関数$f(x)=x^3-6x^2+9x+1$について，次の問いに答えよ．

(1)$f(x)$の増減を調べ，極値を求めよ．
(2)定数$k$について，方程式$f(x)-k=0$の異なる実数解の個数を調べよ．

$a$は定数とする．$xy$平面上で連立不等式$y+ax-5 \leqq 0$，$0 \leqq x \leqq 2$，$0 \leqq y \leqq 3$が表す領域の面積を$S$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$a=2$のとき，$S$の値を求めよ．
(2)$a=3$のとき，$S$の値を求めよ．
(3)$a \geqq 1$のとき，$S$を$a$を用いて表せ．

曲線$C:y=|x(x-2)|$と直線$\ell:y=kx$（$k$は定数）が原点$\mathrm{O}$以外に$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$で交わっている．ただし，点$\mathrm{B}$の$x$座標は点$\mathrm{A}$の$x$座標よりも大きいとする．また，点$\mathrm{B}$を通り，点$\mathrm{B}$とも原点$\mathrm{O}$とも異なる点$\mathrm{E}$において曲線$C$と接する直線を$m$とする．以下の問いに答えよ．

(1)定数$k$の値の範囲を求めよ．
(2)直線$m$と$y$軸との交点を$\mathrm{F}$とする．三角形$\mathrm{FOE}$は曲線$C$によって二つの図形に分割されている．それらの二つの図形の面積の比を求めよ．
(3)$k=1$のとき，点$\mathrm{E}$の座標を求めよ．

$a$を正の定数とする．$n$を$0$以上の整数とし，多項式$P_n(x)$を$n$階微分を用いて
\[ P_n(x)=\frac{d^n}{dx^n}(x^2-a^2)^n \quad (n \geqq 1),\quad P_0(x)=1 \]
とおく．以下の問いに答えよ．

(1)$n=2$および$n=3$に対して
\[ P_2(-a),\quad P_3(-a) \]
を求めよ．
(2)$u=u(x)$，$v=v(x)$を何回でも微分可能な関数とする．そのとき，{\bf ライプニッツの公式}
\[ (uv)^{(n)}=\comb{n}{0}u^{(n)}v+\comb{n}{1}u^{(n-1)}v^\prime+\cdots +\comb{n}{k}u^{(n-k)}v^{(k)}+\cdots +\comb{n}{n-1}u^\prime v^{(n-1)}+\comb{n}{n}uv^{(n)} \]
を数学的帰納法を用いて証明せよ（ただし，$n \geqq 1$）．ここで，$w^{(k)}$は$w=w(x)$の第$k$次導関数を表し，また$w^{(0)}=w$とする．
(3)一般の$n$に対して
\[ P_n(-a),\quad P_n(a) \]
を求めよ．

$2$次関数$f(x)=-x^2-2x+1$，$g(x)=-2x^2+px+q$について，以下の設問に答えよ．ただし，$g(1)=-2$，$g(-1)=0$であり，$p,\ q$は実数の定数とする．各設問とも，解答とともに導出過程も記述せよ．

(1)$p$と$q$の値を求めよ．
(2)$f(x)<g(x)$となる$x$の値の範囲を求めよ．
(3)$h(x)$を次のように定義する．

$f(x) \geqq g(x)$の場合は$h(x)=f(x)$
$f(x)<g(x)$の場合は$h(x)=g(x)$

次に，正の実数$k$に対して$M(k)$と$m(k)$を次のように定義する．

$M(k)$は$-k \leqq x \leqq k$における$h(x)$の最大値
$m(k)$は$-k \leqq x \leqq k$における$h(x)$の最小値
(i) $M(2)$と$m(2)$の値を求めよ．
(ii) $M(k)$と$m(k)$の値を$k$を用いて表せ．

$a$を正の定数とし，$f(x)=ae^{-ax}$とする．ただし，$e$を自然対数の底とする．原点を$\mathrm{O}$とし，曲線$y=f(x)$上の点$\mathrm{P}(s,\ f(s))$における接線$\ell$と$x$軸，$y$軸との交点をそれぞれ$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とするとき，以下の設問に答えよ．各設問とも，解答とともに導出過程も記述せよ．

(1)接線$\ell$の方程式と$2$点$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$の座標を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$上の点$(1,\ f(1))$における接線と$x$軸，および直線$x=1$で囲まれた部分の面積を$S_1$とする．また，曲線$y=f(x)$と$x$軸，および$2$直線$x=1$，$x=t$で囲まれた部分の面積を$S_2$とする．ただし，$t>1$とする．このとき，$\displaystyle \lim_{t \to \infty} \frac{S_2}{S_1}$を求めよ．
(3)$s$の値が$s \geqq 0$の範囲で変化するとき，三角形$\mathrm{ROQ}$の面積$T(s)$の最大値とそのときの$s$の値を求めよ．

以下の問いの空欄$[ア]$～$[コ]$に入れるのに適する数値，式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

(1)$\sqrt{6+4 \sqrt{2}}$の小数部分を$a$とすると，$a=[ア]$，$\displaystyle a^2-\frac{1}{a^2}=[イ]$となる．
(2)$2$次関数$y=3x^2-6x+a+6 (0 \leqq x \leqq 3)$の最小値が$5$となるような定数$a$の値は$[ウ]$である．また，このとき最大値は$[エ]$である．
(3)$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の$6$個の数字から異なる$3$個の数字を取り出して並べ，$3$桁の整数を作るとき，整数は全部で$[オ]$個，偶数は全部で$[カ]$個となる．
(4)円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AB}=5$，$\mathrm{BC}=\mathrm{CD}=7$，$\mathrm{DA}=3$とする．$\angle \mathrm{BAD}=\theta$とするとき，$\cos \theta$は$[キ]$，四角形$\mathrm{ABCD}$の面積は$[ク]$である．
(5)赤いカード$4$枚，青いカード$3$枚，合計$7$枚のカードがある．この中から$2$枚のカードを同時に取り出すとき，$2$枚とも赤いカードとなる確率は$[ケ]$である．また，赤いカードを$1$点，青いカードを$5$点とするとき，取り出した$2$枚のカードの合計点の期待値は$[コ]$である．

定数$a$を実数とし，$0 \leqq x<2\pi$とする．関数$f(x)=1-2a-2a \cos x-2 \sin^2 x$の最小値が$\displaystyle \frac{1}{2}$のとき，$a$の値とそのときの$f(x)$の最大値を求めよ．

関数$f(x)$に対して，
\[ \int_0^x f(t) \, dt=-x^3+ax^2+bx+c \]
とする．$a,\ b,\ c$は定数である．以下の問に答えなさい．

(1)$f(x)$は，$x=p$で最大値$q$をとる．$p,\ q$を$a,\ b$を用いて表しなさい．

(2)$\displaystyle F(x)=\int_0^x f(t) \, dt$とおき，$F(3)=0$，$f(2)=0$とする．$F(0)=0$となることに注意して，$a,\ b,\ c$の値を求めなさい．
(3)$(2)$の条件の下で，方程式$f(x)=0$のもう$1$つの解を求めなさい．

$a$を$0$以上の定数とする．関数$y=x^3-3a^2x$のグラフと方程式$|x|+|y|=2$で表される図形の共有点の個数を求めよ．