「定数」について
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私立 北海学園大学 2013年 第2問次の各問いに答えよ．
(1)$\log_{10}2=0.3010$とするとき，$\log_{10}125$の値を求めよ．
(2)$x$の$2$次方程式$x^2 \cos^2 \theta+2x \sin 2\theta+a \sin^2 \theta=0$が重解をもつとき，定数$a$の値を求めよ．ただし，$\theta$は$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$を満たす定数とする．
(3)座標平面上に，$3$直線$\ell_1:y=x+1$，$\ell_2:y=2x$，$\ell_3:y=ax+b$がある．$\ell_1$と$\ell_2$が$\ell_3$に関して対称であるとき，定数$a$と$b$の値を求めよ．ただし，$a>0$とする．
(1)$\log_{10}2=0.3010$とするとき，$\log_{10}125$の値を求めよ．
(2)$x$の$2$次方程式$x^2 \cos^2 \theta+2x \sin 2\theta+a \sin^2 \theta=0$が重解をもつとき，定数$a$の値を求めよ．ただし，$\theta$は$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$を満たす定数とする．
(3)座標平面上に，$3$直線$\ell_1:y=x+1$，$\ell_2:y=2x$，$\ell_3:y=ax+b$がある．$\ell_1$と$\ell_2$が$\ell_3$に関して対称であるとき，定数$a$と$b$の値を求めよ．ただし，$a>0$とする．
私立 北海学園大学 2013年 第3問曲線$C:y=e^x$上の点$(a,\ e^a)$における接線を$\ell$とする．曲線$C$，接線$\ell$，および$y$軸で囲まれてできる図形を$F$とする．ただし，$a$は定数とし，$a>1$である．
(1)接線$\ell$の方程式を$a$を用いて表せ．
(2)図形$F$の面積$S$を$a$を用いて表せ．
(3)$e^a(1-a) \geqq -1$とするとき，図形$F$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$V$を$a$を用いて表せ．
(1)接線$\ell$の方程式を$a$を用いて表せ．
(2)図形$F$の面積$S$を$a$を用いて表せ．
(3)$e^a(1-a) \geqq -1$とするとき，図形$F$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$V$を$a$を用いて表せ．
私立 北海学園大学 2013年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$2$次関数$y=(2x-1)(ax+b)$のグラフを$y$軸方向に$-1$だけ平行移動した放物線を$C$とする．$C$が$(1,\ 0)$，$(-1,\ 0)$を通るとき，定数$a$と$b$の値，および$C$の頂点の座標を求めよ．
(2)$a \neq b$であり，$x$の$2$次方程式$x^2+ax+b=0$が$2$つの解$a$と$b$をもつとき，$a$と$b$の値を求めよ．
(3)下底が$7$であり，高さが上底よりも$5$だけ長い台形がある．この台形の高さを$x$とするとき，台形の面積が$40$以上$60$以下であるような$x$の値の範囲を求めよ．
(1)$2$次関数$y=(2x-1)(ax+b)$のグラフを$y$軸方向に$-1$だけ平行移動した放物線を$C$とする．$C$が$(1,\ 0)$，$(-1,\ 0)$を通るとき，定数$a$と$b$の値，および$C$の頂点の座標を求めよ．
(2)$a \neq b$であり，$x$の$2$次方程式$x^2+ax+b=0$が$2$つの解$a$と$b$をもつとき，$a$と$b$の値を求めよ．
(3)下底が$7$であり，高さが上底よりも$5$だけ長い台形がある．この台形の高さを$x$とするとき，台形の面積が$40$以上$60$以下であるような$x$の値の範囲を求めよ．
私立 北海学園大学 2013年 第1問$2$次関数$f(x)=-x^2+(2a-3)x-a^2+3a+4$について，次の問いに答えよ．ただし，$a$は実数の定数とする．
(1)関数$f(x)$の最大値を求めよ．また，そのときの$x$の値を$a$を用いて表せ．
(2)$0 \leqq x \leqq 2$における関数$f(x)$の最小値が$4$であるような，$a$の値をすべて求めよ．
