「定数」について
タグ「定数」の検索結果
（45ページ目：全1257問中441問～450問を表示）
国立 福島大学 2014年 第1問次の問いに答えなさい．
(1)定積分
\[ \int_0^{2\pi} \sin \frac{7x}{3} \cos \frac{2x}{3} \, dx \]
を求めなさい．
(2)次の無限級数の収束，発散について調べ，収束する場合はその和を求めなさい．
\[ \frac{1}{2^2-1}+\frac{1}{4^2-1}+\frac{1}{6^2-1}+\cdots +\frac{1}{(2n)^2-1}+\cdots \]
(3)$a$を定数とする．$x$についての方程式
\[ 1-4 \cos^2 x=a \quad (0 \leqq x<\pi) \]
の異なる解の個数を調べなさい．
(1)定積分
\[ \int_0^{2\pi} \sin \frac{7x}{3} \cos \frac{2x}{3} \, dx \]
を求めなさい．
(2)次の無限級数の収束，発散について調べ，収束する場合はその和を求めなさい．
\[ \frac{1}{2^2-1}+\frac{1}{4^2-1}+\frac{1}{6^2-1}+\cdots +\frac{1}{(2n)^2-1}+\cdots \]
(3)$a$を定数とする．$x$についての方程式
\[ 1-4 \cos^2 x=a \quad (0 \leqq x<\pi) \]
の異なる解の個数を調べなさい．
国立 福島大学 2014年 第5問$a,\ b$を正の定数とし，関数$y=f(x)$，$y=g(x)$を次のように定める．
$f(x)=2 \sqrt{x-a} \quad (x \geqq a)$
$\displaystyle g(x)=\frac{x^2}{4}+b \quad (x \geqq 0)$
$y=f(x)$のグラフを$C_1$，$y=g(x)$のグラフを$C_2$とし，$C_1$と$C_2$は$1$点$\mathrm{P}$において接している．すなわち，点$\mathrm{P}$は$C_1$，$C_2$上にあり，点$\mathrm{P}$におけるそれぞれの接線は一致する．
(1)関数$y=f(x)$の導関数を求めなさい．
(2)点$\mathrm{P}$の$x$座標を$t$とするとき，$a$および$b$を$t$を用いて表しなさい．
(3)$t$の値の範囲を求めなさい．
(4)$C_1$，$C_2$，$x$軸，$y$軸で囲まれた図形の面積$S$を$t$を用いて表しなさい．
(5)$S$の最大値と，そのときの$t$の値を求めなさい．
$f(x)=2 \sqrt{x-a} \quad (x \geqq a)$
$\displaystyle g(x)=\frac{x^2}{4}+b \quad (x \geqq 0)$
$y=f(x)$のグラフを$C_1$，$y=g(x)$のグラフを$C_2$とし，$C_1$と$C_2$は$1$点$\mathrm{P}$において接している．すなわち，点$\mathrm{P}$は$C_1$，$C_2$上にあり，点$\mathrm{P}$におけるそれぞれの接線は一致する．
(1)関数$y=f(x)$の導関数を求めなさい．
(2)点$\mathrm{P}$の$x$座標を$t$とするとき，$a$および$b$を$t$を用いて表しなさい．
(3)$t$の値の範囲を求めなさい．
(4)$C_1$，$C_2$，$x$軸，$y$軸で囲まれた図形の面積$S$を$t$を用いて表しなさい．
(5)$S$の最大値と，そのときの$t$の値を求めなさい．
私立 慶應義塾大学 2014年 第1問次の問いに答えよ．
(1)実数$x$の関数$f(x)=x^3-ax^2+bx+4b-2$は，$\displaystyle \lim_{x \to 4} \frac{f(x)}{x-2}=-5$を満たす．ただし，$a,\ b$は実数とする．このとき，
(i) $b$を$a$の式で表すと，$b=[$1$]a-[$2$]$である．
(ii) $x$の値が$3$から$6$まで変化するときの関数$f(x)$の平均変化率が，関数$f(x)$の$x=2+\sqrt{7}$における微分係数に等しいとき，$a=[$3$]$，$b=[$4$]$である．
(2)実数$a$についての方程式
\[ A=|2a+\displaystyle\frac{4|{3}k}+|a-\displaystyle\frac{8|{9}k} \]
において，$\displaystyle a=\frac{1}{4}$のとき$\displaystyle A=\frac{21}{4}$である．ただし，$k$は正の実数の定数とする．このとき，
(i) $\displaystyle k=\frac{[$5$]}{[$6$]}$である．
