$a$を正の定数とするとき，関数
\[ y=\left( \log_2 \frac{1+\sin x}{a} \right) \left( \log_4 \frac{1+\sin x}{2a} \right) \quad \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right) \]
の最小値を，$a$を用いて表せ．

$a$を正の定数とするとき，関数
\[ y=\left( \log_2 \frac{1+\sin x}{a} \right) \left( \log_4 \frac{1+\sin x}{2a} \right) \quad \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right) \]
の最小値を，$a$を用いて表せ．

$a$を正の定数とし，座標平面上に異なる2点$\mathrm{A}(a,\ 0)$，$\mathrm{P}(x,\ 0)$をとる．線分の長さ$\mathrm{OP}$と$\mathrm{PA}$の比の値$\displaystyle \frac{\mathrm{OP}}{\mathrm{PA}}$について，次の問に答えよ．ただし，$\mathrm{O}$は原点を表す．

(1)$\displaystyle \frac{\mathrm{OP}}{\mathrm{PA}}$を$x,\ a$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle \frac{\mathrm{OP}}{\mathrm{PA}}=\frac{1}{2}$のとき，$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(3)$\displaystyle f(x)=\frac{\mathrm{OP}}{\mathrm{PA}}$とするとき，関数$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．

定数$a>0$に対して，$f(x)=ax^3-6ax^2+9ax+1$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)関数$y=f(x)$の極値を調べて，そのグラフをかけ．
(2)点A，B，Cの座標をそれぞれ$(-1,\ f(-1))$，$(4,\ f(t))$，$(t,\ f(t))$とする．$-1<t<3$のとき，点Cにおける曲線$y=f(x)$の接線と，線分ABとが平行になるような$t$が1つだけ存在することを示せ．

$e$を自然対数の底とし，$\log x$を自然対数とする．次の各問いに答えよ．

(1)$p,\ q$を$p>0,\ q>1$を満たす定数とする．曲線$y=p \log x$と直線$x=q$と$x$軸とで囲まれた部分の面積を$p,\ q$を使って表せ．
(2)2つの曲線$y=\log x,\ y=3 \log x$と2つの直線$x=e,\ x=e^2$で囲まれた部分を$D$とする．$D$の面積を求めよ．
(3)(2)で与えられた$D$を$x$軸のまわりに回転させてできる立体の体積を求めよ．

$a$は定数で，$0<a<e,\ a \neq 1$とする．$2$曲線$y=a^x,\ y=e^x$と直線$y=a$で囲まれた図形の面積を求めよ．ただし，$e$は自然対数の底である．

曲線$\displaystyle y=\frac{1}{2}(x^2-1)$を$C$とする．$a$は定数で$a>0$とし，点A$\displaystyle \left( a,\ \frac{1}{2}(a^2-1) \right)$における$C$の接線を$\ell$とする．また$\ell$と直線$x=a$とのなす角を$\displaystyle \theta \ \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$とする．このとき以下の問いに答えよ．

(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$\tan \theta$を$a$を用いて表せ．
(3)点Aを通る直線で，$\ell$となす角が$\theta$であるが，直線$x=a$とは異なるものの方程式を求めよ．

極方程式$\displaystyle r=\frac{a}{2+\cos \theta}$で与えられる2次曲線がある．ただし，$a$は正の定数とする．このとき次の各問いに答えよ．

(1)この2次曲線を直交座標$(x,\ y)$に関する方程式で表せ．
(2)(1)で求めた2次曲線を$x$軸方向に$\displaystyle \frac{a}{3}$だけ平行移動した2次曲線を$C$で表す．$C$を直交座標$x,\ y$の方程式で表せ．また，この2次曲線$C$は$x$軸と2点AとBで交わる．この2点A，Bの座標を求めよ．ただし，Bの$x$座標は正とする．
(3)(2)で求めた2次曲線$C$上の$x$軸上にない点P$(\alpha,\ \beta)$から$x$軸に下ろした垂線をPHとする．さらにPと$x$軸に関して対称な点をQとするとき，次の値は定数であることを証明せよ．
\[ \frac{\text{PH} \cdot \text{QH}}{\text{AH} \cdot \text{BH}} \]

$a$は定数で，$0<a<e,\ a \neq 1$とする．$2$曲線$y=a^x,\ y=e^x$と直線$y=a$で囲まれた図形の面積を求めよ．ただし，$e$は自然対数の底である．

曲線$\displaystyle y=\frac{1}{2}(x^2-1)$を$C$とする．$a$は定数で$a>0$とし，点A$\displaystyle \left( a,\ \frac{1}{2}(a^2-1) \right)$における$C$の接線を$\ell$とする．また$\ell$と直線$x=a$とのなす角を$\displaystyle \theta \ \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$とする．このとき以下の問いに答えよ．

(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$\tan \theta$を$a$を用いて表せ．
(3)点Aを通る直線で，$\ell$となす角が$\theta$であるが，直線$x=a$とは異なるものの方程式を求めよ．