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私立 昭和大学 2014年 第3問$a$を定数とし，$2$次関数$y=2x^2-4(a-2)x+2a^2-7a+9$のグラフを$C$とする．以下の各問いに答えよ．
(1)$C$の頂点の座標を求めよ．
(2)$a<2$とする．$x$の範囲を$-1 \leqq x \leqq 1$とするとき，$y$の最大値とそのときの$x$の値を求めよ．
(3)$(2)$と同様に$a<2$，$-1 \leqq x \leqq 1$とするとき，$y$の最小値とそのときの$x$の値を，$a$の値の範囲によって場合分けして答えよ．
(4)$(2)$と同様に$a<2$，$-1 \leqq x \leqq 1$とするとき，最大値と最小値の差が$6$になるときの$a$の値を求めよ．
(1)$C$の頂点の座標を求めよ．
(2)$a<2$とする．$x$の範囲を$-1 \leqq x \leqq 1$とするとき，$y$の最大値とそのときの$x$の値を求めよ．
(3)$(2)$と同様に$a<2$，$-1 \leqq x \leqq 1$とするとき，$y$の最小値とそのときの$x$の値を，$a$の値の範囲によって場合分けして答えよ．
(4)$(2)$と同様に$a<2$，$-1 \leqq x \leqq 1$とするとき，最大値と最小値の差が$6$になるときの$a$の値を求めよ．
私立 昭和大学 2014年 第1問次の各問に答えよ．
(1)$(1$-$1)$ 連立不等式$600<2^{x+2}-2^x<900$を満たす自然数$x$を求めよ．
$(1$-$2)$ 連立不等式$21<\log_2 x^6<22$を満たす自然数$x$を求めよ．
(2)$(2$-$1)$ $0 \leqq x \leqq \pi$のとき，方程式$\sqrt{3} \sin x-\cos x=a$が相異なる$2$つの解をもつような定数$a$の値の範囲を求めよ．
$(2$-$2)$ $2$次方程式$\sqrt{3}x^2+2x-\sqrt{3}=0$の$2$つの解を$\tan \alpha$，$\tan \beta$とするとき，$\alpha+\beta$の値を求めよ．ただし，$0<\alpha+\beta<\pi$とする．
(3)三角形$\mathrm{OAB}$において$\mathrm{OA}=1$，$\mathrm{OB}=2$，$\angle \mathrm{AOB}={120}^\circ$とし，点$\mathrm{O}$から辺$\mathrm{AB}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$，辺$\mathrm{OB}$の中点を$\mathrm{M}$，線分$\mathrm{OH}$と線分$\mathrm{AM}$の交点を$\mathrm{C}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおくとき，次の問に答えよ．
$(3$-$1)$ $\mathrm{AH}:\mathrm{HB}$を求めよ．
$(3$-$2)$ $\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(1)$(1$-$1)$ 連立不等式$600<2^{x+2}-2^x<900$を満たす自然数$x$を求めよ．
$(1$-$2)$ 連立不等式$21<\log_2 x^6<22$を満たす自然数$x$を求めよ．
(2)$(2$-$1)$ $0 \leqq x \leqq \pi$のとき，方程式$\sqrt{3} \sin x-\cos x=a$が相異なる$2$つの解をもつような定数$a$の値の範囲を求めよ．
$(2$-$2)$ $2$次方程式$\sqrt{3}x^2+2x-\sqrt{3}=0$の$2$つの解を$\tan \alpha$，$\tan \beta$とするとき，$\alpha+\beta$の値を求めよ．ただし，$0<\alpha+\beta<\pi$とする．
(3)三角形$\mathrm{OAB}$において$\mathrm{OA}=1$，$\mathrm{OB}=2$，$\angle \mathrm{AOB}={120}^\circ$とし，点$\mathrm{O}$から辺$\mathrm{AB}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$，辺$\mathrm{OB}$の中点を$\mathrm{M}$，線分$\mathrm{OH}$と線分$\mathrm{AM}$の交点を$\mathrm{C}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおくとき，次の問に答えよ．
$(3$-$1)$ $\mathrm{AH}:\mathrm{HB}$を求めよ．
