次の問いに答えよ．

(1)$k$を定数とする．整式$3x^3+16x^2+35x+k$を整式$A$で割ると，商が$x+3$で，余りが$5x-7$である．このとき，$k=[アイ]$であり，$A=[ウ]x^2+[エ]x+[オ]$である．
(2)$a,\ b,\ c$を定数とする．方程式$x^3+ax^2+bx+c=0$の解が$-2,\ -1 \pm \sqrt{2}i$であるとき，$a=[カ]$，$b=[キ]$，$c=[ク]$である．

$2$つの関数$f(x)=\log (a-4x)$，$g(x)=\log x$について，次の問いに答えよ．ただし，$a$は定数であり，$a>4$とする．

(1)曲線$y=f(x)$と$x$軸の共有点$\mathrm{A}$の座標を求めよ．
(2)$2$曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$の共有点$\mathrm{B}$の座標を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$の点$\mathrm{B}$における接線と，曲線$y=g(x)$の点$\mathrm{B}$における接線が直交するとき，$a$の値を求めよ．
(4)$a$を$(3)$で求めた値とするとき，$2$曲線$y=f(x)$，$y=g(x)$と$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

次の$[　]$に当てはまるものを下記の$①$～$④$のうちから一つ選び，その番号をマークせよ．ただし，同じものをくり返し選んでもよい．

$a,\ b,\ c$を定数とし，$a \neq 0$とする．条件$p,\ q,\ r,\ s,\ t$を次のように定める．
$p:$方程式$ax^2+bx+c=0$は異なる$2$つの実数解をもつ．
$q:$座標平面で関数$y=ax^2+bx+c$のグラフは$x$軸と異なる$2$点で交わる．
$r:ac<0$である．
$s:b^2-ac>0$である．
$t:(a+b+c)(a-b+c)<0$である．

このとき，$q$は$p$の$[ケ]$．$r$は$q$の$[コ]$．$s$は$p$の$[サ]$．$t$は$q$の$[シ]$．
\[ \begin{array}{ll}
① \text{必要十分条件である} & ② \text{必要条件であるが，十分条件でない} \\
③ \text{十分条件であるが，必要条件でない} & ④ \text{必要条件でも十分条件でもない}
\end{array} \]

$a,\ b$は定数で$a>0$とする．関数$f(x)=x^2-2ax+a^2+2a+b$について，次の各問に答えよ．

(1)放物線$y=f(x)$の頂点の座標を$a$と$b$を用いて表せ．
(2)$0 \leqq x \leqq 1$における関数$f(x)$の最小値が$0$であるとき，$a$を用いて$b$を表せ．
(3)$0 \leqq x \leqq 1$における関数$f(x)$の最小値が$0$，最大値が$3$であるとき，$a$と$b$の値を求めよ．

$4$点$\mathrm{A}(0,\ 1)$，$\mathrm{B}(1,\ -4)$，$\mathrm{C}(3,\ 2)$，$\mathrm{D}(a,\ b)$を頂点とする平行四辺形の周を$P$とする．ただし，$\mathrm{AB} \para\, \mathrm{DC}$，$\mathrm{AD} \para\, \mathrm{BC}$とする．

(1)$\mathrm{D}$の座標$(a,\ b)$を求め，$P$を図示せよ．
(2)放物線$y=x^2+k$が$P$と共有点を持つような定数$k$の値の範囲を求めよ．

現実の気体では圧力を$p>0$，体積を$v>0$，温度を$T>0$とし，$a,\ b,\ R$を正の定数として方程式
\[ \left( p+\frac{a}{v^2} \right) (v-b)=RT \cdots\cdots ① \]
に従う．

(1)$①$から$p$を$v$を用いて表すと$p=[$9$]$となる．
(2)ボイル・シャルルの法則に従えば，$pv=RT \cdots\cdots②$である．$a>bRT$のとき，$①$と$②$を$p$と$v$の連立方程式とみなすと$v=[$10$]$である．
(3)$T=T_c$（正定数）のとき$①$の$p$を$v$の関数とみなして$\displaystyle \frac{dp}{dv}$，$\displaystyle \frac{d^2p}{dv^2}$を求める．
$①$と$\displaystyle \frac{dp}{dv}=0$，$\displaystyle \frac{d^2p}{dv^2}=0$を同時に満たす$T_c$，$v_c$，$p_c$を求めると，$T_c=[$11$]$，$v_c=[$12$]$，$p_c=[$13$]$である．

次の空欄にあてはまる数または式を解答欄に記入せよ．

$\{a_n\}$を，初項$1$，公差$d$の等差数列とし，
\[ P_n=r^{a_1} \cdot r^{a_2} \cdot \cdots \cdot r^{a_n} \]
と定義する．ただし，$r$は$r>1$を満たす定数である．$P_n$が$P_3=P_9$を満たしているならば，公差$d=[ア]$である．このとき，$P_n$は，$n=[イ]$のとき，最大値$[ウ]$をとる．また，$P_n<1$となる最小の$n$は，$n=[エ]$である．

$a$を定数とし，$a>0$，$a \neq 1$とする．不等式
\[ \log_{\sqrt{a}} (x-a)-\log_{a^2}4>\log_a (2x+\frac{1}{2}a^2-4a) \]
について，次の問いに答えよ．

(1)$0<a<1$のとき，この不等式を満たす$x$の値の範囲を$a$を用いて表せ．
(2)$a \geqq 4$のとき，この不等式を満たす$x$の値の範囲を$a$を用いて表せ．
(3)$1<a<4$のとき，この不等式を満たす$x$の値の範囲を$a$を用いて表せ．

$3$点$\mathrm{A}(-1,\ 2)$，$\mathrm{B}(3,\ 4)$，$\mathrm{C}(6,\ -2)$について，次の問に答えよ．

(1)$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る円の方程式を求めよ．
(2)$(1)$で求めた円と直線$y=2x+k$が異なる$2$点で交わるとき，定数$k$の値の範囲を求めよ．

次の問に答えよ．

(1)$3$点$\mathrm{A}(-1,\ 0)$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を頂点とする$\triangle \mathrm{ABC}$において，点$\mathrm{B}$から対辺に下ろした垂線の方程式は$x-3y+2=0$であり，点$\mathrm{C}$から対辺に下ろした垂線の方程式は$4x+2y-5=0$である．このとき，$3$直線$\mathrm{AB}$，$\mathrm{AC}$，$\mathrm{BC}$の方程式を求めよ．
(2)$a$を定数とする．関数$\displaystyle y=\frac{1}{2}x^3-\frac{15}{4}x^2+8x+5$のグラフと直線$y=2x+a$が共有点を$3$個もち，それらの$x$座標がすべて正の数となるような$a$の値の範囲を求めよ．