「定数」について
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公立 大阪府立大学 2014年 第4問$a$は正の定数とし，曲線$C_1:y=ax^2 (0 \leqq x \leqq 1)$と$\displaystyle C_2:y=\frac{1}{a}(x-1)^2 (0 \leqq x \leqq 1)$および$x$軸で囲まれる部分の面積を$S(a)$とする．
(1)$C_1$と$C_2$の交点の$x$座標を求めよ．
(2)$S(a)$を求めよ．
(3)$a$がすべての正の実数を動くとき，$S(a)$の最大値とそれを与える$a$の値を求めよ．
(1)$C_1$と$C_2$の交点の$x$座標を求めよ．
(2)$S(a)$を求めよ．
(3)$a$がすべての正の実数を動くとき，$S(a)$の最大値とそれを与える$a$の値を求めよ．
公立 大阪府立大学 2014年 第5問定数$c$は$1<c<\sqrt{2}$をみたすとし，$0 \leqq x<1$で定義された$2$つの関数
\[ f(x)=x+\sqrt{1-x^2},\quad g(x)=cf(x)-x \sqrt{1-x^2} \]
を考える．$g(x)$の導関数を$g^\prime(x)$と表す．
(1)$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．また，それらを与える$x$の値も求めよ．
(2)$g^\prime(x)=h(x)(c-f(x))$をみたす関数$h(x)$を求めよ．
(3)$g(x)$の最大値を求めよ．ただし，最大値を与える$x$の値を求める必要はない．
\[ f(x)=x+\sqrt{1-x^2},\quad g(x)=cf(x)-x \sqrt{1-x^2} \]
を考える．$g(x)$の導関数を$g^\prime(x)$と表す．
(1)$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．また，それらを与える$x$の値も求めよ．
(2)$g^\prime(x)=h(x)(c-f(x))$をみたす関数$h(x)$を求めよ．
(3)$g(x)$の最大値を求めよ．ただし，最大値を与える$x$の値を求める必要はない．
公立 九州歯科大学 2014年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle 3-\sqrt{5}+\frac{m}{3-\sqrt{5}}=n$をみたす整数$m$と$n$の値を求めよ．
(2)$\displaystyle F(x)=\sum_{k=1}^{12} \{ \log (e^{2k}x^2+e^{-2k})-\log (e^{-2k}x^2+e^{2k}) \}$とおくとき，$\displaystyle \alpha=\lim_{x \to \infty} F(x)$と$\displaystyle \beta=\lim_{x \to 0} F(x)$の値を求めよ．ただし，$e$は自然対数の底である．
(3)$2$つの関数$f(x)$と$g(x)$が$f(0)=-6$，$g(0)=2$，$g(x)>0$，$g^\prime(x)=f^\prime(x)+4x+3$，$\displaystyle f^\prime(x)=\frac{f(x)g^\prime(x)}{g(x)}-2xg(x)$をみたすとき，$\displaystyle g(x)=\frac{ax}{x^2+4}+b$となる定数$a$と$b$を求めよ．ただし，$f^\prime(x)$と$g^\prime(x)$はそれぞれ$f(x)$と$g(x)$の導関数である．
(1)$\displaystyle 3-\sqrt{5}+\frac{m}{3-\sqrt{5}}=n$をみたす整数$m$と$n$の値を求めよ．
(2)$\displaystyle F(x)=\sum_{k=1}^{12} \{ \log (e^{2k}x^2+e^{-2k})-\log (e^{-2k}x^2+e^{2k}) \}$とおくとき，$\displaystyle \alpha=\lim_{x \to \infty} F(x)$と$\displaystyle \beta=\lim_{x \to 0} F(x)$の値を求めよ．ただし，$e$は自然対数の底である．
(3)$2$つの関数$f(x)$と$g(x)$が$f(0)=-6$，$g(0)=2$，$g(x)>0$，$g^\prime(x)=f^\prime(x)+4x+3$，$\displaystyle f^\prime(x)=\frac{f(x)g^\prime(x)}{g(x)}-2xg(x)$をみたすとき，$\displaystyle g(x)=\frac{ax}{x^2+4}+b$となる定数$a$と$b$を求めよ．ただし，$f^\prime(x)$と$g^\prime(x)$はそれぞれ$f(x)$と$g(x)$の導関数である．
公立 九州歯科大学 2014年 第3問さいころを$2$回続けて投げる．出た目の数の積を$A$とし，$B=\sqrt{A}$とおく．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$A$が奇数となる確率$p$と$B$が整数となる確率$q$を求めよ．
(2)$\displaystyle f(x)=\sqrt{2} \sin \left( x+\frac{\pi}{4} \right)+(\sqrt{3}-1) \cos x$とおくとき，$f(x)=C \sin x+D \cos x$となる定数$C$と$D$を求めよ．また，$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$における$f(x)$の最大値$M$と最小値$m$の値を求めよ．
(3)$\displaystyle g(x)=\sqrt{2} \sin \left( x+\frac{5 \pi}{4} \right)+(1-\sqrt{3}) \cos x$を$f(x)$を用いて表せ．また，$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$における$g(x)$の最大値$N$と最小値$n$の値を求めよ．