$(3$-$2)$ $\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
私立 昭和大学 2014年 第3問次の各問に答えよ．
(1)$1$から$8$までの数字を$1$つずつ記した$8$個の球が袋の中に入っている．この袋から$1$個の球を取り出し，その数字を読み取ってはもとの袋に戻す操作を$3$回繰り返す．ただし，どの球が選ばれる確率も同じであるとする．いま，読み取った$3$個の数字のうち最大の数と最小の数の差を$R$とする．次の問に答えよ．
$(1$-$1)$ $R=1$となる確率を求めよ．
$(1$-$2)$ $R=4$となる確率を求めよ．
$(1$-$3)$ $R$の期待値を求めよ．
(2)$x$についての$2$次方程式$x^2+(\log_a 5)x+\log_5 a^2=0$が相異なる負の解をもつための定数$a$のとるべき値の範囲を求めよ．
(3)行列$A$を$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
-b & a
\end{array} \right)$とし，さらに，$A^2=B$および$B^2=A$を満たす行列$B$が存在するとする．ただし$a,\ b$は実数で，$b>0$とする．次の問に答えよ．
$(3$-$1)$ 行列$A^3$を求めよ．
$(3$-$2)$ $a,\ b$の値を求めよ．
(1)$1$から$8$までの数字を$1$つずつ記した$8$個の球が袋の中に入っている．この袋から$1$個の球を取り出し，その数字を読み取ってはもとの袋に戻す操作を$3$回繰り返す．ただし，どの球が選ばれる確率も同じであるとする．いま，読み取った$3$個の数字のうち最大の数と最小の数の差を$R$とする．次の問に答えよ．
$(1$-$1)$ $R=1$となる確率を求めよ．
$(1$-$2)$ $R=4$となる確率を求めよ．
$(1$-$3)$ $R$の期待値を求めよ．
(2)$x$についての$2$次方程式$x^2+(\log_a 5)x+\log_5 a^2=0$が相異なる負の解をもつための定数$a$のとるべき値の範囲を求めよ．
(3)行列$A$を$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
-b & a
\end{array} \right)$とし，さらに，$A^2=B$および$B^2=A$を満たす行列$B$が存在するとする．ただし$a,\ b$は実数で，$b>0$とする．次の問に答えよ．
$(3$-$1)$ 行列$A^3$を求めよ．
$(3$-$2)$ $a,\ b$の値を求めよ．
私立 昭和大学 2014年 第1問次の問いに答えよ．
(1)連立不等式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
-x+4<9 \\
3x-2<a \phantom{\frac{[ ]}{2}}
\end{array} \right. \]
を満たす整数$x$が存在しないような$a$の値の範囲を求めよ．
(2)$2$次方程式$x^2+2kx+k+12=0$が実数解をもち，それがすべて正となるような定数$k$の値の範囲を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において$a^2=b^2+c^2+bc$のとき，$\angle \mathrm{A}$を求めよ．ただし，頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の対辺の長さをそれぞれ$a,\ b,\ c$とする．
(4)$0^\circ \leqq x \leqq {180}^\circ$であるとき，不等式$2 \sin^2 x-5 \cos x+1 \leqq 0$を解け．
(1)連立不等式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
-x+4<9 \\
3x-2<a \phantom{\frac{[ ]}{2}}
\end{array} \right. \]
を満たす整数$x$が存在しないような$a$の値の範囲を求めよ．
(2)$2$次方程式$x^2+2kx+k+12=0$が実数解をもち，それがすべて正となるような定数$k$の値の範囲を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において$a^2=b^2+c^2+bc$のとき，$\angle \mathrm{A}$を求めよ．ただし，頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の対辺の長さをそれぞれ$a,\ b,\ c$とする．