(ii) $A$の最小値は$\displaystyle \frac{[$7$]}{[$8$]}$であり，このときの$a$の値は$\displaystyle \frac{[$9$][$10$]}{[$11$]}$である．
(3)$n$を自然数とする．数列$\{a_n\}$は，$a_1=5$，$\displaystyle a_{n+1}=\frac{25}{{a_n}^2}$を満たす．このとき，
(i) $a_3=[$12$][$13$]$，$\displaystyle a_4=\frac{[$14$]}{[$15$][$16$]}$である．
(ii) $b_n=\log_5 a_n$とおくとき，数列$\{b_n\}$の一般項を$n$の式で表すと，
\[ b_n=\frac{\left( [$17$][$18$] \right)^{n-1}}{[$19$]}+\frac{[$20$]}{[$21$]} \]
である．
(4)円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$において，$\angle \mathrm{BCD}=60^\circ$，$\mathrm{CD}=2 \sqrt{6}$，$\angle \mathrm{DAB}>\angle \mathrm{CDA}$である．また$2$直線$\mathrm{BA}$，$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{E}$，$2$直線$\mathrm{DA}$，$\mathrm{CB}$の交点を$\mathrm{F}$とすると，$\angle \mathrm{AFB}=45^\circ$，$\mathrm{DE}=3 \sqrt{2}-\sqrt{6}$である．このとき，
(i) $\angle \mathrm{AED}$の大きさは${[$22$][$23$]}^\circ$であり，辺$\mathrm{EB}$の長さは$[$24$]$である．
(ii) 三角形$\mathrm{AED}$の面積は，三角形$\mathrm{CEB}$の面積の$\displaystyle \frac{[$25$]-\sqrt{[$26$]}}{[$27$]}$倍である．
(5)$xy$平面上に放物線$C:2x^2+(k-5)x-(k+1)y+6k-14=0$と直線$\displaystyle \ell:y=\frac{1}{2}x$がある．$k$は$k \neq -1$を満たす実数とする．放物線$C$は$-1$を除くすべての実数$k$に対して$2$定点$\mathrm{A}(x_\mathrm{A},\ y_\mathrm{A})$，$\mathrm{B}(x_\mathrm{B},\ y_\mathrm{B})$を通る．ただし，$x_\mathrm{A}<x_\mathrm{B}$とする．このとき，
(i) $2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の座標は
\[ (x_\mathrm{A},\ y_\mathrm{A})=\left( [$28$][$29$],\ [$30$] \right),\quad (x_\mathrm{B},\ y_\mathrm{B})=\left( [$31$],\ [$32$][$33$] \right) \]
である．
(ii) 直線$\ell$上に点$\mathrm{P}$をおき，$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$をそれぞれ点$\mathrm{P}$と線分で結ぶとき，距離の和$\mathrm{AP}+\mathrm{BP}$を最小にする点$\mathrm{P}$の座標は$\displaystyle \left( \frac{[$34$][$35$]}{[$36$]},\ \frac{[$37$][$38$]}{[$39$]} \right)$である．
(1)実数$x$の関数$f(x)=x^3-ax^2+bx+4b-2$は，$\displaystyle \lim_{x \to 4} \frac{f(x)}{x-2}=-5$を満たす．ただし，$a,\ b$は実数とする．このとき，
(i) $b$を$a$の式で表すと，$b=[$1$]a-[$2$]$である．
(ii) $x$の値が$3$から$6$まで変化するときの関数$f(x)$の平均変化率が，関数$f(x)$の$x=2+\sqrt{7}$における微分係数に等しいとき，$a=[$3$]$，$b=[$4$]$である．
(2)実数$a$についての方程式
\[ A=|2a+\displaystyle\frac{4|{3}k}+|a-\displaystyle\frac{8|{9}k} \]