(3)$a$が(2)で求めたそれぞれの値をとるとき，$y=f(x)$のグラフを原点に関して対称移動した放物線の方程式を求めよ．ただし，$y=f(x)$の定義域は実数全体とする．
(1)関数$f(x)$の最大値を求めよ．また，そのときの$x$の値を$a$を用いて表せ．
(2)$0 \leqq x \leqq 2$における関数$f(x)$の最小値が$4$であるような，$a$の値をすべて求めよ．
(3)$a$が(2)で求めたそれぞれの値をとるとき，$y=f(x)$のグラフを原点に関して対称移動した放物線の方程式を求めよ．ただし，$y=f(x)$の定義域は実数全体とする．
私立 北海学園大学 2013年 第2問次の各問いに答えよ．
(1)$\log_{10}2=0.3010$とするとき，$\log_{10}125$の値を求めよ．
(2)$x$の$2$次方程式$x^2 \cos^2 \theta+2x \sin 2\theta+a \sin^2 \theta=0$が重解をもつとき，定数$a$の値を求めよ．ただし，$\theta$は$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$を満たす定数とする．
(3)座標平面上に，$3$直線$\ell_1:y=x+1$，$\ell_2:y=2x$，$\ell_3:y=ax+b$がある．$\ell_1$と$\ell_2$が$\ell_3$に関して対称であるとき，定数$a$と$b$の値を求めよ．ただし，$a>0$とする．
(1)$\log_{10}2=0.3010$とするとき，$\log_{10}125$の値を求めよ．
(2)$x$の$2$次方程式$x^2 \cos^2 \theta+2x \sin 2\theta+a \sin^2 \theta=0$が重解をもつとき，定数$a$の値を求めよ．ただし，$\theta$は$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$を満たす定数とする．
(3)座標平面上に，$3$直線$\ell_1:y=x+1$，$\ell_2:y=2x$，$\ell_3:y=ax+b$がある．$\ell_1$と$\ell_2$が$\ell_3$に関して対称であるとき，定数$a$と$b$の値を求めよ．ただし，$a>0$とする．
私立 北海学園大学 2013年 第4問曲線$C:y=e^x$上の点$(a,\ e^a)$における接線を$\ell$とする．曲線$C$，接線$\ell$，および$y$軸で囲まれてできる図形を$F$とする．ただし，$a$は定数とし，$a>1$である．
(1)接線$\ell$の方程式を$a$を用いて表せ．
(2)図形$F$の面積$S$を$a$を用いて表せ．
(3)$e^a(1-a) \geqq -1$とするとき，図形$F$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$V$を$a$を用いて表せ．
(1)接線$\ell$の方程式を$a$を用いて表せ．
(2)図形$F$の面積$S$を$a$を用いて表せ．
(3)$e^a(1-a) \geqq -1$とするとき，図形$F$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$V$を$a$を用いて表せ．
私立 北海学園大学 2013年 第3問三角形$\mathrm{ABC}$は，$\mathrm{AB}=7k$，$\mathrm{BC}=6k$，$\mathrm{CA}=5k$であり，面積が$24 \sqrt{6}$である．ただし，$k$は正の定数とする．
(1)$k$の値を求めよ．
(2)$\angle \mathrm{A}$の$2$等分線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とするとき，線分$\mathrm{AD}$の長さを求めよ．
(3)三角形$\mathrm{ADC}$に内接する円の半径$r$を求めよ．
(1)$k$の値を求めよ．
(2)$\angle \mathrm{A}$の$2$等分線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とするとき，線分$\mathrm{AD}$の長さを求めよ．
(3)三角形$\mathrm{ADC}$に内接する円の半径$r$を求めよ．
私立 北海学園大学 2013年 第4問関数$f(x)=ax^2+bx+c$と$g(x)=|x^2-2x|$がある．曲線$y=f(x)$は$3$点$(1,\ 3)$，$(5,\ -5)$，$(-3,\ -21)$を通る．ただし，$a,\ b,\ c$は定数とする．
(1)$a,\ b,\ c$の値をそれぞれ求めよ．