(4)$0^\circ \leqq x \leqq {180}^\circ$であるとき，不等式$2 \sin^2 x-5 \cos x+1 \leqq 0$を解け．
私立 昭和大学 2014年 第3問$a$を定数とし，$2$次関数$y=2x^2-4(a-2)x+2a^2-7a+9$のグラフを$C$とする．以下の各問いに答えよ．
(1)$C$の頂点の座標を求めよ．
(2)$a<2$とする．$x$の範囲を$-1 \leqq x \leqq 1$とするとき，$y$の最大値とそのときの$x$の値を求めよ．
(3)$(2)$と同様に$a<2$，$-1 \leqq x \leqq 1$とするとき，$y$の最小値とそのときの$x$の値を，$a$の値の範囲によって場合分けして答えよ．
(4)$(2)$と同様に$a<2$，$-1 \leqq x \leqq 1$とするとき，最大値と最小値の差が$6$になるときの$a$の値を求めよ．
(1)$C$の頂点の座標を求めよ．
(2)$a<2$とする．$x$の範囲を$-1 \leqq x \leqq 1$とするとき，$y$の最大値とそのときの$x$の値を求めよ．
(3)$(2)$と同様に$a<2$，$-1 \leqq x \leqq 1$とするとき，$y$の最小値とそのときの$x$の値を，$a$の値の範囲によって場合分けして答えよ．
(4)$(2)$と同様に$a<2$，$-1 \leqq x \leqq 1$とするとき，最大値と最小値の差が$6$になるときの$a$の値を求めよ．
私立 北里大学 2014年 第3問関数$f(x)=x^3+ax^2+bx+c$は$x=p$で極大値$f(p)$，$x=1$で極小値$-4$をとるものとする．ただし，$a,\ b,\ c,\ p$は定数とする．次の問に答えよ．
(1)$a,\ b,\ c$を$p$を用いて表せ．
(2)曲線$y=f(x)$上の点$(2,\ f(2))$における接線を$\ell$とする．接線$\ell$の傾きを$p$を用いて表せ．
(3)$(2)$の接線$\ell$が点$(2p,\ f(2p))$を通るとき，$p$の値を求めよ．また，このとき極大値$f(p)$の値を求めよ．
(1)$a,\ b,\ c$を$p$を用いて表せ．
(2)曲線$y=f(x)$上の点$(2,\ f(2))$における接線を$\ell$とする．接線$\ell$の傾きを$p$を用いて表せ．
(3)$(2)$の接線$\ell$が点$(2p,\ f(2p))$を通るとき，$p$の値を求めよ．また，このとき極大値$f(p)$の値を求めよ．
私立 安田女子大学 2014年 第4問$k$を正の定数とする．$f(x)=2x^3-12kx^2+18k^2x$とするとき，以下の問いに答えよ．
(1)関数$f(x)$の極大値および極小値を求めよ．
(2)関数$f(x)$が極大となるグラフ上の点を通り，$x$軸と平行な直線が再びこのグラフと交わる点の座標を求めよ．
(3)区間$0 \leqq x \leqq 8$における$f(x)$の最大値を求めよ．
(1)関数$f(x)$の極大値および極小値を求めよ．
(2)関数$f(x)$が極大となるグラフ上の点を通り，$x$軸と平行な直線が再びこのグラフと交わる点の座標を求めよ．
(3)区間$0 \leqq x \leqq 8$における$f(x)$の最大値を求めよ．
私立 安田女子大学 2014年 第3問関数$y=f(x)=x^2-4x$のグラフを$x$軸方向に$-1$，$y$軸方向に$2$移動したときのグラフを表す関数を$y=g(x)$とする．また直線$L$を$y=ax-3a-7$（$a$は定数）とするとき，次の問いに答えよ．
(1)$y=g(x)$を表す式を求めよ．
(2)$y=f(x)$と直線$L$が異なる$2$点で交わるための条件を求めよ．
(3)$y=g(x)$と直線$L$が接するとき，接点の座標を求めよ．
(1)$y=g(x)$を表す式を求めよ．
(2)$y=f(x)$と直線$L$が異なる$2$点で交わるための条件を求めよ．
(3)$y=g(x)$と直線$L$が接するとき，接点の座標を求めよ．
私立 北里大学 2014年 第1問次の$[ ]$にあてはまる答を求めよ．
(1)$0<x<1$とする．$\displaystyle x^2+\frac{1}{x^2}=6$のとき，$\displaystyle x+\frac{1}{x}=[ア]$，$x^3=[イ]$である．
(2)$a,\ b$は正の定数とする．$2$次方程式$x^2+ax+b=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とする．$2$次方程式$x^2+(a^2-4a)x+a-b=0$が$2$つの数$\alpha+3$，$\beta+3$を解とするとき，$a,\ b$の値は$a=[ウ]$，$b=[エ]$である．
