関数$f(x)=x^3+ax^2+bx+c$（ただし，$a,\ b,\ c$は実数の定数）について，次の問に答えよ．

(1)$a$は$a>-3$を満たし，$f(x)$は$x=1$のとき極小値をとる．このとき，$b$を$a$を用いて表せ．
(2)$(1)$のとき，さらに，$y=f(x)$のグラフが点$(0,\ 0)$に関して対称であるとする．このとき，$a,\ b,\ c$の値を求めよ．
(3)$y=f(x)$のグラフは，曲線上の点$\displaystyle \mathrm{A} \left( -\frac{a}{3},\ f \left( -\frac{a}{3} \right) \right)$に関して対称であることを示せ．

$x$の関数$\displaystyle g(x)=\frac{1}{3}8^x-3 \cdot 4^x+2^{x+3}+a$が極大値$\displaystyle \frac{22}{3}$をとるとき，定数$a$の値は$\displaystyle \frac{[マ]}{[ミ]}$であり，そのとき$g(x)$は$x=[ム]$で極小値$[メ]$をとる．

$a,\ b,\ c$を定数とし，$-1<a<0$とする．$2$次関数$f(x)=ax^2+bx+c$のグラフが点$(2,\ -4)$と点$(0,\ 2)$を通るとする．さらに，この$2$次関数$y=f(x)$のグラフの頂点の$y$座標が$4$であるとする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$a,\ b,\ c$の値を求めよ．
(2)$f(x) \geqq -3$となる$x$の値の範囲を求めよ．

曲線$\displaystyle y=\cos x \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right)$と$x$軸，$y$軸で囲まれた図形の面積が，$2$つの曲線$y=a \sin x$，$y=b \sin x (0<b<a)$によって$3$等分されるとき，定数$a,\ b$の値を求めよ．

空欄$[$1$]$から$[$11$]$にあてはまる数値または式を記入せよ．

(1)方程式$2x^2+3x-4=0$の解は$[$1$]$である．
(2)$a,\ b$を定数とし，$a>0$とする．$1$次関数$y=ax+b (-1 \leqq x \leqq 5)$の値域が$-2 \leqq y \leqq 2$であるとき，$a,\ b$の値は$a=[$2$]$，$b=[$3$]$である．
(3)放物線$y=x^2+x+2$と直線$y=ax-a$が共有点をもたないような定数$a$の値の範囲は$[$4$]$である．
(4)多項式$P(x)=x^3+ax^2+2x+5a$を$x-3$で割った余りが$5$であるとき，定数$a$の値は$[$5$]$であり，商は$[$6$]$である．
(5)半径$r$の円$x^2+y^2=r^2$と直線$4x+3y-5=0$が接するとき，$r=[$7$]$である．また，接点の座標は$[$8$]$である．
(6)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=1$，$\mathrm{BC}=\sqrt{3}$，$\mathrm{CA}=\sqrt{5}$のとき，$\cos A$の値は$[$9$]$，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$[$10$]$である．また，$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径は$[$11$]$である．

空欄$[$1$]$から$[$11$]$にあてはまる数値または式を記入せよ．

(1)$30$以下の自然数の集合を全体集合$U$とし，$U$の部分集合で$3$の倍数の集合を$A$，$U$の部分集合で$4$の倍数の集合を$B$とする．このとき，要素を書き並べる方法で表すと，$A \cap B=[$1$]$，$\overline{A} \cap B=[$2$]$である．
(2)$3$個の数字$0,\ 1,\ 2$を，重複を許して並べてできる$5$桁の整数は$[$3$]$個ある．そのうち，$0,\ 1,\ 2$の$3$個の数字がすべて使われている整数は$[$4$]$個ある．
(3)関数$y=\sin x \cos x (0 \leqq x \leqq \pi)$の最小値は$[$5$]$であり，関数$\displaystyle y=\sin \left( x+\frac{2}{3} \pi \right) (0 \leqq x \leqq \pi)$の最大値は$[$6$]$である．
(4)円$(x-a)^2+y^2=4$と直線$\displaystyle y=x-\frac{a}{2}$が接するとき，定数$a$の値は$a=[$7$]$または$a=[$8$]$である．
(5)不等式$\displaystyle 9^{x+\frac{1}{2}}-10 \cdot 3^x+3 \leqq 0$の解は$[$9$]$である．
(6)方程式$\displaystyle \frac{1}{2}x^3+mx+n=0$の解の$1$つが$-1-\sqrt{3}i$のとき，実数$m,\ n$の値は$m=[$10$]$，$n=[$11$]$である．

