座標平面上の$2$点$\mathrm{A}(0,\ 1)$，$\mathrm{B}(t,\ 0)$を考える．ただし，$t \geqq 0$とする．次の問いに答えよ．

(1)線分$\mathrm{AB}$を$1$辺とする正三角形は$2$つある．それぞれの正三角形について，$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$以外の頂点の座標を$t$を用いて表せ．
(2)$(1)$で求めた$2$点のうち$x$座標が小さい方を$\mathrm{C}$とする．$t$を動かすとき，点$\mathrm{C}$の軌跡を図示せよ．
(3)$k$を定数とする．点$\mathrm{B}$と直線$y=kx$上の点$\mathrm{P}$をそれぞれうまく選ぶことで$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{P}$を頂点とする正三角形ができるとき，$k$の値の範囲を求めよ．

次の問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底である．

(1)$x \geqq 2$のとき，$x^4e^{-3x} \leqq 16e^{-6}$を示せ．また，これを用いて$\displaystyle \lim_{x \to \infty}x^3e^{-3x}$を求めよ．
(2)$k$を定数とする．$x>0$の範囲で方程式
\[ xe^{-3x}=\frac{k}{x^2} \]
がちょうど$2$つの解$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$をもつような$k$の値の範囲を求めよ．
(3)$(2)$の$\alpha,\ \beta$が$\beta=2 \alpha$を満たすとき，曲線$y=xe^{-3x} (x>0)$と曲線$\displaystyle y=\frac{k}{x^2} (x>0)$で囲まれた部分の面積を求めよ．

1次関数$f(x)=px+q$に対して，$x$の係数$p$と定数項$q$を成分にもつベクトル$(p,\ q)$を$\overrightarrow{f}$とする．つまり，$\overrightarrow{f}=(p,\ q)$とする．次の問いに答えよ．

(1)定積分
\[ \int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} (kx+l)(mx+n) \, dx \]
を求めよ．ただし，$k,\ l,\ m,\ n$は定数である．
(2)2つの1次関数$g(x)$と$h(x)$に対して，等式
\[ \frac{1}{2 \sqrt{3}} \int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} g(x)h(x) \, dx=\overrightarrow{g} \cdot \overrightarrow{h} \]
が成り立つことを示せ．ただし，$\overrightarrow{g} \cdot \overrightarrow{h}$はベクトル$\overrightarrow{g}$，$\overrightarrow{h}$の内積を表す．
(3)等式
\[ \int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} (2x+1)^2 \, dx \int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} \{g(x)\}^2 \, dx=\left\{ \int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} (2x+1)g(x) \, dx \right\}^2 \]
を満たし，$g(0)=-2$であるような1次関数$g(x)$を求めよ．

$a$を定数とする．放物線$y=a-x^2$の接線のうち，原点との距離が最小になるものの方程式を求めよ．またそのときの距離を求めよ．

$k$を定数とするとき，方程式$e^x-x^e=k$の異なる正の解の個数を求めよ．

座標平面上の$3$点
\[ \mathrm{P}(0,\ -\sqrt{2}),\quad \mathrm{Q}(0,\ \sqrt{2}),\quad \mathrm{A}(a,\ \sqrt{a^2+1}) \quad (0 \leqq a \leqq 1) \]
を考える．

(1)$2$つの線分の長さの差$\mathrm{PA}-\mathrm{AQ}$は$a$によらない定数であることを示し，その値を求めよ．
(2)$\mathrm{Q}$を端点とし$\mathrm{A}$を通る半直線と放物線$\displaystyle y=\frac{\sqrt{2}}{8}x^2$との交点を$\mathrm{B}$とする．点$\mathrm{B}$から直線$y=2$へ下した垂線と直線$y=2$との交点を$\mathrm{C}$とする．このとき，線分の長さの和
\[ \mathrm{PA}+\mathrm{AB}+\mathrm{BC} \]
は$a$によらない定数であることを示し，その値を求めよ．

$a,\ b$を実数の定数とする．実数$x,\ y$が
\[ x^2+y^2 \leqq 25,\quad 2x+y \leqq 5 \]
をともに満たすとき，$z=x^2+y^2-2ax-2by$の最小値を求めよ．

$f(x)=xe^{-\frac{x}{2}},\ g(x)=\sqrt{e}x$とする．次の問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．

(1)$f(x)$の極値を求めよ．
(2)$k$を定数とする．$0 \leqq x \leqq 4$の範囲で$f(x)=k$の実数解の個数を求めよ．
(3)$2$つの曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$で囲まれた部分の面積を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)実数$x,\ y$が$(x-2)^2+y^2 \leqq 3$を満たすとき，$\displaystyle \frac{y-7}{x}$のとりうる値の範囲を求めよ．
(2)$4$次方程式$x^4+ax^3+14x^2+16x+b=0$が$x=-2$を$2$重解としてもつとき，定数$a,\ b$の値と他の解を求めよ．
(3)$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，関数$\displaystyle y=\sin^2 \theta-\sin \left( \theta+\frac{\pi}{2} \right)$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$\theta$の値を求めよ．

点$\mathrm{A}(a,\ 0)$と楕円$\displaystyle C:\frac{x^2}{3}+y^2=1$を考える．点$\mathrm{A}$と楕円$C$上の点$\mathrm{P}(u,\ v)$との距離を$d$とする．ただし，$a$は正の定数とする．次の問いに答えよ．

(1)$d$を$u$の式で表せ．
(2)$d$の最小値を求めよ．また，そのときの$u$の値を求めよ．