を$S_2$とするとき，$S_1=S_2$となる$a$の値を求めよ．
(3)$S=S_1+S_2$とするとき，$S$の値が最小となる$a$の値を求めよ．

$a$を定数，$h$を正の定数とし，放物線$C:y=x^2$と直線$x=a$との交点を$\mathrm{P}$，放物線$C$と直線$x=a+h$との交点を$\mathrm{Q}$とする．また，直線$\mathrm{PQ}$に平行で放物線$C$に接する直線を$\ell$とする．

(1)直線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)直線$\ell$と直線$x=a$との交点を$\mathrm{R}$，直線$\ell$と直線$x=a+h$との交点を$\mathrm{S}$とする．直線$\mathrm{PQ}$と放物線$C$に囲まれた図形の面積を$A_1$，四角形$\mathrm{PRSQ}$の面積を$A_2$としたとき，$\displaystyle \frac{A_1}{A_2}$の値は$a$と$h$に無関係に一定となることを示せ．

定数$a (a \neq 1)$に対し，$f(x)=x^3-(a+2)x^2+(2a+1)x-a$とする．

(1)方程式$f(x)=0$の解を$a$を用いて表せ．
(2)関数$f(x)$の極値を$a$を用いて表せ．
(3)曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた図形の面積を$a$を用いて表せ．
ただし，$\displaystyle \int x^3 \, dx=\frac{x^4}{4}+C$（$C$は積分定数）を用いてよい．