において，$\displaystyle a=\frac{1}{4}$のとき$\displaystyle A=\frac{21}{4}$である．ただし，$k$は正の実数の定数とする．このとき，
(i) $\displaystyle k=\frac{[$5$]}{[$6$]}$である．
(ii) $A$の最小値は$\displaystyle \frac{[$7$]}{[$8$]}$であり，このときの$a$の値は$\displaystyle \frac{[$9$][$10$]}{[$11$]}$である．
(3)$n$を自然数とする．数列$\{a_n\}$は，$a_1=5$，$\displaystyle a_{n+1}=\frac{25}{{a_n}^2}$を満たす．このとき，
(i) $a_3=[$12$][$13$]$，$\displaystyle a_4=\frac{[$14$]}{[$15$][$16$]}$である．
(ii) $b_n=\log_5 a_n$とおくとき，数列$\{b_n\}$の一般項を$n$の式で表すと，
\[ b_n=\frac{\left( [$17$][$18$] \right)^{n-1}}{[$19$]}+\frac{[$20$]}{[$21$]} \]
である．
(4)円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$において，$\angle \mathrm{BCD}=60^\circ$，$\mathrm{CD}=2 \sqrt{6}$，$\angle \mathrm{DAB}>\angle \mathrm{CDA}$である．また$2$直線$\mathrm{BA}$，$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{E}$，$2$直線$\mathrm{DA}$，$\mathrm{CB}$の交点を$\mathrm{F}$とすると，$\angle \mathrm{AFB}=45^\circ$，$\mathrm{DE}=3 \sqrt{2}-\sqrt{6}$である．このとき，
(i) $\angle \mathrm{AED}$の大きさは${[$22$][$23$]}^\circ$であり，辺$\mathrm{EB}$の長さは$[$24$]$である．
(ii) 三角形$\mathrm{AED}$の面積は，三角形$\mathrm{CEB}$の面積の$\displaystyle \frac{[$25$]-\sqrt{[$26$]}}{[$27$]}$倍である．
(5)$xy$平面上に放物線$C:2x^2+(k-5)x-(k+1)y+6k-14=0$と直線$\displaystyle \ell:y=\frac{1}{2}x$がある．$k$は$k \neq -1$を満たす実数とする．放物線$C$は$-1$を除くすべての実数$k$に対して$2$定点$\mathrm{A}(x_\mathrm{A},\ y_\mathrm{A})$，$\mathrm{B}(x_\mathrm{B},\ y_\mathrm{B})$を通る．ただし，$x_\mathrm{A}<x_\mathrm{B}$とする．このとき，
(i) $2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の座標は
\[ (x_\mathrm{A},\ y_\mathrm{A})=\left( [$28$][$29$],\ [$30$] \right),\quad (x_\mathrm{B},\ y_\mathrm{B})=\left( [$31$],\ [$32$][$33$] \right) \]
である．
(ii) 直線$\ell$上に点$\mathrm{P}$をおき，$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$をそれぞれ点$\mathrm{P}$と線分で結ぶとき，距離の和$\mathrm{AP}+\mathrm{BP}$を最小にする点$\mathrm{P}$の座標は$\displaystyle \left( \frac{[$34$][$35$]}{[$36$]},\ \frac{[$37$][$38$]}{[$39$]} \right)$である．
私立 慶應義塾大学 2014年 第2問$\mathrm{O}$を原点とする$xy$平面上に円$C:x^2+y^2=r^2$と放物線$\displaystyle D:y=\frac{1}{2}x^2-t$がある．ただし$r$と$t$はそれぞれ正の実数の定数とする．点$(0,\ -55)$から放物線$D$に傾きが正の接線を引くとき，その接線の傾きは$3 \sqrt{6}$である．放物線$D$上には$x$座標がそれぞれ$-4 \sqrt{3}$，$4 \sqrt{3}$である点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$があり，円$C$はこの$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を通る．このとき，
