次の各問に答えよ．

(1)$\mathrm{A}$地点から$15 \, \mathrm{km}$離れた$\mathrm{B}$地点まで行くのに，初めは時速$4 \, \mathrm{km}$で歩き，途中から時速$6 \, \mathrm{km}$で歩くことにする．$\mathrm{A}$地点を出発後，$3$時間以内に$\mathrm{B}$地点に到着するためには，時速$4 \, \mathrm{km}$で歩ける距離は最大で$[ア] \, \mathrm{km}$である．
(2)半径$2 \sqrt{6}$の円に内接する正三角形の$1$辺の長さは$[イ] \sqrt{[ウ]}$である．
(3)中心が$(-2,\ 3)$で，$y$軸に接する円の方程式は$x^2+y^2+[エ]x-[オ]y+[カ]=0$である．
(4)$3^n$の一の位の数字が$1$になる正の整数$n$の最小値は$[キ]$であり，$3^{102}$の一の位の数字は$[ク]$である．
(5)数直線上の集合$A=\{x \;|\; 2<x<9 \}$，$B=\{x \;|\; k<x<k+2 \}$（ただし，$k$は定数）において，$A \cap B$が空集合となるような$k$の値の範囲は$k \leqq [ケ]$または$[コ] \leqq k$である．
(6)白玉$3$個，赤玉$5$個の計$8$個の玉が入った箱の中から同時に$4$個の玉を取り出すとき，白玉も赤玉もともに取り出される確率は$\displaystyle \frac{[サシ]}{[スセ]}$である．
(7)方程式$\displaystyle 9^x=\frac{3}{27^x}$の解は$\displaystyle x=\frac{[ソ]}{[タ]}$である．
(8)関数$f(x)=-2x^3-6x^2+9$の極大値は$[チ]$，極小値は$[ツ]$である．

以下の問に答えよ．

(1)関数$y=2x^2-3x+2 (-1 \leqq x \leqq 2)$の最大値を$A$，最小値を$B$とするとき，$A,\ B$の値を求めよ．
(2)不等式$\displaystyle |x-1|<-\frac{1}{4}x+\frac{3}{2}$の解は$A<x<B$となる．$A,\ B$の値を求めよ．
(3)座標平面上の$3$点$\mathrm{A}(4,\ 5)$，$\mathrm{B}(2,\ 1)$，$\mathrm{C}(6,\ 2)$を頂点とする$\triangle \mathrm{ABC}$において，頂点$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$に下した垂線を$\mathrm{AH}$とするとき，$\triangle \mathrm{ABH}$の面積を求めよ．
(4)$2$つの放物線$\displaystyle y=\frac{1}{2}x^2-2x+\frac{5}{2}$と$\displaystyle y=-\frac{1}{2}x^2+2kx-\frac{3}{2}k$が共有点を持たないような定数$k$の値の範囲は，$A<k<B$となる．$A,\ B$の値を求めよ．

(5)$\displaystyle \frac{\sqrt{17}+3}{\sqrt{17}-3}$の小数部分の値を求めよ．

以下の問に答えよ．

(1)関数$y=2x^2-3x+2 (-1 \leqq x \leqq 2)$の最大値を$A$，最小値を$B$とするとき，$A,\ B$の値を求めよ．
(2)不等式$\displaystyle |x-1|<-\frac{1}{4}x+\frac{3}{2}$の解は$A<x<B$となる．$A,\ B$の値を求めよ．
(3)座標平面上の$3$点$\mathrm{A}(4,\ 5)$，$\mathrm{B}(2,\ 1)$，$\mathrm{C}(6,\ 2)$を頂点とする$\triangle \mathrm{ABC}$において，頂点$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$に下した垂線を$\mathrm{AH}$とするとき，$\triangle \mathrm{ABH}$の面積を求めよ．
(4)$2$つの放物線$\displaystyle y=\frac{1}{2}x^2-2x+\frac{5}{2}$と$\displaystyle y=-\frac{1}{2}x^2+2kx-\frac{3}{2}k$が共有点を持たないような定数$k$の値の範囲は，$A<k<B$となる．$A,\ B$の値を求めよ．