(4)$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$に対して$\displaystyle T(x)=\sqrt{2} \sin \left( x+A \pi+\frac{\pi}{4} \right)+(-1)^A (\sqrt{3}-1) \cos x$とおく．$T(x)>0$となる確率$r$を求めよ．
(1)$A$が奇数となる確率$p$と$B$が整数となる確率$q$を求めよ．
(2)$\displaystyle f(x)=\sqrt{2} \sin \left( x+\frac{\pi}{4} \right)+(\sqrt{3}-1) \cos x$とおくとき，$f(x)=C \sin x+D \cos x$となる定数$C$と$D$を求めよ．また，$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$における$f(x)$の最大値$M$と最小値$m$の値を求めよ．
(3)$\displaystyle g(x)=\sqrt{2} \sin \left( x+\frac{5 \pi}{4} \right)+(1-\sqrt{3}) \cos x$を$f(x)$を用いて表せ．また，$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$における$g(x)$の最大値$N$と最小値$n$の値を求めよ．
(4)$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$に対して$\displaystyle T(x)=\sqrt{2} \sin \left( x+A \pi+\frac{\pi}{4} \right)+(-1)^A (\sqrt{3}-1) \cos x$とおく．$T(x)>0$となる確率$r$を求めよ．
公立 公立はこだて未来大学 2014年 第1問次式で与えられる$2$つの放物線$C_1,\ C_2$について，以下の問いに答えよ．
\[ C_1:y=x^2,\quad C_2:y=ax^2+1 \]
ただし，$a$は$0$でない定数とする．
(1)$C_1$と$C_2$が$2$個の共有点をもつように，定数$a$のとりうる値の範囲を求めよ．さらに，そのときの共有点の座標をすべて求めよ．
(2)$a$の値が$(1)$で求めた範囲にあるとき，第$1$象限における$C_1$と$C_2$の共有点を$\mathrm{P}$とする．点$\mathrm{P}$における$C_1$と$C_2$の接線をそれぞれ$\ell_1$，$\ell_2$とする．また，$\ell_1$と$\ell_2$および$y$軸で囲まれた部分の面積を$S_1$，$C_1$と$C_2$で囲まれた部分の面積を$S_2$とする．このとき，$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$を求めよ．
\[ C_1:y=x^2,\quad C_2:y=ax^2+1 \]
ただし，$a$は$0$でない定数とする．
(1)$C_1$と$C_2$が$2$個の共有点をもつように，定数$a$のとりうる値の範囲を求めよ．さらに，そのときの共有点の座標をすべて求めよ．
(2)$a$の値が$(1)$で求めた範囲にあるとき，第$1$象限における$C_1$と$C_2$の共有点を$\mathrm{P}$とする．点$\mathrm{P}$における$C_1$と$C_2$の接線をそれぞれ$\ell_1$，$\ell_2$とする．また，$\ell_1$と$\ell_2$および$y$軸で囲まれた部分の面積を$S_1$，$C_1$と$C_2$で囲まれた部分の面積を$S_2$とする．このとき，$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$を求めよ．
公立 滋賀県立大学 2014年 第1問$2$次関数$f(x)=ax^2+bx+c$（$a,\ b,\ c$は定数で$a \neq 0$とする）がある．$d$を正の数として，$f(0)=p$，$f(d)=q$，$f(2d)=r$とおく．
(1)$a,\ b,\ c$を$p,\ q,\ r,\ d$で表せ．
(2)$\displaystyle S_1=\int_0^{2d} f(x) \, dx$を$p,\ q,\ r,\ d$で表せ．
(3)$\displaystyle S_2=\int_0^{2d} |f(x)| \, dx$とおく．$p=1$，$q=0$，$r=3$および$d=1$のとき，$S_2-S_1$を求めよ．
(1)$a,\ b,\ c$を$p,\ q,\ r,\ d$で表せ．
(2)$\displaystyle S_1=\int_0^{2d} f(x) \, dx$を$p,\ q,\ r,\ d$で表せ．
(3)$\displaystyle S_2=\int_0^{2d} |f(x)| \, dx$とおく．$p=1$，$q=0$，$r=3$および$d=1$のとき，$S_2-S_1$を求めよ．
公立 滋賀県立大学 2014年 第2問$a,\ b$は定数で，$a \geqq b$である．
(1)$2$次方程式$x^2-ax+b=0$の$2$つの解が正の整数であるとき，$a,\ b$が満たすべき条件を求めよ．
(2)$2$次方程式$x^2-ax+b=0$および$x^2-bx+a=0$の解がすべて正の整数であるとき，$a,\ b$が満たすべき条件を求めよ．
(1)$2$次方程式$x^2-ax+b=0$の$2$つの解が正の整数であるとき，$a,\ b$が満たすべき条件を求めよ．
(2)$2$次方程式$x^2-ax+b=0$および$x^2-bx+a=0$の解がすべて正の整数であるとき，$a,\ b$が満たすべき条件を求めよ．
公立 兵庫県立大学 2014年 第2問関数$\displaystyle y=a \frac{x^2+1}{x^4+4}+\frac{x^4+4}{x^2+1}$のグラフが$x$軸と共有点をもつような定数$a$の範囲を求めよ．