(1)$t=[$40$][$41$]$である．
(2)$r=[$42$]$である．
(3)円$C$と$2$線分$\mathrm{OP}$，$\mathrm{OQ}$で囲まれる$2$つの扇形のうち，$\angle \mathrm{POQ}$が$\pi$より小さい方の面積は$\displaystyle \frac{[$43$][$44$]}{[$45$]} \pi$である．
(4)円$C$と放物線$D$で囲まれた図形のうち，
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x^2+y^2 \geqq r^2 \\
y \geqq \displaystyle\frac{1}{2}x^2-t
\end{array} \right. \]
で表される図形の面積は$\displaystyle [$46$][$47$][$48$] \sqrt{[$49$]}-\frac{[$50$][$51$]}{[$52$]} \pi$である．
(1)$t=[$40$][$41$]$である．
(2)$r=[$42$]$である．
(3)円$C$と$2$線分$\mathrm{OP}$，$\mathrm{OQ}$で囲まれる$2$つの扇形のうち，$\angle \mathrm{POQ}$が$\pi$より小さい方の面積は$\displaystyle \frac{[$43$][$44$]}{[$45$]} \pi$である．
(4)円$C$と放物線$D$で囲まれた図形のうち，
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x^2+y^2 \geqq r^2 \\
y \geqq \displaystyle\frac{1}{2}x^2-t
\end{array} \right. \]
で表される図形の面積は$\displaystyle [$46$][$47$][$48$] \sqrt{[$49$]}-\frac{[$50$][$51$]}{[$52$]} \pi$である．
私立 慶應義塾大学 2014年 第4問正四面体$\mathrm{OABC}$において辺$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{D}$，辺$\mathrm{OB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{E}$，辺$\mathrm{OC}$を$m:(1-m)$に内分する点を$\mathrm{F}$とする．ただし，$m$は$0<m<1$を満たす実数の定数とする．$\mathrm{E}$から$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{C}$の定める平面に垂線$\mathrm{EH}$を下ろし，直線$\mathrm{OH}$と線分$\mathrm{DF}$の交点を$\mathrm{I}$とする．三角形$\mathrm{ODE}$の面積は$\displaystyle \frac{9 \sqrt{3}}{4}$であり，四面体$\mathrm{ODEF}$の体積は正四面体$\mathrm{OABC}$の体積の$\displaystyle \frac{5}{54}$倍である．このとき，
(1)正四面体$\mathrm{OABC}$の一辺の長さは$[$63$] \sqrt{[$64$]}$であり，体積は$[$65$][$66$] \sqrt{[$67$]}$である．
(2)$\displaystyle m=\frac{[$68$]}{[$69$]}$である．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OI}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$を用いて表すと，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OI}}=\frac{[$70$][$71$]}{[$72$][$73$]} \overrightarrow{\mathrm{OD}}+\frac{[$74$]}{[$75$][$76$]} \overrightarrow{\mathrm{OF}}$である．
(1)正四面体$\mathrm{OABC}$の一辺の長さは$[$63$] \sqrt{[$64$]}$であり，体積は$[$65$][$66$] \sqrt{[$67$]}$である．
