関数$f(x)=ax^3+bx^2+cx-8$と$g(x)=x^2-4x+8$がある．$f(x)$は$x=2$で極大値$0$をとり，$x=p$で極小値$f(p)$をとる．また，曲線$y=f(x)$が点$(1,\ -4)$を通るとき，次の問いに答えよ．ただし，$a,\ b,\ c$は定数とする．

(1)$a,\ b,\ c$の値を求めよ．また，極小値$f(p)$を求めよ．
(2)曲線$y=g(x)$に点$(p,\ f(p))$から引いた$2$本の接線の方程式を求めよ．
(3)曲線$y=g(x)$と$(2)$で求めた$2$本の接線で囲まれた部分の面積を求めよ．

$a$を負の定数とし，放物線$y=a(x+1)(x-3)$を$C$とする．$C$上の点$\mathrm{P}(2,\ -3a)$における$C$の接線$\ell$と$x$軸との交点を$\mathrm{A}$とするとき，次の問いに答えよ．ただし，$\mathrm{O}$は原点を表す．

(1)直線$\ell$の方程式と点$\mathrm{A}$の座標を求めよ．
(2)三角形$\mathrm{OAP}$の面積が$\displaystyle \frac{7}{4}$であるとき，$a$の値を求めよ．
(3)$(2)$の$a$に対し，線分$\mathrm{OP}$，$y$軸および放物線$C$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

$a$を定数とする．直線$\ell:y=6ax$，曲線$C:y=|3x^2-6x|$について，次の問いに答えよ．

(1)$\ell$と$C$の共有点が$3$個になるような$a$の範囲を求めよ．
(2)$\displaystyle a=\frac{1}{2}$とし，$\ell$と$C$の共有点の$x$座標を小さい順に$x_1,\ x_2,\ x_3$とする．このとき，$\ell$と$C$で囲まれた部分のうち$x$座標が$x_2$以上の部分の面積を求めよ．

$3$次方程式$x^3+ax^2+bx+c=0$の$1$つの解が$1+5i$であるとき，以下の問いに答えよ．ただし，$a,\ b,\ c$は実数の定数，$i$は虚数単位とする．

(1)$b,\ c$を$a$を用いて表せ．
(2)$a=2$のとき，この方程式の他の$2$つの解を求めよ．

$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の$2$人が$n$個（$n \geqq 2$）の計画案から$1$つを選び出す．これに要する時間$T_n$は，
\[ T_n=a+b \log_2 (n+1) \]
で表される．ただし，$a,\ b$は$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$とで異なる定数である．$\log_23=1.585$として，以下の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{P}$が$2$個の計画案から$1$つを選び出すときに要した時間は$T_2=850$秒，$3$個の計画案から$1$つを選び出すときに要した時間は$T_3=1016$秒であった．$\mathrm{P}$の定数$a,\ b$を求めよ．
(2)$\mathrm{P}$が$5$個の計画案から$1$つを選び出すときに要する時間を求めよ．
(3)$\mathrm{Q}$の定数は$a=300$，$b=360$である．$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$がそれぞれ$8$個の計画案から$1$つを選び出すとき，どちらが何秒早く選び出すことができるか．

次の問に答えよ．

(1)不等式$\displaystyle \frac{1}{{125}^{x^2}}>5^{20-17x}$を満たす$x$の値の範囲は$\displaystyle \frac{[$32$]}{[$33$]}<x<[$34$]$である．また，$x$がこの値の範囲内で方程式$\displaystyle \frac{x^{16}}{256}=x^{8 \log_2 x}$を満たすとき，$x$の値は$x=[$35$]$となる．
(2)$k$を定数として，$x$の方程式$2^{3x}-2^{2(x+1)}+2^{x+2}+2^x-3=k$の解が$1$つの実数解のみであるとき，$k$がとりえる値の範囲は
\[ -[$36$]<k<-\frac{[$37$][$38$]}{[$39$][$40$]},\quad -[$41$]<k \]
である．

$k$を正の定数として，放物線$C:y=x^2$と直線$\ell_n:y=a_nx+ka_n-{a_n}^2$を考える．$C$と$\ell_n$の共有点の個数を$a_{n+1}$として数列$\{a_n\}$を定める．ただし，以下では常に$a_1=0$とする．ただし，$*$については$+,\ -$の$1$つが入る．

(1)$k=1$のとき，$a_2=[と]$，$a_3=[な]$である．
(2)$k=1$のとき，$\displaystyle \sum_{n=1}^{100} a_n=[にぬ]$である．また，$C$と$\ell_n$の共有点の個数が$2$であるとき，両者で囲まれる部分の面積は$\displaystyle \frac{[ね]}{[の]}$である．
(3)数列$\{a_n\}$のとる値に$2$が一度も現れないとき，$\displaystyle k \leqq \frac{[は]}{[ひ]}$である．
(4)数列$\{a_n\}$のある番号$N$から先の項（$N$も含める）がすべて$2$になるとき，そのようなことが可能になる$N$の最小値は$[ふ]$であり，そのとき$\displaystyle k>\frac{[へ]}{[ほ]}$である．

次の各文の$[　]$にあてはまる答を求めよ．

(1)$\displaystyle \frac{7}{3+\sqrt{2}}$の小数部分を$a$とするとき，$a$の値は$[ア]$，$\displaystyle a^2+\frac{1}{a^2}$の値は$[イ]$である．
(2)$1$個のさいころを$4$回続けて投げるとき，$4$回とも$1$の目が出る確率は$[ウ]$である．また，$1$の目がちょうど$2$回出る確率は$[エ]$である．
(3)$k$を正の定数とし，$2$つの放物線$y=-x^2+3x-2k$，$y=x^2+2kx+4k$をそれぞれ$C_1$，$C_2$とする．$C_1$の頂点の$y$座標が$1$であるとき，$k$の値は$[オ]$である．$C_2$が$x$軸と接するとき，$k$の値は$[カ]$である．また，$x$軸が$C_1$と$C_2$のどちらとも共有点をもたないような定数$k$の値の範囲は$[キ]$である．
(4)半径が$3$である球を$A$，底面の円の半径が$6$である円錐を$B$とする．このとき，球$A$の体積は$[ク]$である．また，球$A$が円錐$B$に図のように内接するとき，円錐$B$の表面積は$[ケ]$である．
（図は省略）

$m$を定数とする．$2$次関数$f(x)=x^2-2mx+m^2-4m$について，以下の問に答えよ．

(1)$m=3$のとき，$f(x)$の最小値を求めよ．
(2)$-1 \leqq x \leqq 1$において，$f(x)$の最大値が$2$，最小値が$-4m$となるような$m$の値を求めよ．

$\triangle \mathrm{ABC}$は$\angle \mathrm{ABC}=\theta$，$\mathrm{AB}=1$，$\mathrm{BC}=a$とする（$\theta$は$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$の範囲にある定数とし，$a$は正の実数とする）．また，$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径を$r$とする．次の問に答えよ．

(1)線分$\mathrm{AC}$の長さを$a$と$\theta$を用いて表せ．
(2)$r$を$a$と$\theta$を用いて表せ．
(3)$r$が最小となるとき，$a$を$\theta$を用いて表せ．また，そのときの$r$の値を求めよ．