「定数」について
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私立 名城大学 2014年 第4問$a$を定数として，$x$の$3$次関数
\[ f(x)=x^3+6(1-a)x^2-48ax \]
について，次の問に答えよ．
(1)$f(x)$が極値をもたないとき，$a$の値を求めよ．
(2)$f(x)$が正の極大値と負の極小値をもつとき，$a$の値の範囲を求めよ．
(3)$f(x)$が負の極大値をもつとき，$a$の値の範囲を求めよ．
\[ f(x)=x^3+6(1-a)x^2-48ax \]
について，次の問に答えよ．
(1)$f(x)$が極値をもたないとき，$a$の値を求めよ．
(2)$f(x)$が正の極大値と負の極小値をもつとき，$a$の値の範囲を求めよ．
(3)$f(x)$が負の極大値をもつとき，$a$の値の範囲を求めよ．
私立 武庫川女子大学 2014年 第3問次の空欄$[$39$]$～$[$60$]$にあてはまる数字を入れよ．ただし，空欄$[$41$]$，$[$44$]$，$[$47$]$，$[$51$]$には$+$または$-$の記号が入る．
(1)$\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{5x^2+5x-30}{x-2}=[$39$][$40$]$である．
(2)$2$次関数$y=f(x)$のグラフは原点と点$\displaystyle \left( 1,\ \frac{17}{4} \right)$を通る．また，$x=2$において傾き$8$の接線をもつ．このとき，$f(x)$の最小値は$\displaystyle [$41$] \frac{[$42$]}{[$43$]}$である．
(3)$2$次関数$f(x)=ax^2+bx+c$（ただし，$a,\ b,\ c$は定数）がある．すべての実数$x$について$3f(x)+4f^\prime(x)=-2x^2+5x+7$が常に成立するとき，
\[ a=[$44$] \frac{[$45$]}{[$46$]},\quad b=[$47$] \frac{[$48$][$49$]}{[$50$]},\quad c=[$51$] \frac{[$52$][$53$]}{[$54$][$55$]} \]
である．
(4)$2$つの関数$\displaystyle f(x)=x-\frac{3}{a}$および$\displaystyle g(x)=ax^2+7x+\frac{6}{a}$がある（ただし，$a$は正の定数）．$xy$平面上の$4$つのグラフ$y=f(x)$，$y=g(x)$，$x=0$および$x=1$で囲まれる図形の面積は$a=[$56$] \sqrt{[$57$]}$のとき最小値$[$58$]+[$59$] \sqrt{[$60$]}$をとる．
(1)$\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{5x^2+5x-30}{x-2}=[$39$][$40$]$である．
(2)$2$次関数$y=f(x)$のグラフは原点と点$\displaystyle \left( 1,\ \frac{17}{4} \right)$を通る．また，$x=2$において傾き$8$の接線をもつ．このとき，$f(x)$の最小値は$\displaystyle [$41$] \frac{[$42$]}{[$43$]}$である．
(3)$2$次関数$f(x)=ax^2+bx+c$（ただし，$a,\ b,\ c$は定数）がある．すべての実数$x$について$3f(x)+4f^\prime(x)=-2x^2+5x+7$が常に成立するとき，
\[ a=[$44$] \frac{[$45$]}{[$46$]},\quad b=[$47$] \frac{[$48$][$49$]}{[$50$]},\quad c=[$51$] \frac{[$52$][$53$]}{[$54$][$55$]} \]
である．
(4)$2$つの関数$\displaystyle f(x)=x-\frac{3}{a}$および$\displaystyle g(x)=ax^2+7x+\frac{6}{a}$がある（ただし，$a$は正の定数）．$xy$平面上の$4$つのグラフ$y=f(x)$，$y=g(x)$，$x=0$および$x=1$で囲まれる図形の面積は$a=[$56$] \sqrt{[$57$]}$のとき最小値$[$58$]+[$59$] \sqrt{[$60$]}$をとる．
私立 東京理科大学 2014年 第2問$k$を定数として，$3$次方程式
\[ x^3-\frac{3}{2}x^2-6x-k=0 \cdots\cdots (*) \]
を考える．
(1)この方程式が，異なる$3$つの実数解をもつような$k$の値の範囲は