公立 愛知県立大学 2014年 第3問以下の問いに答えよ．
(1)定積分$\displaystyle \int_0^\pi \cos mx \cos nx \, dx$を求めよ．ただし，$m,\ n$は自然数とする．
(2)$a$と$b$を$a<b$を満たす実数とし，$f(x)$と$g(x)$を区間$[a,\ b]$で定義された連続な関数とする．また，
\[ \int_a^b \{f(x)\}^2 \, dx \neq 0,\quad \int_a^b \{g(x)\}^2 \, dx \neq 0 \]
であるとする．このとき，任意の実数$t$に対して
\[ \int_a^b \{tf(x)+g(x)\}^2 \, dx \geqq 0 \]
が成り立つことを用いて，次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ \left\{ \int_a^b f(x)g(x) \, dx \right\}^2 \leqq \left( \int_a^b \{f(x)\}^2 \, dx \right) \left( \int_a^b \{g(x)\}^2 \, dx \right) \]
また，等号が成り立つ条件は，$k$を定数として$g(x)=kf(x)$と表せるときであることを示せ．
(3)$f(x)$は区間$[-\pi,\ \pi]$で定義された連続な関数で$\displaystyle \int_{-\pi}^\pi \{f(x)\}^2 \, dx=1$を満たす．このとき，
\[ I=\int_{-\pi}^\pi f(x) \cos 2x \, dx \]
を最大とする$f(x)$とそのときの$I$の値を求めよ．
(1)定積分$\displaystyle \int_0^\pi \cos mx \cos nx \, dx$を求めよ．ただし，$m,\ n$は自然数とする．
(2)$a$と$b$を$a<b$を満たす実数とし，$f(x)$と$g(x)$を区間$[a,\ b]$で定義された連続な関数とする．また，
\[ \int_a^b \{f(x)\}^2 \, dx \neq 0,\quad \int_a^b \{g(x)\}^2 \, dx \neq 0 \]
であるとする．このとき，任意の実数$t$に対して
\[ \int_a^b \{tf(x)+g(x)\}^2 \, dx \geqq 0 \]
が成り立つことを用いて，次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ \left\{ \int_a^b f(x)g(x) \, dx \right\}^2 \leqq \left( \int_a^b \{f(x)\}^2 \, dx \right) \left( \int_a^b \{g(x)\}^2 \, dx \right) \]
また，等号が成り立つ条件は，$k$を定数として$g(x)=kf(x)$と表せるときであることを示せ．
(3)$f(x)$は区間$[-\pi,\ \pi]$で定義された連続な関数で$\displaystyle \int_{-\pi}^\pi \{f(x)\}^2 \, dx=1$を満たす．このとき，
\[ I=\int_{-\pi}^\pi f(x) \cos 2x \, dx \]
を最大とする$f(x)$とそのときの$I$の値を求めよ．
公立 愛知県立大学 2014年 第4問座標平面上に点$\mathrm{P}(x,\ y)$，点$\mathrm{F}(1,\ 0)$，点$\mathrm{F}^\prime(-1,\ 0)$，および直線$\ell:x=2$がある．点$\mathrm{P}$から直線$\ell$に下ろした垂線を$\mathrm{PH}$とする．また，点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{F}$，$\mathrm{F}^\prime$，$\mathrm{H}$との距離を，それぞれ$\mathrm{PF}$，$\mathrm{PF}^\prime$，$\mathrm{PH}$とし，原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{P}$の距離を$r$とする．比$\displaystyle \frac{\mathrm{PF}}{\mathrm{PH}}$の値が$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$となる点$\mathrm{P}$の軌跡を$C$とするとき，以下の問いに答えよ．
(1)$C$の方程式を求めよ．
(2)$\mathrm{PF}+\mathrm{PF}^\prime$は定数となる．その値を求めよ．
(3)$\mathrm{PF} \cdot \mathrm{PF}^\prime$を$r$を用いて表せ．
(4)点$\mathrm{P}$は第$1$象限にあり，$\displaystyle \angle \mathrm{F}^\prime \mathrm{PF}=\frac{\pi}{3}$とする．このとき，$r$の値と点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．また，$C$上の求めた点$\mathrm{P}$における接線の方程式を求めよ．
(1)$C$の方程式を求めよ．
(2)$\mathrm{PF}+\mathrm{PF}^\prime$は定数となる．その値を求めよ．
(3)$\mathrm{PF} \cdot \mathrm{PF}^\prime$を$r$を用いて表せ．
(4)点$\mathrm{P}$は第$1$象限にあり，$\displaystyle \angle \mathrm{F}^\prime \mathrm{PF}=\frac{\pi}{3}$とする．このとき，$r$の値と点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．また，$C$上の求めた点$\mathrm{P}$における接線の方程式を求めよ．