次の問いに答えよ．

(1)関数$f(x)$は$\displaystyle f(x)=3x^2+x \int_0^1 f(t) \, dt+1$を満たしている．このとき$f(x)$を求めよ．
(2)関数$g(x)$は，ある定数$k$に対して，$\displaystyle \int_1^x (3t+1)g(t) \, dt=4 \int_k^x g(t) \, dt+5x^3-3x^2-9x-17$を満たし，$g(1)=8$である．このとき$g(x)$と$k$の値を求めよ．

座標平面上で$y=x+1$で表される直線を$\ell$とする．また，4点A$(-1,\ 1)$，B$(0,\ -2)$，C$(3,\ 1)$，D$(1,\ 3)$をとる．以下の問いに答えよ．

(1)領域$R_1=\{ (x,\ y) \;|\; y>x+1 \}$と$R_2=\{ (x,\ y) \;|\; y \leqq x+1 \}$を考える．4点A，B，C，Dはそれぞれ，領域$R_1,\ R_2$のどちらにあるか答えよ．
(2)$k$を定数とし，直線$y=x+k$上に点E$(x,\ x+k)$をとる．Eと直線$\ell$の距離が$\sqrt{2}$となる$k$の値をすべて求めよ．
(3)四角形ABCDの周または内部で，直線$\ell$との距離が$\sqrt{2}$以下となる点の範囲を図示せよ．
(4)点P$(x,\ y)$が(3)で求めた範囲を動くとき，$2x+y$がとる値の最小値と最大値を求めよ．

座標平面上で$y=x+1$で表される直線を$\ell$とする．また，4点A$(-1,\ 1)$，B$(0,\ -2)$，C$(3,\ 1)$，D$(1,\ 3)$をとる．以下の問いに答えよ．

(1)領域$R_1=\{ (x,\ y) \;|\; y>x+1 \}$と$R_2=\{ (x,\ y) \;|\; y \leqq x+1 \}$を考える．4点A，B，C，Dはそれぞれ，領域$R_1,\ R_2$のどちらにあるか答えよ．
(2)$k$を定数とし，直線$y=x+k$上に点E$(x,\ x+k)$をとる．Eと直線$\ell$の距離が$\sqrt{2}$となる$k$の値をすべて求めよ．
(3)四角形ABCDの周または内部で，直線$\ell$との距離が$\sqrt{2}$以下となる点の範囲を図示せよ．
(4)点P$(x,\ y)$が(3)で求めた範囲を動くとき，$2x+y$がとる値の最小値と最大値を求めよ．

確率変数$Z$が標準正規分布$N(0,\ 1)$に従うとき，
\[ P(Z>1.96)=0.025,\ P(Z>2.58)=0.005,\ \frac{2.58}{1.96} \fallingdotseq 1.32 \]
であるとして，次の各問いに答えよ．

(1)確率変数$X$のとる値$x$の範囲が$-1 \leqq x \leqq 1$で，その確率密度関数が$f(x)=k(1-x^2)$で与えられている．このとき，定数$k$の値と$X$の平均を求めよ．
(2)母平均$m$，母標準偏差10の母集団から大きさ100の無作為標本を抽出し，その標本平均を$\overline{X^{\phantom{1}}\!\!}$とする．標本の大きさ100は十分大きい数であるとみなせるとする．

(3)標本平均$\overline{X^{\phantom{1}}\!\!}$を用いて，母平均$m$の信頼度$95\%$の信頼区間を求めよ．
(4)母平均$m$を信頼度$99\%$の信頼区間を用いて区間推定するとき，信頼区間の幅を(a)で求めた幅より小さくするためには，標本の大きさ$n$をいくつ以上にとればよいか求めよ．

$a,\ b$を定数とし，$a \neq 0$とする．連立1次方程式
\[ \left\{
\begin{array}{l}
2x+(a-1)y=b \\
ax+a^2y=1
\end{array}
\right. \cdots\cdots (*) \]
について，次の問いに答えよ．

(1)$(*)$が2組以上の解をもつような$a$と$b$の値を求めよ．
(2)$(*)$が$x=1,\ y=2$をただ1組の解としてもつような$a$と$b$の値を求めよ．
(3)$(*)$が$x=y$となる解をもつための$a$と$b$に関する必要十分条件を求めよ．

関数$f(x)=x^3-3x^2+2$について，次の問いに答えよ．

(1)$y=f(x)$の増減を調べ，極値を求めよ．また，グラフの概形をかけ．
(2)$\displaystyle -\frac{a}{2} \leqq x \leqq a$における$f(x)$の最大値$M$を求めよ．ただし，$a$は定数で$a>0$とする．
(3)$\displaystyle -\frac{a}{2} \leqq x \leqq a$における$f(x)$の最小値$m$を求めよ．ただし，$a$は定数で$a>0$とする．

関数$f(x)=(x^2+\alpha x+\beta)e^{-x}$について，下の問いに答えよ．ただし，$\alpha,\ \beta$は定数とする．

(1)$f^\prime(x)$および$f^{\prime\prime}(x)$を求めよ．
(2)$f(x)$が$x=1$で極値をとるための$\alpha,\ \beta$の条件を求めよ．
(3)$f(x)$が$x=1$で極値をとり，さらに点$(4,\ f(4))$が曲線$y=f(x)$の変曲点となるように$\alpha,\ \beta$の値を定め，関数$y=f(x)$の極値と，その曲線の変曲点をすべて求めよ．

$a,\ b,\ c$を定数とし，$a>0$とする．関数$f(x),\ g(x)$を
\[ f(x)=x^2,\quad g(x)=-ax^2+bx+c \]
と定める．

(1)$2$つの放物線$y=f(x)$と$y=g(x)$が$2$つの交点を持つための必要十分条件を求めよ．
(2)$2$つの放物線$y=f(x)$と$y=g(x)$が$2$つの交点$(-1,\ 1)$，$(2,\ 4)$を持つとする．このとき，$b$と$c$を$a$を用いて表せ．
(3)$(2)$の条件のもとで，$2$つの放物線$y=f(x)$と$y=g(x)$で囲まれた図形の面積が$9$であるとき，$a,\ b,\ c$の値を求めよ．

$a,\ b$を定数とする．関数$f(x)$は$0<x<2$で定義され，条件
\[ f^\prime(x)=\frac{2a}{x(2-x)}+b,\quad f^\prime \left( \frac{1}{2} \right)=9,\quad f^\prime(1)=7,\quad f(1)=1 \]
を満たすとする．

(1)$a,\ b$の値を求めよ．
(2)関数$f(x)$を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$の変曲点を求めよ．

数列$\{a_n\}$を
\[ a_n=\frac{2n+1}{n(n+1)(n+2)} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
と定める．

(1)定数$p,\ q$を用いて$\displaystyle a_n=p \left( \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} \right)+q \left( \frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2} \right)$と表すとき，$p,\ q$の値を求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$を求めよ．