(2)区間$-2 \leqq x \leqq 3$における$g(x)$の最大値と最小値を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$と曲線$y=g(x)$で囲まれた図形の面積を求めよ．
(1)$a,\ b,\ c$の値をそれぞれ求めよ．
(2)区間$-2 \leqq x \leqq 3$における$g(x)$の最大値と最小値を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$と曲線$y=g(x)$で囲まれた図形の面積を求めよ．
私立 南山大学 2013年 第1問$[ ]$の中に答を入れよ．
(1)$\displaystyle x+\frac{1}{x}=3$のとき，$\displaystyle x^2+\frac{1}{x^2}=[ア]$であり，$x^3-5x^2+7x-2=[イ]$である．
(2)定義域を$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{3}$とするとき，$f(x)=\cos 3x+\sin 3x$の最大値は$[ウ]$であり，最小値は$[エ]$である．
(3)ある工業製品の価格が前年比で毎年$10 \;\%$ずつ下落している．現在の価格が$1000$円であるならば，$3$年後の価格は$[オ]$円となり，価格がはじめて$200$円を下回るのは$[カ]$年後である．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とし，解答欄には整数値を入れよ．
(4)曲線$y=x^3+1$と直線$\ell$が点$\mathrm{A}$で接している．また，曲線$y=x^2+ax+1 (a<0)$も$\ell$と$\mathrm{A}$で接している．このとき，$a=[キ]$であり，$\ell$の方程式は$[ク]$である．
(5)定数$a$に対して，$\displaystyle \int_a^x f(t) \, dt=x^2+x-6$であるとき，$f(x)=[ケ]$，$a=[コ]$である．
(1)$\displaystyle x+\frac{1}{x}=3$のとき，$\displaystyle x^2+\frac{1}{x^2}=[ア]$であり，$x^3-5x^2+7x-2=[イ]$である．
(2)定義域を$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{3}$とするとき，$f(x)=\cos 3x+\sin 3x$の最大値は$[ウ]$であり，最小値は$[エ]$である．
(3)ある工業製品の価格が前年比で毎年$10 \;\%$ずつ下落している．現在の価格が$1000$円であるならば，$3$年後の価格は$[オ]$円となり，価格がはじめて$200$円を下回るのは$[カ]$年後である．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とし，解答欄には整数値を入れよ．
(4)曲線$y=x^3+1$と直線$\ell$が点$\mathrm{A}$で接している．また，曲線$y=x^2+ax+1 (a<0)$も$\ell$と$\mathrm{A}$で接している．このとき，$a=[キ]$であり，$\ell$の方程式は$[ク]$である．
(5)定数$a$に対して，$\displaystyle \int_a^x f(t) \, dt=x^2+x-6$であるとき，$f(x)=[ケ]$，$a=[コ]$である．
私立 南山大学 2013年 第3問$2$つの関数$f(x),\ g(x)$を
\[ f(x)=\frac{1}{1+e^x},\quad g(x)=\frac{e^x}{(1+e^x)^2} \]
とする．
(1)導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)すべての$x$について$g(-x)=g(x)$が成り立つことを示せ．
(3)$a$を正の定数とする．このとき，次の$2$つの定積分を求めよ．
\[ \int_{-a}^a xg(x) \, dx,\quad \int_{-a}^a |x| g(x) \, dx \]
\[ f(x)=\frac{1}{1+e^x},\quad g(x)=\frac{e^x}{(1+e^x)^2} \]
とする．
(1)導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)すべての$x$について$g(-x)=g(x)$が成り立つことを示せ．
(3)$a$を正の定数とする．このとき，次の$2$つの定積分を求めよ．
\[ \int_{-a}^a xg(x) \, dx,\quad \int_{-a}^a |x| g(x) \, dx \]