関数$f_0(x)$，$f_1(x)$，$f_2(x)$，$f_3(x)$，$f_4(x)$は，$n=0,\ 1,\ 2,\ 3$に対して，$f_n(0)$が$0$に一致しないときか一致するときかという場合に応じて$f_{n+1}(x)$を$f_n(x)$から定める関係式
\[ f_{n+1}(x)=\left\{ \begin{array}{ll}
\displaystyle \frac{d}{dx}f_n(x) & (f_n(0) \neq 0) \\ \\
\displaystyle \int_0^x f_n(t) \, dt+1 & (f_n(0)=0)
\end{array} \right. \]
をみたしているとする．

(1)$f_0(x)=x$のとき，$f_4(x)$を求めよ．
(2)$f_1(x)=0$ならば，$f_0(x)$は定数であることを証明せよ．
(3)$f_2(x)=0$ならば，$f_0(x)=ax+b$（$a,\ b$は定数）と表されることを証明せよ．

以下の問いに答えよ．

(1)$n$を自然数，$a$を正の定数として，
\[ f(x)=(n+1) \{ \log (a+x)-\log (n+1) \}-n(\log a-\log n)-\log x \]
とおく．$x>0$における関数$f(x)$の極値を求めよ．ただし，対数は自然対数とする．
(2)$n$が$2$以上の自然数のとき，次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{k+1}{k}>(n+1)^{\frac{1}{n}} \]

平面上の直線$\ell$に同じ側で接する$2$つの円$C_1$，$C_2$があり，$C_1$と$C_2$も互いに外接している．$\ell$，$C_1$，$C_2$で囲まれた領域内に，これら$3$つと互いに接する円$C_3$を作る．同様に$\ell$，$C_n$，$C_{n+1} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で囲まれた領域内にあり，これら$3$つと互いに接する円を$C_{n+2}$とする．円$C_n$の半径を$r_n$とし，$\displaystyle x_n=\frac{1}{\sqrt{r_n}}$とおく．このとき，以下の問いに答えよ．ただし，$r_1=16$，$r_2=9$とする．

(1)$\ell$が$C_1$，$C_2$，$C_3$と接する点を，それぞれ$\mathrm{A}_1$，$\mathrm{A}_2$，$\mathrm{A}_3$とおく．線分$\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2$，$\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_3$，$\mathrm{A}_2 \mathrm{A}_3$の長さおよび$r_3$の値を求めよ．
(2)ある定数$a,\ b$に対して$x_{n+2}=ax_{n+1}+bx_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$となることを示せ．$a,\ b$の値も求めよ．
(3)$(2)$で求めた$a,\ b$に対して，$2$次方程式$t^2=at+b$の解を$\alpha,\ \beta (\alpha>\beta)$とする．$x_1=c \alpha^2+d \beta^2$を満たす有理数$c,\ d$の値を求めよ．ただし，$\sqrt{5}$が無理数であることは証明なしで用いてよい．
(4)$(3)$の$c,\ d,\ \alpha,\ \beta$に対して，
\[ x_n=c \alpha^{n+1}+d \beta^{n+1} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
となることを示し，数列$\{r_n\}$の一般項を$\alpha,\ \beta$を用いて表せ．
（図は省略）

$a$を正の定数とする．条件
\[ \cos \theta-\sin \theta=a \sin \theta \cos \theta,\quad 0<\theta<\pi \]
を満たす$\theta$について，以下の問いに答えよ．

(1)条件を満たす$\theta$は，$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$の範囲で，ただ$1$つ存在することを示せ．
(2)条件を満たす$\theta$の個数を求めよ．

$a$を正の定数とする．条件
\[ \cos \theta-\sin \theta=a \sin \theta \cos \theta,\quad 0<\theta<\pi \]
を満たす$\theta$について，以下の問いに答えよ．

(1)条件を満たす$\theta$は，$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$の範囲で，ただ$1$つ存在することを示せ．
(2)条件を満たす$\theta$の個数を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)次の不等式を解け．ただし，$a$は定数で，$a>0$，$a \neq 1$を満たすものとする．
\[ a^{2x}-a^x-6<0 \]
(2)三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{AC}=5$，$\angle \mathrm{A}={60}^\circ$とする．$\angle \mathrm{A}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{P}$とするとき，$\mathrm{BP}$の長さを求めよ．
(3)赤玉$4$個と白玉$5$個が入った袋がある．無作為に玉を$2$個同時に取り出したとき，赤玉の出る個数の期待値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)次の不等式を解け．ただし，$a$は定数で，$a>0$，$a \neq 1$を満たすものとする．
\[ a^{2x}-a^x-6<0 \]
(2)三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{AC}=5$，$\angle \mathrm{A}={60}^\circ$とする．$\angle \mathrm{A}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{P}$とするとき，$\mathrm{BP}$の長さを求めよ．
(3)赤玉$4$個と白玉$5$個が入った袋がある．無作為に玉を$2$個同時に取り出したとき，赤玉の出る個数の期待値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)関数$y=-2 \sin 2x+2 \cos 2x+3$の最大値と最小値を求めよ．ただし，$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$とする．
(2)$\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{a \sqrt{x+3}-8}{x-1}$が有限な値になるように定数$a$の値を定め，そのときの極限値を求めよ．
(3)直線$y=x$に関する対称移動の$1$次変換を$f$とする．$1$次変換$g$が点$(2,\ 4)$を点$(4,\ 6)$に移し，合成変換$f \circ g$が点$(2,\ 2)$を点$(-12,\ 4)$に移すとき，$g$を表す行列を求めよ．
(4)次の不定積分を求めよ．
\[ \int x \log (x+1) \, dx \]

連続な関数$f(x)$が以下の関係式を満たすとき，次の問いに答えよ．
\[ \int_a^x (x-t)f(t) \, dt=2 \sin x-x+b \]
ただし，$a,\ b$は定数であり，$\displaystyle 0 \leqq a \leqq \frac{\pi}{2}$である．

(1)$\displaystyle \int_a^x f(t) \, dt$を求めよ．

(2)$f(x)$を求めよ．
(3)定数$a,\ b$の値を求めよ．

(4)$\displaystyle \int_\pi^{\frac{3}{2}\pi} \{f(x)\}^3 \, dx$を求めよ．

関数$f(x)$を$\displaystyle f(x)=-7+k \int_0^6 |x-u| \, du$と定義する．ただし，$k$は定数，$f(3)=-5$である．次の各問に答えなさい．

(1)$k$の値を求めなさい．
(2)$y=f(x)$のグラフの概形を図示しなさい．
(3)実数$s,\ t$が条件$0 \leqq s \leqq 20$，$0 \leqq t \leqq 20$を満たしながら動くとき，$xy$座標平面上の点
\[ \mathrm{P} \left( \frac{1}{2}s+\frac{1}{10}t,\ -\frac{1}{4}s-\frac{1}{5}t \right) \]
が動く領域$D$を求めなさい．
(4)不等式$y \geqq f(x)$の表す領域を$E$とするとき，領域$E$と領域$D$の共通部分の面積を求めなさい．