$x>0$の範囲で関数$f(x)$を，$\displaystyle f(x)=\int_0^2 (|t^2-2xt|+xt) \, dt$により定めるとき，以下の問いに答えよ．

(1)$0<x \leqq 1$のとき，$f(x)$を求めよ．
(2)$x$が$x>0$の範囲を動くとき，$f(x)$の最小値とそのときの$x$の値を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$と直線$y=4x+k$が異なる$2$点で交わるように，定数$k$の値の範囲を定めよ．

数列$\{r_n\}$が次の関係式を満たしている．
\[ r_1=0,\quad r_{n+1}=\frac{r_n+2}{2r_n+1} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle r_{n+1}-\alpha=\beta \frac{r_n-\alpha}{2r_n+1} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を満たす定数$\alpha,\ \beta$をすべて求めよ．

(2)$\displaystyle \frac{r_{n+1}-p}{r_{n+1}-q}=k \frac{r_n-p}{r_n-q} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を満たす定数$p,\ q,\ k$の組$(p,\ q,\ k)$を$1$つ求めよ．ただし，$p \neq q$とする．

(3)数列$\{r_n\}$の一般項を求めよ．
(4)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}r_n$を求めよ．

行列
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
\displaystyle\frac{3}{2} & -1 \\
1 & -\displaystyle\frac{1}{2}
\end{array} \right),\quad B=\left( \begin{array}{cc}
p & -2 \\
1 & q
\end{array} \right),\quad J=\left( \begin{array}{cc}
\displaystyle\frac{1}{2} & 1 \\
0 & \displaystyle\frac{1}{2}
\end{array} \right) \]
が$AB=BJ$を満たすとき，次の問いに答えよ．ただし，$p,\ q$は定数であり，以下で用いる$n$は自然数である．

(1)$p,\ q$の値を求めよ．
(2)$\displaystyle J^n=\frac{1}{2^n} \left( \begin{array}{cc}
1 & 2n \\
0 & 1
\end{array} \right)$を示せ．
(3)$\displaystyle A^n=\frac{1}{2^n} \left( \begin{array}{cc}
1+2n & -2n \\
2n & 1-2n
\end{array} \right)$を示せ．
(4)行列$A^n$の表す$1$次変換により，$xy$平面上の点$(p,\ 1)$，$(-2,\ q)$が，それぞれ点$\mathrm{P}_n$，$\mathrm{Q}_n$に移される．原点を$\mathrm{O}$として，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}_n$と$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}_n$のなす角を$\theta_n$とするとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\cos \theta_n$を求めよ．

次の各問いに答えよ．

(1)次の$(ⅰ),\ (ⅱ)$に答えよ．

(i) $m,\ n$が自然数ならば，$\displaystyle \frac{m}{n} \neq \sqrt{2}$である．このことを証明せよ．
(ii) $p,\ q$が自然数ならば，$\sqrt{2}$は$\displaystyle \frac{p}{q}$と$\displaystyle \frac{2q}{p}$の間にある．すなわち，$\displaystyle \frac{p}{q}<\sqrt{2}<\frac{2q}{p}$または$\displaystyle \frac{2q}{p}<\sqrt{2}<\frac{p}{q}$が成り立つ．このことを証明せよ．

(2)定数$a$は実数で，$a>0,\ a \neq 1$とする．このとき，すべての正の実数$x,\ y$に対して$x^{\log_ay}=y^{\log_ax}$が成り立つ．このことを証明せよ．

等式$\left( \begin{array}{cc}
2 & 3 \\
3 & 5
\end{array} \right) \left( \begin{array}{c}
1 \\
y
\end{array} \right)=x \left( \begin{array}{c}
1 \\
y
\end{array} \right)$を満たす定数$x,\ y$の組$(x,\ y)$を$(x_1,\ y_1)$，$(x_2,\ y_2)$とする．ただし，$y_1<y_2$とする．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)$(x_1,\ y_1)$，$(x_2,\ y_2)$を求めなさい．
(2)次の等式を満たす定数$\alpha,\ \beta$の値を求めなさい．
\[ \alpha \left( \begin{array}{c}
1 \\
y_1
\end{array} \right)+\beta \left( \begin{array}{c}
1 \\
y_2
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
2 \\
2
\end{array} \right) \]
(3)数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$が，
\[ \left( \begin{array}{c}
a_n \\
b_n
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc}
2 & 3 \\
3 & 5
\end{array} \right)^n \left( \begin{array}{c}
2 \\
2
\end{array} \right) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定められるとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{b_n}{a_n}$を求めなさい．