(2)$\displaystyle m=\frac{[$68$]}{[$69$]}$である．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OI}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$を用いて表すと，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OI}}=\frac{[$70$][$71$]}{[$72$][$73$]} \overrightarrow{\mathrm{OD}}+\frac{[$74$]}{[$75$][$76$]} \overrightarrow{\mathrm{OF}}$である．
私立 慶應義塾大学 2014年 第2問次の$[ ]$にあてはまる最も適当な数または式などを解答欄に記入しなさい．
(1)座標平面上に曲線$C_1:y=x^2-1$がある．$x$軸に関して$C_1$に対称な曲線を$C_2$とすると，$C_2$を表す方程式は$[ケ]$である．
$0 \leqq a \leqq 1$とするとき，$-a \leqq x \leqq a$において，曲線$C_2$と直線$y=a^2-1$，および$2$直線$x=-a$，$x=a$で囲まれた図形の面積$S(a)$は，
\[ S(a)=[コ] \]
となる．$S(a)$は，$a=[サ]$のとき最大値$[シ]$をとる．
(2)関数$f(x)=8^x-6 \cdot 4^x+5 \cdot 2^x$を考える．$f(x)=-12$を満たす実数$x$をすべて求めると，$x=[ス]$となる．また，方程式$f(x)=k$が$3$つの実数解をもつような定数$k$の値の範囲は，$[セ]<k<[ソ]$である．
(1)座標平面上に曲線$C_1:y=x^2-1$がある．$x$軸に関して$C_1$に対称な曲線を$C_2$とすると，$C_2$を表す方程式は$[ケ]$である．
$0 \leqq a \leqq 1$とするとき，$-a \leqq x \leqq a$において，曲線$C_2$と直線$y=a^2-1$，および$2$直線$x=-a$，$x=a$で囲まれた図形の面積$S(a)$は，
\[ S(a)=[コ] \]
となる．$S(a)$は，$a=[サ]$のとき最大値$[シ]$をとる．
(2)関数$f(x)=8^x-6 \cdot 4^x+5 \cdot 2^x$を考える．$f(x)=-12$を満たす実数$x$をすべて求めると，$x=[ス]$となる．また，方程式$f(x)=k$が$3$つの実数解をもつような定数$k$の値の範囲は，$[セ]<k<[ソ]$である．
私立 慶應義塾大学 2014年 第2問$a,\ b,\ c$を実数とする．$x$の関数$F(x)$を
\[ F(x)=\frac{1}{3}x^3+ax^2+bx+c \]
と定め，
\[ f(x)=F^\prime(x) \]
とおく．関数$F(x)$は$x=\alpha$において極大に，$x=\beta$において極小になるとする．点$(\alpha,\ f(\alpha))$，$(\beta,\ f(\beta))$における曲線$y=f(x)$の接線をそれぞれ$\ell_\alpha$，$\ell_\beta$とする．
(1)直線$\ell_\alpha$と$\ell_\beta$の交点の座標は
\[ \left( \frac{[$15$]}{[$16$]} \alpha+\frac{[$17$]}{[$18$]} \beta,\ \frac{[$19$][$20$]}{[$21$]} (\beta-\alpha)^2 \right) \]
である．
(2)曲線$y=f(x)$と直線$\ell_\alpha$，$\ell_\beta$とで囲まれた図形の面積を$S$とすると，
\[ S=\frac{[$22$]}{[$23$][$24$]} (\beta-\alpha)^3 \]
である．必要なら次の公式を使ってよい．$r$を実数とすると
\[ \int (x+r)^2 \, dx=\frac{1}{3}(x+r)^3+C \quad (C \text{は定数}) \]
(3)実数$a,\ b$が不等式
\[ 0 \leqq a \leqq 2,\quad 2a-4 \leqq b \leqq 2a-2 \]
をみたす範囲を動くとき，$S$の最大値は$\displaystyle \frac{[$25$][$26$]}{[$27$]}$，最小値は$\displaystyle \frac{[$28$][$29$]}{[$30$]}$である．
\[ F(x)=\frac{1}{3}x^3+ax^2+bx+c \]
と定め，
\[ f(x)=F^\prime(x) \]