方程式$2 \log_2 |x-4|+\log_2(x+8)=a$を考える．$a$は定数である．このとき，次の問に答えなさい．

(1)この方程式が解$x=0$をもつとき$a=[ア]$である．
(2)$a=3+\log_25$のとき，この方程式の解$x$は
\[ x=[イ],\quad [ウエ] \pm [オ] \sqrt{[カ]} \]
である．
(3)この方程式の解$x$の個数がちょうど$2$個となるとき$a$の値は$a=[キ]$である．また，このときの解$x$は$x=[クケ]$，$[コ]$である．また$a=5 \log_23$のとき，この方程式の解$x$の個数はちょうど$[サ]$個である．

空欄$[$1$]$から$[$11$]$にあてはまる数値または式を記入せよ．

(1)$x=\sqrt{7}+3$，$y=\sqrt{7}-3$のとき，$xy=[$1$]$，$x^2+y^2=[$2$]$，$\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=[$3$]$である．
(2)$(x+9)^2-(x+9)-12$を因数分解すると$[$4$]$となる．
(3)連立不等式
\setstretch{2}
\[ \left\{ \begin{array}{l}
2x-3 \leqq 4x+6 \\
\displaystyle 3x+2 \leqq \frac{5x+3}{2}
\end{array} \right. \]
\setstretch{1.3}
の解は$[$5$]$である．
(4)方程式$2x^2-kx+3=0$が実数解をもたないような定数$k$の値の範囲は$[$6$]$である．
(5)$a,\ b$を定数とし，$a>0$，$b>0$とする．関数$y=ax^2$のグラフに，$y$軸上の点$(0,\ -b)$から接線を引く．$2$つの接線のうち，傾きが正であるものを$\ell$とし，接線$\ell$と放物線$y=ax^2$の接点を点$\mathrm{P}$とする．このとき，接線$\ell$の方程式と点$\mathrm{P}$の座標を$a$と$b$を用いて表すと，$\ell$の方程式は$[$7$]$，$\mathrm{P}$の座標は$[$8$]$となる．
(6)$2$次関数$y=f(x)$のグラフ$C$は，点$(0,\ 5)$を通り，$C$上の点$(-1,\ f(-1))$における接線は，$y=-11x+3$である．このとき，$f(x)=[$9$]$である．また，放物線$C$の$x \leqq 2$の部分と$x$軸および直線$x=2$で囲まれた部分の面積は$[$10$]$である．
(7)方程式$\displaystyle 5^{2x-3}-25^{x-1}+125^{\frac{2x}{3}}=121$の解は$[$11$]$である．

放物線$C:y=ax(x-b)$について，以下の問いに答えよ．ただし，$a,\ b$は定数とする．

(1)放物線$C$の頂点の座標を$a$と$b$で表せ．
(2)放物線$C$の頂点の座標が$(4,\ -12)$のとき，$a$と$b$を求めよ．
(3)$a$と$b$が$(2)$で求めた値であるとき，$xy$平面上で放物線$C$と$x$軸によって囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

$y=4 \sin^2 \theta-3 \cos \theta+2a-1$とする．以下の問いに答えよ．ただし，$a$は定数，$0 \leqq \theta \leqq \pi$とする．

(1)$\cos \theta=t$とおいて，$y$を$t$で表し，それを$f(t)$とする．$f(t)$を求めよ．
(2)$t$の値のとりうる範囲を求めよ．
(3)$t$についての$2$次方程式$f(t)=0$の解の判別式を$a$で表せ．
(4)$t$についての$2$次方程式$f(t)=0$が，$(2)$で求めた範囲で異なる$2$つの実数解をもつような定数$a$の値の範囲を求めよ．