$f(x)=xe^{-\frac{x}{2}},\ g(x)=\sqrt{e}x$とする．次の問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．

(1)$f(x)$の極値を求めよ．
(2)$k$を定数とする．$0 \leqq x \leqq 4$の範囲で$f(x)=k$の実数解の個数を求めよ．
(3)$2$つの曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$で囲まれた部分の面積を求めよ．

$c$を正の定数とする．平面上の原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$および$3$点$\mathrm{A}(0,\ 1)$，$\mathrm{B}(0,\ -1)$，$\mathrm{C}(c,\ 0)$について下の問いに答えなさい．

(1)点$\mathrm{P}$が線分$\mathrm{OC}$上を動くとき，$3$点からの距離の$2$乗の和$\mathrm{AP}^2+\mathrm{BP}^2+\mathrm{CP}^2$の最小値とそのときの$\mathrm{P}$の座標を求めなさい．
(2)点$\mathrm{Q}$が線分$\mathrm{OC}$上を動くとき，$3$点からの距離の和$\mathrm{AQ}+\mathrm{BQ}+\mathrm{CQ}$の最小値とそのときの$\mathrm{Q}$の座標を求めなさい．

$a$を実数の定数とする．$2$曲線$y=x^2$と$\displaystyle y=\frac{4}{x+a}$がちょうど$2$つの共有点を持っているとき，下の問いに答えなさい．

(1)$a$の値を求めなさい．
(2)$2$曲線で囲まれた図形の面積を求めなさい．

$k$を正の定数とする．$2$つの曲線
\[ C_1:y=\cos x \ \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right),\quad C_2:y=k \tan x \ \left( 0 \leqq x<\frac{\pi}{2} \right) \]
について，次の問いに答えよ．

(1)$C_1$と$C_2$の交点におけるそれぞれの曲線の接線を$\ell_1,\ \ell_2$とする．直線$\ell_1,\ \ell_2$がなす角を$\displaystyle \theta \ \left( 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2} \right)$とするとき，$\theta$の値を求めよ．
(2)$\displaystyle k=\frac{3}{2}$のとき，曲線$C_1,\ C_2$と$y$軸で囲まれる図形を$x$軸のまわりに回転させてできる立体の体積$V$を求めよ．

$\displaystyle 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2}$を満たす実数$t$に対して，$xy$平面上に$2$点$\mathrm{A}(1+2t,\ (1+t)\cos t+\sin t)$，$\mathrm{B}(-1,\ -(1+t)\cos t+\sin t)$を考える．$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る直線を$\ell_t$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)直線$\ell_t$の方程式を求めよ．
(2)$k$を定数とし，直線$\ell_t$と直線$x=k$との交点を$\mathrm{P}$とする．$t$が$\displaystyle 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，点$\mathrm{P}$の$y$座標のとりうる値の範囲を$k$を用いて表せ．
(3)$t$が$\displaystyle 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，直線$\ell_t$の通りうる領域を図示せよ．

定数でない微分可能な関数$f(x)$が，すべての実数$k,\ x$について
\[ \int_{k-x}^{k+x}f(t) \, dt=\frac{x}{2}\{f(k-x)+2f(k)+f(k+x)\} \]
を満たすとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$k$を定数とし，$g(x)=f(k+x)+f(k-x)$とおく．このとき，$g(x)$を$f(k)$，$x$，$g^\prime(x)$を用いて表せ．
(2)$x \neq 0$のとき$\displaystyle \left( \frac{g(x)}{x} \right)^\prime$を$f(k)$，$x$を用いて表せ．
(3)$g^\prime(x)$は定数関数であることを示せ．
(4)$f^\prime(k+x)=f^\prime(k-x)$であることを示せ．
(5)$f(x)$は$x$の$1$次関数であることを示せ．

$\displaystyle 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2}$を満たす実数$t$に対して，$xy$平面上に$2$点$\mathrm{A}(1+2t,\ (1+t)\cos t+\sin t)$，$\mathrm{B}(-1,\ -(1+t)\cos t+\sin t)$を考える．$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る直線を$\ell_t$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)直線$\ell_t$の方程式を求めよ．
(2)$k$を定数とし，直線$\ell_t$と直線$x=k$との交点を$\mathrm{P}$とする．$t$が$\displaystyle 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，点$\mathrm{P}$の$y$座標のとりうる値の範囲を$k$を用いて表せ．
(3)$t$が$\displaystyle 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，直線$\ell_t$の通りうる領域を図示せよ．

関数$f(x)=x^3-3a^2x-2a^2$を考える．ただし，$a>1$とする．

(1)関数$f(x)$の極大値と極小値を求めよ．
(2)定数$k \ (k<0)$に対して，方程式$f(x)=k$が相異なる$2$つだけの実数解$x_1,\ x_2$をもつとする．このとき，$k,\ x_1,\ x_2$の値をそれぞれ求めよ．ただし，$x_1<x_2$とする．
(3)$x_1,\ x_2$を(2)で求めた値とするとき，$\mathrm{P}(x_1,\ f(x_1))$，$\mathrm{Q}(x_2,\ f(x_2))$，原点の$3$点を通る放物線を求めよ．
(4)$k$が(2)で求めた値をとるとき，(3)で求めた放物線と直線$y=k$で囲まれた図形の面積を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{x \sin x}{1-\cos x}$を求めよ．
(2)等式$\displaystyle (x+yi)^2=\frac{1+\sqrt{3}i}{2}$を満たす実数$x,\ y$を求めよ．ただし，$i$は虚数単位を表す．
(3)すべての実数$x$に対し，$x^3+2x^2+3x+4=a(x-10)^3+b(x-10)^2+c(x-10)+d$となるような定数$a,\ b,\ c,\ d$を求めよ．

$a>0$となる定数$a$に対して，関数$\displaystyle f(x)=\frac{1}{3}x^3-a^2x-\frac{2}{3}a^3$とする．次の問いに答えよ．

(1)$y=|f(x)|$のグラフの概形をかけ．
(2)$-1 \leqq x \leqq 1$における関数$|f(x)|$の最大値を求めよ．