(3)$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，不等式$\sin \theta-\sqrt{3} \cos \theta \geqq 1$が成り立つ$\theta$の範囲は$[オ]$である．$[オ]$の範囲で$2 \cos 2\theta+3 \sin \theta$は最大値$[カ]$，最小値$[キ]$をとる．
(4)正十六角形$\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \cdots \mathrm{A}_{16}$の$16$個の頂点のうちの$3$個を頂点とする三角形の総数は$[ク]$である．これらの三角形のうち，直角三角形の個数は$[ケ]$個であり，鈍角三角形の個数は$[コ]$個である．
(1)$0<x<1$とする．$\displaystyle x^2+\frac{1}{x^2}=6$のとき，$\displaystyle x+\frac{1}{x}=[ア]$，$x^3=[イ]$である．
(2)$a,\ b$は正の定数とする．$2$次方程式$x^2+ax+b=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とする．$2$次方程式$x^2+(a^2-4a)x+a-b=0$が$2$つの数$\alpha+3$，$\beta+3$を解とするとき，$a,\ b$の値は$a=[ウ]$，$b=[エ]$である．
(3)$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，不等式$\sin \theta-\sqrt{3} \cos \theta \geqq 1$が成り立つ$\theta$の範囲は$[オ]$である．$[オ]$の範囲で$2 \cos 2\theta+3 \sin \theta$は最大値$[カ]$，最小値$[キ]$をとる．
(4)正十六角形$\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \cdots \mathrm{A}_{16}$の$16$個の頂点のうちの$3$個を頂点とする三角形の総数は$[ク]$である．これらの三角形のうち，直角三角形の個数は$[ケ]$個であり，鈍角三角形の個数は$[コ]$個である．
私立 北里大学 2014年 第2問空間内に$4$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(-3,\ 1,\ 0)$，$\mathrm{B}(1,\ t,\ -1)$，$\mathrm{C}(-1,\ 2,\ 0)$がある．ただし，$t$は定数とする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とするとき，次の$[ ]$にあてはまる答を求めよ．
(1)$\overrightarrow{a}$の大きさ$|\overrightarrow{a}|$は$[サ]$で，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{c}$のなす角$\theta (0^\circ \leqq \theta \leqq {180}^\circ)$は$\theta=[シ]$である．また，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角が${135}^\circ$となるような$t$の値は$t=[ス]$または$t=[セ]$である．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$の面積を$S$とするとき，$S$を$t$を用いて表すと$S=[ソ]$である．また，条件$\displaystyle S \geqq \frac{\sqrt{21}}{2}$を満たす$t$のとり得る値の範囲は$[タ]$である．
(1)$\overrightarrow{a}$の大きさ$|\overrightarrow{a}|$は$[サ]$で，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{c}$のなす角$\theta (0^\circ \leqq \theta \leqq {180}^\circ)$は$\theta=[シ]$である．また，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角が${135}^\circ$となるような$t$の値は$t=[ス]$または$t=[セ]$である．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$の面積を$S$とするとき，$S$を$t$を用いて表すと$S=[ソ]$である．また，条件$\displaystyle S \geqq \frac{\sqrt{21}}{2}$を満たす$t$のとり得る値の範囲は$[タ]$である．