数列$\{a_n\}$が条件
\[ \begin{array}{l}
3a_n=S_n+pn^2+qn+r \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots), \\
a_1=1,\quad a_2=2,\quad a_3=5
\end{array} \]
を満たすとする．ただし，$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n a_k$であり，$p,\ q,\ r$は定数である．次の問いに答えよ．

(1)$p,\ q,\ r$の値を求めよ．
(2)$S_{n+1}-S_n$を考えることにより，$a_{n+1}$を$a_n$と$n$を用いて表せ．
(3)$b_n=a_{n+1}-a_n+3$とおくとき，数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(4)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

関数$f(x)=x^3-3ax$について次の問いに答えよ．ただし，$a$は正の定数である．

(1)関数$y=f(x)$の増減，極値を調べ，そのグラフの概形をかけ．
(2)定数$k$が$0<k \leqq \sqrt{a}$の範囲にあるとき，$-k \leqq x \leqq 2k$における$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$2$次方程式$x^2-2ax+2a+3=0$が異なる$2$つの実数解をもち，その$2$つの実数解がともに$1$以上$5$以下であるように，定数$a$の値の範囲を定めよ．
(2)多項式$4x^4+7x^2+16$を因数分解せよ．

$A=\left( \begin{array}{cc}
a & -a \\
-b & b
\end{array} \right),\ E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$とし，$n$を自然数とする．また，
\[ E+A+A^2+\cdots +A^n=\left( \begin{array}{cc}
p_n & q_n \\
r_n & s_n
\end{array} \right) \]
とおく．

(1)$A^2=cA$となる定数$c$を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)行列$A^n$を$a,\ b$および$n$を用いて表せ．
(3)$a,\ b$は正の数で$a+b<1$を満たす．$p_n$を$a,\ b$および$n$を用いて表せ．
(4)$\displaystyle a=\frac{1}{2},\ b=\frac{1}{3}$のとき，極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}p_n$を求めよ．

定数$a,\ b$と自然対数の底$e$に対して，$f(x)=(ax+b)e^{-x}$とおく．曲線$y=f(x)$は点$(0,\ 2)$を通り，その点における接線の傾きは$2$であるとする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$a,\ b$の値を求めよ．
(2)関数$f(x)$の極値を求めよ．
(3)$0 \leqq x \leqq 1$の範囲において，曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$\theta$が方程式$\displaystyle \cos 2 \theta-2 \sin \theta=\frac{1}{2}$を満たすとき，$\sin \theta$の値を求めよ．
(2)不等式$\log_{\frac{1}{2}}(2-x)<\log_{\frac{1}{4}}(2-x)$を解け．
(3)$x$の多項式$x^4-px+q$が$(x-1)^2$で割り切れるとき，定数$p,\ q$の値を求めよ．
(4)空間内に$5$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$があり，次の等式を満たしている．
\[ \overrightarrow{\mathrm{EA}}+\overrightarrow{\mathrm{EB}}+\overrightarrow{\mathrm{EC}}+\overrightarrow{\mathrm{ED}}=\overrightarrow{\mathrm{0}},\quad \overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{CD}} \]
$\overrightarrow{\mathrm{EB}}$を$\overrightarrow{\mathrm{EA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{EC}}$を用いて表せ．ただし，$\overrightarrow{\mathrm{0}}$は零ベクトルである．

$a,\ b$を定数とし，$a \neq 0$とする．関数$f(x)=ax^2-4x+b$は，条件
\[ x^2f^{\prime\prime}(x)-xf^\prime(x)+f(x)=x^2+8 \]
を満たすとする．

(1)$a,\ b$の値を求めよ．
(2)直線$\ell$が，放物線$y=x^2$の接線であり，かつ放物線$y=f(x)$の接線でもあるとき，$\ell$の方程式を求めよ．
(3)$2$つの放物線$y=x^2$と$y=f(x)$，および$(2)$で求めた接線$\ell$で囲まれた部分の面積を求めよ．

$x \geqq 0$において連続関数$f(x)$が不等式
\[ f(x) \leqq a+\int_0^x 2tf(t) \, dt \]
をみたしているとする．$g(x)=ae^{x^2}$とするとき，下の問いに答えよ．ただし，$a$は$0$以上の定数である．

(1)等式$\displaystyle g(x)=a+\int_0^x 2tg(t) \, dt$を示せ．
(2)$\displaystyle h(x)=e^{-x^2}\int_0^x 2tf(t) \, dt$とするとき，$x>0$において不等式$h^\prime(x) \leqq 2axe^{-x^2}$が成り立つことを示せ．
(3)$x \geqq 0$において不等式$f(x) \leqq g(x)$が成り立つことを示せ．

次の設問に答えよ．

(1)$2$次方程式$x^2-ax-a+8=0$が，異なる$2$つの正の実数解をもつように，定数$a$の値の範囲を定めよ．
(2)次の等式を満たす実数$x$の値を求めよ．
\[ |x|+2 |x-2|=x+2 \]

$a$を正の定数とする．次の方程式で表される円$C_1$と放物線$C_2$がある．
\[ C_1:(x-2a)^2+y^2=a^2,\quad C_2:y=\frac{2}{5a^2}x^2+1 \]
$C_1$の中心を$\mathrm{P}$，$C_2$の頂点を$\mathrm{Q}$とし，$\mathrm{PR}^2-\mathrm{QR}^2=a^2-1$を満たす点$\mathrm{R}$の軌跡を$C_3$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$C_3$を表す方程式を求めよ．
(2)$C_1$と$C_3$が共有点をもつとき，$C_2$と$C_3$は共有点をもたないことを示せ．