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私立 産業医科大学 2013年 第2問$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$において定義された$2$つの曲線
\[ y=a \sin 2x,\quad y=\sin 4x \]
について次の問いに答えなさい．ただし，$a$は定数である．
(1)$2$つの曲線が$\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2}$で交点を持つように$a$の値の範囲を定めなさい．
(2)$a$が$(1)$で定められた範囲にあるとき，$2$つの曲線によって囲まれた図形は$(1)$の交点を境にして$2$つの部分に分けられる．それらのうち原点を含む部分の面積を$S_1$，原点を含まない部分の面積を$S_2$とする．$S_1:S_2=4:1$となるように$a$の値を定めなさい．
\[ y=a \sin 2x,\quad y=\sin 4x \]
について次の問いに答えなさい．ただし，$a$は定数である．
(1)$2$つの曲線が$\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2}$で交点を持つように$a$の値の範囲を定めなさい．
(2)$a$が$(1)$で定められた範囲にあるとき，$2$つの曲線によって囲まれた図形は$(1)$の交点を境にして$2$つの部分に分けられる．それらのうち原点を含む部分の面積を$S_1$，原点を含まない部分の面積を$S_2$とする．$S_1:S_2=4:1$となるように$a$の値を定めなさい．
私立 産業医科大学 2013年 第3問$b$を$b>1$となる定数とする．原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上の点$\mathrm{P}(x_0,\ y_0)$の座標は${x_0}^2+{y_0}^2=b$，${x_0}^2 \geqq 1$を満たすとする．このとき，点$\displaystyle \mathrm{Q} \left( \frac{x_0}{\sqrt{3}},\ x_0{y_0}^2 \right)$に対し，次の問いに答えなさい．
(1)${x_0}^2=t$とおくとき，線分$\mathrm{OQ}$の長さの$2$乗$\mathrm{OQ}^2$を$t$の関数として表しなさい．
(2)線分$\mathrm{OQ}$の長さを最大にする${x_0}^2$を求めなさい．
(1)${x_0}^2=t$とおくとき，線分$\mathrm{OQ}$の長さの$2$乗$\mathrm{OQ}^2$を$t$の関数として表しなさい．
(2)線分$\mathrm{OQ}$の長さを最大にする${x_0}^2$を求めなさい．
私立 広島工業大学 2013年 第2問数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が$S_n=4a_n-n$を満たしている．
(1)$a_1$を求めよ．
(2)$a_{n+1}$を$a_n$を用いて表せ．
(3)$b_n=a_n+c$とおくとき，$\{b_n\}$が等比数列になるように定数$c$の値を決めよ．
(4)$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(1)$a_1$を求めよ．
(2)$a_{n+1}$を$a_n$を用いて表せ．
(3)$b_n=a_n+c$とおくとき，$\{b_n\}$が等比数列になるように定数$c$の値を決めよ．
(4)$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
私立 広島工業大学 2013年 第3問$a,\ b$を定数とする．$3$次関数$f(x)=ax^2(x-3)+b$の区間$0 \leqq x \leqq 3$における最大値が$1$で最小値が$-1$のとき，$a,\ b$の値を求めよ．
私立 広島工業大学 2013年 第5問次の各問いに答えよ．
(1)$2$次不等式$3x^2-5x-12 \leqq 0$を満たす整数$x$をすべて求めよ．
(2)放物線$y=3x^2$を$x$軸方向へ$a$，$y$軸方向へ$b$だけ平行移動したグラフが$2$点$(-6,\ 0)$，$(2,\ 0)$を通るとき，定数$a,\ b$の値を求めよ．
(3)$1$つのさいころを$3$回投げて出た目の最小値が$3$である確率を求めよ．
(1)$2$次不等式$3x^2-5x-12 \leqq 0$を満たす整数$x$をすべて求めよ．
(2)放物線$y=3x^2$を$x$軸方向へ$a$，$y$軸方向へ$b$だけ平行移動したグラフが$2$点$(-6,\ 0)$，$(2,\ 0)$を通るとき，定数$a,\ b$の値を求めよ．