とおく．関数$F(x)$は$x=\alpha$において極大に，$x=\beta$において極小になるとする．点$(\alpha,\ f(\alpha))$，$(\beta,\ f(\beta))$における曲線$y=f(x)$の接線をそれぞれ$\ell_\alpha$，$\ell_\beta$とする．
(1)直線$\ell_\alpha$と$\ell_\beta$の交点の座標は
\[ \left( \frac{[$15$]}{[$16$]} \alpha+\frac{[$17$]}{[$18$]} \beta,\ \frac{[$19$][$20$]}{[$21$]} (\beta-\alpha)^2 \right) \]
である．
(2)曲線$y=f(x)$と直線$\ell_\alpha$，$\ell_\beta$とで囲まれた図形の面積を$S$とすると，
\[ S=\frac{[$22$]}{[$23$][$24$]} (\beta-\alpha)^3 \]
である．必要なら次の公式を使ってよい．$r$を実数とすると
\[ \int (x+r)^2 \, dx=\frac{1}{3}(x+r)^3+C \quad (C \text{は定数}) \]
(3)実数$a,\ b$が不等式
\[ 0 \leqq a \leqq 2,\quad 2a-4 \leqq b \leqq 2a-2 \]
をみたす範囲を動くとき，$S$の最大値は$\displaystyle \frac{[$25$][$26$]}{[$27$]}$，最小値は$\displaystyle \frac{[$28$][$29$]}{[$30$]}$である．
私立 北星学園大学 2014年 第1問$f(x)=x^2-(a+1)x+a$とするとき，以下の問に答えよ．
(1)$f(x)$を因数分解せよ．
(2)$f(x)<0$となる$x$の値の範囲を求めよ．
(3)$f(x)<0$を満たす整数解のないような定数$a$の値の範囲を求めよ．
(1)$f(x)$を因数分解せよ．
(2)$f(x)<0$となる$x$の値の範囲を求めよ．
(3)$f(x)<0$を満たす整数解のないような定数$a$の値の範囲を求めよ．
私立 甲南大学 2014年 第1問以下の問いに答えよ．
(1)$a,\ b,\ c,\ d,\ x,\ y$は$0$でない実数，$i$は虚数単位とする．
\[ \left( x+\frac{1}{yi} \right) \cdot \frac{1}{\displaystyle\frac{1}{a}+bi}=-\frac{d}{c}i \]
の関係があるとき，$x,\ y$を$a,\ b,\ c,\ d$を用いて表せ．
(2)$t$は$t>-1$を満たす定数とする．$-1 \leqq x \leqq t$における関数$f(x)=2x^2-4x+1$の最大値と最小値の差が$8$であるような$t$の値の範囲を求めよ．
(1)$a,\ b,\ c,\ d,\ x,\ y$は$0$でない実数，$i$は虚数単位とする．
\[ \left( x+\frac{1}{yi} \right) \cdot \frac{1}{\displaystyle\frac{1}{a}+bi}=-\frac{d}{c}i \]
の関係があるとき，$x,\ y$を$a,\ b,\ c,\ d$を用いて表せ．
(2)$t$は$t>-1$を満たす定数とする．$-1 \leqq x \leqq t$における関数$f(x)=2x^2-4x+1$の最大値と最小値の差が$8$であるような$t$の値の範囲を求めよ．
私立 北海道薬科大学 2014年 第3問円$(x-2)^2+(y-3)^2=9$と放物線$y=x^2-4x+a+4$（$a$は定数）は，$2$つの点で接している．
(1)$a$の値は$\displaystyle \frac{[アイウ]}{[エ]}$である．
(2)接点の座標は$\displaystyle \left( [オ] \pm \frac{\sqrt{[カキ]}}{[ク]},\ \frac{[ケ]}{[コ]} \right)$であり，$2$つの接線の方程式は$y=\pm \sqrt{[サシ]}(x-[ス])+[セソタ]$である（複号同順）．
(3)$(2)$で得られた$2$つの接線の交点の座標は$([チ],\ [ツテト])$である．
(1)$a$の値は$\displaystyle \frac{[アイウ]}{[エ]}$である．
(2)接点の座標は$\displaystyle \left( [オ] \pm \frac{\sqrt{[カキ]}}{[ク]},\ \frac{[ケ]}{[コ]} \right)$であり，$2$つの接線の方程式は$y=\pm \sqrt{[サシ]}(x-[ス])+[セソタ]$である（複号同順）．
(3)$(2)$で得られた$2$つの接線の交点の座標は$([チ],\ [ツテト])$である．