\[ -[ア][イ]<k< \frac{[ウ]}{[エ]} \cdots\cdots (**) \]
である．
(2)$k$が$(**)$の範囲にあるとき，方程式$(*)$の$3$つの解を$\alpha,\ \beta,\ \gamma$（ただし$\alpha<\beta<\gamma$）とおく．
(i) $k$が$(**)$の範囲を動くとき，$\alpha,\ \beta,\ \gamma$の取りうる値の範囲は，それぞれ
\[ -\frac{[オ]}{[カ]}<\alpha<-[キ],\quad -[ク]<\beta<[ケ],\quad [コ]<\gamma<\frac{[サ]}{[シ]} \]
である．
(ii) $k$が$(**)$の範囲を動くとき，$\alpha$と$\gamma$の積$\alpha\gamma$が最小となるのは
\[ k=-\frac{[ス][セ][ソ]}{[タ][チ]} \]
のときであって，$\alpha\gamma$の最小値は$\displaystyle -\frac{[ツ][テ][ト]}{[ナ][ニ]}$である．
\[ x^3-\frac{3}{2}x^2-6x-k=0 \cdots\cdots (*) \]
を考える．
(1)この方程式が，異なる$3$つの実数解をもつような$k$の値の範囲は
\[ -[ア][イ]<k< \frac{[ウ]}{[エ]} \cdots\cdots (**) \]
である．
(2)$k$が$(**)$の範囲にあるとき，方程式$(*)$の$3$つの解を$\alpha,\ \beta,\ \gamma$（ただし$\alpha<\beta<\gamma$）とおく．
(i) $k$が$(**)$の範囲を動くとき，$\alpha,\ \beta,\ \gamma$の取りうる値の範囲は，それぞれ
\[ -\frac{[オ]}{[カ]}<\alpha<-[キ],\quad -[ク]<\beta<[ケ],\quad [コ]<\gamma<\frac{[サ]}{[シ]} \]
である．
(ii) $k$が$(**)$の範囲を動くとき，$\alpha$と$\gamma$の積$\alpha\gamma$が最小となるのは
\[ k=-\frac{[ス][セ][ソ]}{[タ][チ]} \]
のときであって，$\alpha\gamma$の最小値は$\displaystyle -\frac{[ツ][テ][ト]}{[ナ][ニ]}$である．
私立 立教大学 2014年 第1問次の空欄$[ア]$～$[コ]$に当てはまる数または式を記入せよ．
(1)${1.6}^n>10000$を満たす最小の整数$n$の値は$[ア]$である．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とする．
(2)関数$f(x)$が等式$\displaystyle \int_a^x f(t) \, dt=x^2-6x-2a+16$を満たすとき，定数$a$の値は$[イ]$である．
(3)$4$つのさいころを同時に投げたとき，すべてのさいころの目の数が異なる確率は$[ウ]$である．
(4)${(\sqrt{3})}^x=243 \times 3^{-2x}$を満たすとき，$x$の値は$[エ]$である．
(5)$2$つの直線$x+2y+3=0$と$3x+y-2=0$のなす角$\theta$は$[オ]$である．ただし，$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$とする．
(6)$1+\sqrt{3}i$が$2$次方程式$x^2+ax+b=0$の解となるとき，$a=[カ]$，$b=[キ]$である．ただし，$a,\ b$は実数であり，$i$は虚数単位とする．
(7)$2$次関数$y=-3x^2$のグラフを$x$軸方向に$1$，$y$軸方向に$2$だけ平行移動した放物線の方程式が$y=-3x^2+px+q$になる．このとき，$p=[ク]$，$q=[ケ]$である．
(8)$\mathrm{R},\ \mathrm{I},\ \mathrm{K},\ \mathrm{K},\ \mathrm{Y},\ \mathrm{O}$の$6$個の文字すべてを横一列に並べるとき，$\mathrm{R}$が$\mathrm{I}$より左側にあり，かつ$\mathrm{I}$が$\mathrm{Y}$より左側にあるような並べ方は$[コ]$通りである．
(1)${1.6}^n>10000$を満たす最小の整数$n$の値は$[ア]$である．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とする．
(2)関数$f(x)$が等式$\displaystyle \int_a^x f(t) \, dt=x^2-6x-2a+16$を満たすとき，定数$a$の値は$[イ]$である．
(3)$4$つのさいころを同時に投げたとき，すべてのさいころの目の数が異なる確率は$[ウ]$である．