(3)$1$つのさいころを$3$回投げて出た目の最小値が$3$である確率を求めよ．
私立 広島工業大学 2013年 第7問$2$次不等式$x^2-2ax \leqq x$において，定数$a$は$\displaystyle a<-\frac{1}{2}$を満たすとする．次の問いに答えよ．
(1)この$2$次不等式を満たす実数$x$の値の範囲を求めよ．
(2)$(1)$で求めた$x$の範囲において，関数$f(x)=x^2-4ax$の最小値が$-11$であるとき，定数$a$の値を求めよ．
(1)この$2$次不等式を満たす実数$x$の値の範囲を求めよ．
(2)$(1)$で求めた$x$の範囲において，関数$f(x)=x^2-4ax$の最小値が$-11$であるとき，定数$a$の値を求めよ．
私立 成城大学 2013年 第2問ある作業をするためにかかる時間は，作業回数に応じて変化し，$n$回目の作業時間$T_n$秒は，以下の式で示される．
\[ T_n=T_1 \cdot n^{-k} \]
ただし，$T_1$は$1$回目の作業時間，$k$は作業の種類によって異なる正の定数である．$\log_{10}3=0.4771$，$\log_{10}2=0.3010$として次の問いに答えなさい．
(1)作業$\mathrm{A}$の$1000$回目の作業時間が$150$秒，$2000$回目の作業時間が$50$秒であるときに，$k$の値を四捨五入して小数第$3$位まで求めよ．
(2)作業$\mathrm{B}$の$100$回目の作業時間が$1$回目の作業時間の半分になった．このときの$k$の値を，四捨五入して小数第$3$位まで求めよ．また，作業時間が$100$回目のさらに半分に縮まるのは，何回目の作業か．
\[ T_n=T_1 \cdot n^{-k} \]
ただし，$T_1$は$1$回目の作業時間，$k$は作業の種類によって異なる正の定数である．$\log_{10}3=0.4771$，$\log_{10}2=0.3010$として次の問いに答えなさい．
(1)作業$\mathrm{A}$の$1000$回目の作業時間が$150$秒，$2000$回目の作業時間が$50$秒であるときに，$k$の値を四捨五入して小数第$3$位まで求めよ．
(2)作業$\mathrm{B}$の$100$回目の作業時間が$1$回目の作業時間の半分になった．このときの$k$の値を，四捨五入して小数第$3$位まで求めよ．また，作業時間が$100$回目のさらに半分に縮まるのは，何回目の作業か．
私立 成城大学 2013年 第1問$3$次方程式
\[ x^3-3x^2-a=0 \]
の異なる実数解の個数を求めよ．ただし，$a$は実数の定数とする．
\[ x^3-3x^2-a=0 \]
の異なる実数解の個数を求めよ．ただし，$a$は実数の定数とする．
私立 成城大学 2013年 第1問$x$の方程式$kx^2+4(k-1)x+k+5=0$が次の条件を満たすとき，実数の定数$k$の値の範囲をそれぞれ求めよ．
(1)正の解と負の解をもつ．
(2)異なる$2$つの正の解をもつ．
(1)正の解と負の解をもつ．
(2)異なる$2$つの正の解をもつ．
私立 青山学院大学 2013年 第1問$\theta$についての方程式
\[ \sin^2 \theta (\sin \theta+1)=k \cdots\cdots① \]
を考える．
(1)$①$が$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲でただ$1$つの解をもつような定数$k$の値の範囲は
\[ \frac{[ア]}{[イ][ウ]}<k \leqq [エ] \]
である．
(2)$①$が$\displaystyle -\frac{\pi}{6} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4}$の範囲で異なる$2$つの解をもつような定数$k$の値の範囲は
\[ [オ]<k \leqq \frac{[カ]}{[キ]} \]
である．
\[ \sin^2 \theta (\sin \theta+1)=k \cdots\cdots① \]
を考える．
(1)$①$が$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲でただ$1$つの解をもつような定数$k$の値の範囲は
\[ \frac{[ア]}{[イ][ウ]}<k \leqq [エ] \]
である．
(2)$①$が$\displaystyle -\frac{\pi}{6} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4}$の範囲で異なる$2$つの解をもつような定数$k$の値の範囲は
\[ [オ]<k \leqq \frac{[カ]}{[キ]} \]
である．