(5)$\displaystyle \frac{\sqrt{17}+3}{\sqrt{17}-3}$の小数部分の値を求めよ．

$\mathrm{O}$を原点とする$xy$平面上に，放物線$\displaystyle C:y=\frac{1}{4}x^2$がある．点$\mathrm{A}(2,\ 8)$を通る直線$\ell:y=t(x-2)+8$（ただし，$t$は定数）と$C$との$2$つの交点を結ぶ線分の中点を$\mathrm{M}(X,\ Y)$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$C$と$\ell$との$2$つの交点の$x$座標を$\alpha,\ \beta$とすると，$\alpha+\beta=[ア] t$である．$X,\ Y$を$t$を用いて表すと，$X=[イ] t$，$Y=[ウ] t^2-[エ] t+[オ]$である．
(2)$\mathrm{M}$が直線$\mathrm{OA}$上の点であるような$t$の値は小さい方から順に$[カ]$，$[キ]$である．
(3)$t$が$[カ]$から$[キ]$まで変化するときの$\mathrm{M}$の軌跡は，放物線
\[ D:y=\frac{[ク]}{[ケ]}x^2-x+[コ] \]
の$[サ] \leqq x \leqq [シ]$の部分である．
(4)$[カ] \leqq t \leqq [キ]$において，直線$\mathrm{OM}$が$D$に接するとき，$X=[ス]$である．また，$t$が$[カ]$から$[キ]$まで変化するとき，線分$\mathrm{OM}$が通過する部分の面積は$\displaystyle \frac{[セソ]}{[タ]}$である．

$2$次関数$y=2x^2+2px-3p-4$について以下の問に答えよ．

(1)この$2$次関数のグラフの頂点の座標を求めよ．
(2)この$2$次関数のグラフの頂点の$y$座標が負であるとき，定数$p$の値の範囲を求めよ．
(3)$(2)$において，このグラフと$x$軸の$2$つの共有点の$x$座標が共に$1<x<3$をみたすとき，定数$p$の値の範囲を求めよ．

以下の各問いに答えなさい．

(1)関数$\displaystyle y=-\frac{1}{2}x^2-3x-\frac{1}{2}$のグラフの頂点の座標を求めなさい．
(2)$x$軸と点$(-3,\ 0)$で接し，点$(-2,\ -2)$を通る$2$次関数を求めなさい．
(3)$(2)$で求めた$2$次関数のグラフを$x$軸方向に$1$，$y$軸方向に$-5$だけ平行移動するとき，$2$次関数$y=ax^2+bx+c$のグラフになるとする．この定数$a,\ b,\ c$の値を求めなさい．
(4)$a$を正の定数とする．$2$次関数$y=ax^2-4ax+b$は，区間$0 \leqq x \leqq 2$における最大値が$-1$，最小値が$-5$とする．このとき，定数$a,\ b$の値を求めなさい．

$2$つの行列$A=\left( \begin{array}{cc}
1 & 2 \\
-3 & 6
\end{array} \right)$，$B=\left( \begin{array}{cc}
a-2 & -1 \\
a^2-2a-4 & 2a-6
\end{array} \right)$に対して，以下の各問いに答えよ．

(1)行列$A-kE$が逆行列をもたないような定数$k$の値を求めよ．ただし$E$は$2$次の単位行列を表す．
(2)$(1)$で求めた$k$の値を小さい順に$\alpha,\ \beta$とするとき，$\alpha P+\beta Q=A$，$P+Q=E$を満たす行列$P,\ Q$を求めよ．
(3)行列の積$P^2,\ Q^2,\ PQ,\ QP$を求めよ．
(4)行列$A$の$n$乗$A^n (n=1,\ 2,\ \cdots)$を求めよ．
(5)$a>0$として，行列$C$を$C=A+B$と定めるとき，行列$C-kE$が逆行列をもたないような定数$k$の値がただ$1$つしかないという．このような定数$k$および$a$の値を求めよ．
(6)$(5)$で求めた$k$を用いて行列$N$を$N=C-kE$と定めるとき，$N^2$を求めよ．
(7)行列$C$の$n$乗$C^n (n=1,\ 2,\ \cdots)$を求めよ．

$a$を正の定数とする．関数$\displaystyle f(x)=-\frac{x^3}{3}+ax$について，次の問に答えよ．

(1)$f(x)$の増減を調べ，極値を求めよ．
(2)$0 \leqq x \leqq 1$における$f(x)$の最大値を求めよ．
(3)$0 \leqq x \leqq 1$における$f(x)$の最小値を求めよ．

$a$を正の定数とし，$x$の関数$y=a^2x^2-2ax-1 (1 \leqq x \leqq 3) \cdots\cdots①$を考える．$①$の最大値を$M$，最小値を$m$とする．

(1)$M,\ m$をそれぞれ$a$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle M-m=\frac{1}{3}$であるときの$a$の値を求めよ．

$k$を実数の定数とする．$x$の方程式
\[ (\log_2x)^2-\log_2x^5+k=0 \cdots\cdots (*) \]
がある．

(1)$t=\log_2x$とおくとき，$(*)$を$t$の式で表すと，
\[ [ホ]t^2+[$*$マ]t+k=0 \]
となる．
(2)$k=4$のとき$(*)$の解は$x=[ミ],\ [ムメ]$である．
(3)$(*)$が二つの異なる実数解をもつための$k$の範囲は，$\displaystyle k<\frac{[モヤ]}{[ユ]}$である．
(4)$(3)$の下で，$(*)$の二つの解$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$が$\beta=4 \alpha$という関係にあるなら，$\alpha=[ヨ] \sqrt{[ラ]}$となる．