(4)${(\sqrt{3})}^x=243 \times 3^{-2x}$を満たすとき，$x$の値は$[エ]$である．
(5)$2$つの直線$x+2y+3=0$と$3x+y-2=0$のなす角$\theta$は$[オ]$である．ただし，$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$とする．
(6)$1+\sqrt{3}i$が$2$次方程式$x^2+ax+b=0$の解となるとき，$a=[カ]$，$b=[キ]$である．ただし，$a,\ b$は実数であり，$i$は虚数単位とする．
(7)$2$次関数$y=-3x^2$のグラフを$x$軸方向に$1$，$y$軸方向に$2$だけ平行移動した放物線の方程式が$y=-3x^2+px+q$になる．このとき，$p=[ク]$，$q=[ケ]$である．
(8)$\mathrm{R},\ \mathrm{I},\ \mathrm{K},\ \mathrm{K},\ \mathrm{Y},\ \mathrm{O}$の$6$個の文字すべてを横一列に並べるとき，$\mathrm{R}$が$\mathrm{I}$より左側にあり，かつ$\mathrm{I}$が$\mathrm{Y}$より左側にあるような並べ方は$[コ]$通りである．
私立 松山大学 2014年 第1問次の各問の答えとして正しいものを選択肢から選びなさい．
(1)${10}^{-7} \times {10}^{-7}=[ア]$
\[ \nagamaruichi {10}^{14} \qquad \nagamaruni {10}^{-49} \qquad \nagamarusan {10}^{-14} \qquad \nagamarushi {10}^{49} \qquad \nagamarugo 10 \]
(2)$y={10}^{-x}$のグラフは$[イ]$である．
（図は省略）
(3)$\displaystyle y=\frac{Bx}{A+x}$（$A,\ B$は正の定数）において，$\displaystyle y=\frac{B}{2}$のときの$x$の値は，$[ウ]$である．
\[ \nagamaruichi B \qquad \nagamaruni A \qquad \nagamarusan \frac{A}{B} \qquad \nagamarushi \frac{B}{A} \qquad \nagamarugo AB \]
次の空所$[エ]$～$[テ]$を埋めよ．
(4)$\displaystyle \frac{-12}{(x+1)(x-3)}=\frac{[エ]}{x+1}+\frac{[オカ]}{x-3}$
(5)$\displaystyle \left( \sqrt{8}-\sqrt{\frac{4}{3}} \right) \left( \sqrt{\frac{3}{4}}+\sqrt{18} \right)=[キク]-\sqrt{[ケ]}$
(6)$(4^{\frac{3}{2}})^{\frac{-4}{3}}=\frac{[コ]}{[サシ]}$
(7)$\displaystyle \frac{1}{2} \log_2 6-\log_4 24=[スセ]$
(8)$(4x^2+5x-4) \div (x-2)=[ソ]x+[タチ]$，余り$[ツテ]$
(1)${10}^{-7} \times {10}^{-7}=[ア]$
\[ \nagamaruichi {10}^{14} \qquad \nagamaruni {10}^{-49} \qquad \nagamarusan {10}^{-14} \qquad \nagamarushi {10}^{49} \qquad \nagamarugo 10 \]
(2)$y={10}^{-x}$のグラフは$[イ]$である．
（図は省略）
(3)$\displaystyle y=\frac{Bx}{A+x}$（$A,\ B$は正の定数）において，$\displaystyle y=\frac{B}{2}$のときの$x$の値は，$[ウ]$である．
\[ \nagamaruichi B \qquad \nagamaruni A \qquad \nagamarusan \frac{A}{B} \qquad \nagamarushi \frac{B}{A} \qquad \nagamarugo AB \]
次の空所$[エ]$～$[テ]$を埋めよ．
(4)$\displaystyle \frac{-12}{(x+1)(x-3)}=\frac{[エ]}{x+1}+\frac{[オカ]}{x-3}$
(5)$\displaystyle \left( \sqrt{8}-\sqrt{\frac{4}{3}} \right) \left( \sqrt{\frac{3}{4}}+\sqrt{18} \right)=[キク]-\sqrt{[ケ]}$