$a$を正の定数とし，$m$を自然数とする．$xy$平面上の$2$曲線$C_1:y=ax^2 \ (x \geqq 0)$，$C_2:y=(\log x)^{m} \ (x \geqq 1)$および点$\mathrm{P}$は次の条件を満たしている．

$C_1$と$C_2$は$\mathrm{P}$を通り，$\mathrm{P}$における$C_1$の接線と$\mathrm{P}$における$C_2$の接線は一致する．
(1)$a$の値および$\mathrm{P}$の$x$座標を$m$を用いて表せ．
(2)関数$\displaystyle f(x)=\frac{(\log x)^m}{x^2} \ (x \geqq 1)$の最大値を求め，$x \geqq 1$において不等式$ax^2 \geqq (\log x)^m$が成り立つことを示せ．
(3)自然数$n$に対して，不定積分$\displaystyle \int (\log x)^n \, dx$を$I_n$とおく．$n \geqq 2$のとき，部分積分法により，$I_n$を$I_{n-1}$を用いて表せ．
(4)$m=2$のとき，$C_1,\ C_2$および$x$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．

等式$\left( \begin{array}{cc}
2 & 3 \\
3 & 5
\end{array} \right) \left( \begin{array}{c}
1 \\
y
\end{array} \right)=x \left( \begin{array}{c}
1 \\
y
\end{array} \right)$を満たす定数$x,\ y$の組$(x,\ y)$を$(x_1,\ y_1)$，$(x_2,\ y_2)$とする．ただし，$y_1<y_2$とする．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)$(x_1,\ y_1)$，$(x_2,\ y_2)$を求めなさい．
(2)次の等式を満たす定数$\alpha,\ \beta$の値を求めなさい．
\[ \alpha \left( \begin{array}{c}
1 \\
y_1
\end{array} \right)+\beta \left( \begin{array}{c}
1 \\
y_2
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
2 \\
2
\end{array} \right) \]
(3)数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$が，
\[ \left( \begin{array}{c}
a_n \\
b_n
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc}
2 & 3 \\
3 & 5
\end{array} \right)^n \left( \begin{array}{c}
2 \\
2
\end{array} \right) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定められるとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{b_n}{a_n}$を求めなさい．

$xy$平面において，連立不等式
\[ x^2+y^2 \leqq 1,\quad x \geqq 0,\quad y \geqq 0 \]
で定まる図形を$S$とする．$t$を$0<t<1$となる定数とし，$S$を直線$y=t$で$2$つの部分に切断する．$S_1$を$S$と領域$y \geqq t$の共通部分，$S_2$を$S$と領域$y \leqq t$の共通部分とする．

(1)図形$S_1,\ S_2$を描け．
(2)$S_1,\ S_2$を$y$軸の周りに$1$回転させてできる立体をそれぞれ$V_1,\ V_2$とする．不等式
\[ \frac{(S_1 \ \text{の面積})}{(S_2 \ \text{の面積})} \geqq \frac{(V_1 \ \text{の体積})}{(V_2 \ \text{の体積})} \]
を示せ．

$f(x)=x^2-x$とする．

(1)放物線$y=f(x)$と直線$y=2x$で囲まれた図形の面積を求めよ．
(2)次の問いに答えよ．

(i) 関数$y=f(x)$と$y=2 |x|$のグラフの共有点の座標を求めよ．
(ii) 関数$y=f(x)$と$y=2 |x|+k$のグラフの共有点の個数が$2$となる定数$k$の値の範囲を求めよ．

次の各問に答えよ．

(1)方程式$2 \cdot 8^x-3 \cdot 4^{x+1}+5 \cdot 2^{x+1}+24=0$を満たすような実数$x$をすべて求めよ．
(2)実数$\theta$に対し，関数$f(\theta)$と$g(\theta)$を，
\[ f(\theta)=(\cos \theta)(\cos 2\theta)(\cos 3\theta),\quad g(\theta)=(\sin \theta)(\sin 2\theta)(\sin 3\theta) \]
とおくとき，次の$(ⅰ),\ (ⅱ)$に答えよ．

(i) 関数$f(\theta),\ g(\theta)$は，それぞれ
\[ \begin{array}{l}
f(\theta)=p+q \cos 2\theta+r \cos 4\theta+s \cos 6\theta \\
g(\theta)=t+u \sin 2\theta+v \sin 4\theta+w \sin 6\theta
\end{array} \]
のように表されることを示せ．ただし，$p,\ q,\ r,\ s,\ t,\ u,\ v,\ w$は$\theta$によらない定数とする．
(ii) $0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき，方程式$\displaystyle f(\theta)=g \left( \theta+\frac{\pi}{4} \right)$を満たすような$\theta$をすべて求めよ．