(6)$(4^{\frac{3}{2}})^{\frac{-4}{3}}=\frac{[コ]}{[サシ]}$
(7)$\displaystyle \frac{1}{2} \log_2 6-\log_4 24=[スセ]$
(8)$(4x^2+5x-4) \div (x-2)=[ソ]x+[タチ]$，余り$[ツテ]$
私立 松山大学 2014年 第4問次の空所$[ア]$～$[ト]$を埋めよ．
関数$\displaystyle f(x)=x^3+\frac{1}{2}ax^2-6x-\frac{1}{2}b$がある．ただし，
\[ a=\int_0^1 f(t) \, dt \cdots\cdots ① \qquad b=\int_{-1}^1 f(t) \, dt \cdots\cdots ② \]
とする．
(1)関数$f(x)$の不定積分は
\[ \int f(t) \, dt=\frac{1}{[ア]}t^4+\frac{1}{[イ]}at^3-[ウ]t^2-\frac{1}{[エ]}bt+C \quad \text{（$C$は積分定数）} \]
であり，式$①$，$②$より$a=-[オ]$，$\displaystyle b=-\frac{[カ]}{[キ]}$である．
(2)$y=f(x)$が表す曲線$A$において，$\displaystyle x=\frac{3}{2}$のときの接線$B$を$y=g(x)$とおくと，関数$f(x)$の導関数は
\[ f^\prime(x)=[ク]x^2-[ケ]x-[コ] \]
であるので，
\[ g(x)=-\frac{[サシ]}{[ス]}x-\frac{[セソ]}{[タ]} \]
である．
接点以外の，曲線$A$と接線$B$の交点は，$\displaystyle \left( -\frac{[チ]}{[ツ]},\ \frac{[テ]}{[ト]} \right)$である．
関数$\displaystyle f(x)=x^3+\frac{1}{2}ax^2-6x-\frac{1}{2}b$がある．ただし，
\[ a=\int_0^1 f(t) \, dt \cdots\cdots ① \qquad b=\int_{-1}^1 f(t) \, dt \cdots\cdots ② \]
とする．
(1)関数$f(x)$の不定積分は
\[ \int f(t) \, dt=\frac{1}{[ア]}t^4+\frac{1}{[イ]}at^3-[ウ]t^2-\frac{1}{[エ]}bt+C \quad \text{（$C$は積分定数）} \]
であり，式$①$，$②$より$a=-[オ]$，$\displaystyle b=-\frac{[カ]}{[キ]}$である．
(2)$y=f(x)$が表す曲線$A$において，$\displaystyle x=\frac{3}{2}$のときの接線$B$を$y=g(x)$とおくと，関数$f(x)$の導関数は
\[ f^\prime(x)=[ク]x^2-[ケ]x-[コ] \]
であるので，
\[ g(x)=-\frac{[サシ]}{[ス]}x-\frac{[セソ]}{[タ]} \]
である．
接点以外の，曲線$A$と接線$B$の交点は，$\displaystyle \left( -\frac{[チ]}{[ツ]},\ \frac{[テ]}{[ト]} \right)$である．
私立 東京医科大学 2014年 第1問次の$[ ]$を埋めよ．
(1)座標平面上の点$\displaystyle \mathrm{A} \left( 1,\ \frac{1}{4} \right)$を通る$2$曲線$\displaystyle C_1:y=\frac{1}{4}x^2$，$C_2:ax^2+by^2=1$（$a,\ b$は正の定数）を考える．点$\mathrm{A}$における$2$曲線$C_1,\ C_2$の接線が直交するとき
\[ a=\frac{[ア]}{[イ]},\quad b=\frac{[ウエ]}{[オ]} \]
である．
(2)座標平面の点$\mathrm{P}(x,\ y)$が円$\displaystyle C:(x-1)^2+(y-1)^2=\frac{1}{16}$上を動くとき，式
\[ \frac{x}{y}+\frac{y}{x} \]
がとる最大値を$M$とすれば
\[ M=\frac{[カキ]}{[クケ]} \]
である．
(1)座標平面上の点$\displaystyle \mathrm{A} \left( 1,\ \frac{1}{4} \right)$を通る$2$曲線$\displaystyle C_1:y=\frac{1}{4}x^2$，$C_2:ax^2+by^2=1$（$a,\ b$は正の定数）を考える．点$\mathrm{A}$における$2$曲線$C_1,\ C_2$の接線が直交するとき
\[ a=\frac{[ア]}{[イ]},\quad b=\frac{[ウエ]}{[オ]} \]
である．
(2)座標平面の点$\mathrm{P}(x,\ y)$が円$\displaystyle C:(x-1)^2+(y-1)^2=\frac{1}{16}$上を動くとき，式
\[ \frac{x}{y}+\frac{y}{x} \]
がとる最大値を$M$とすれば
\[ M=\frac{[カキ]}{[クケ]} \]
である．
私立 東京医科大学 2014年 第4問座標平面上の$2$つの曲線
\[ C_1:y=ax^2+1,\quad C_2:x=ay^2+1 \quad (a \text{は正の定数}) \]
を考える．
(1)$2$つの曲線$C_1,\ C_2$が$2$点で交わるような正の定数$a$の値の範囲は
\[ 0<a<\frac{[ア]}{[イ]} \]
である．
(2)$\displaystyle a=\frac{3}{16}$のとき，曲線$C_1$と曲線$C_2$とで囲まれた図形の面積を$S$とすれば
\[ S=\frac{[ウエ]}{[オカ]} \]
である．
\[ C_1:y=ax^2+1,\quad C_2:x=ay^2+1 \quad (a \text{は正の定数}) \]
を考える．
(1)$2$つの曲線$C_1,\ C_2$が$2$点で交わるような正の定数$a$の値の範囲は
\[ 0<a<\frac{[ア]}{[イ]} \]
である．
(2)$\displaystyle a=\frac{3}{16}$のとき，曲線$C_1$と曲線$C_2$とで囲まれた図形の面積を$S$とすれば
\[ S=\frac{[ウエ]}{[オカ]} \]
である．
私立 上智大学 2014年 第4問次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle \int_0^u te^{-t} \, dt=[ホ]ue^{-u}+[マ]e^{-u}+[ミ]$であり，これより
\[ \lim_{u \to \infty} \int_0^u te^{-t} \, dt=[ム] \]
である．
(2)定義域が実数全体であり値が実数である連続関数$f(x)$と正の定数$a$が次の$2$つの条件$(ⅰ)$，$(ⅱ)$を満たしているとする．
(i) 任意の実数$x$に対して
\[ \int_0^2 (3x+t)e^{t-x} f(t) \, dt=af(x) \]
が成り立つ．
(ii) $\displaystyle \lim_{u \to \infty} \int_0^u f(t) \, dt=1$が成り立つ．
このとき$a=[メ]+[モ] \sqrt{[ヤ]}$であり，また
\[ f(x)=(3Ax+B)e^{kx} \]
ただし，$A=[ユ]+[ヨ] \sqrt{[ラ]}$
\qquad $B=[リ]+[ル] \sqrt{[レ]}$
\qquad\,$k=[ロ]$
である．
(1)$\displaystyle \int_0^u te^{-t} \, dt=[ホ]ue^{-u}+[マ]e^{-u}+[ミ]$であり，これより
\[ \lim_{u \to \infty} \int_0^u te^{-t} \, dt=[ム] \]
である．
(2)定義域が実数全体であり値が実数である連続関数$f(x)$と正の定数$a$が次の$2$つの条件$(ⅰ)$，$(ⅱ)$を満たしているとする．
(i) 任意の実数$x$に対して
\[ \int_0^2 (3x+t)e^{t-x} f(t) \, dt=af(x) \]
が成り立つ．
(ii) $\displaystyle \lim_{u \to \infty} \int_0^u f(t) \, dt=1$が成り立つ．
このとき$a=[メ]+[モ] \sqrt{[ヤ]}$であり，また
\[ f(x)=(3Ax+B)e^{kx} \]
ただし，$A=[ユ]+[ヨ] \sqrt{[ラ]}$
\qquad $B=[リ]+[ル] \sqrt{[レ]}$
\qquad\,$k=[ロ]$
である．
私立 東京都市大学 2014年 第4問関数$\displaystyle f(x)=\frac{e^{2x}}{9x^2+2}$について，次の問に答えよ．ただし，必要ならば$\displaystyle \lim_{x \to \infty}f(x)=\infty$を用いてよい．
(1)$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)関数$y=f(x)$の増減，極値を調べてそのグラフをかけ．
(3)$k$を定数とするとき，$x$についての方程式$e^{2x}=k(9x^2+2)$の解の個数を求めよ．
(1)$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)関数$y=f(x)$の増減，極値を調べてそのグラフをかけ．
(3)$k$を定数とするとき，$x$についての方程式$e^{2x}=k(9x^2+2)$の解の個数を求めよ．