「定数」について
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国立 静岡大学 2014年 第4問$a$を定数とする．$2$次関数$f(x)$は等式
\[ f(x)=6(a+1)x^2-12x \int_0^1 f(t) \, dt+5a-2 \]
を満たすとする．このとき，$2$次関数$f(x)$と$3$次関数$g(x)=-4x^3+f(x)$について，次の問いに答えよ．
(1)定積分$\displaystyle \int_0^1 f(t) \, dt$を$a$を用いて表せ．
(2)$3$次関数$g(x)$の増減を調べ，極値があればその極値を求めよ．
(3)$3$次方程式$g(x)=0$が異なる$3$つの実数解をもつとき，定数$a$の値の範囲を求めよ．
\[ f(x)=6(a+1)x^2-12x \int_0^1 f(t) \, dt+5a-2 \]
を満たすとする．このとき，$2$次関数$f(x)$と$3$次関数$g(x)=-4x^3+f(x)$について，次の問いに答えよ．
(1)定積分$\displaystyle \int_0^1 f(t) \, dt$を$a$を用いて表せ．
(2)$3$次関数$g(x)$の増減を調べ，極値があればその極値を求めよ．
(3)$3$次方程式$g(x)=0$が異なる$3$つの実数解をもつとき，定数$a$の値の範囲を求めよ．
国立 名古屋大学 2014年 第3問実数$t$に対して$2$点$\mathrm{P}(t,\ t^2)$，$\mathrm{Q}(t+1,\ (t+1)^2)$を考える．
(1)$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を通る直線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$a$は定数とし，直線$x=a$と$\ell$の交点の$y$座標を$t$の関数と考えて$f(t)$とおく．$t$が$-1 \leqq t \leqq 0$の範囲を動くときの$f(t)$の最大値を$a$を用いて表せ．
(3)$t$が$-1 \leqq t \leqq 0$の範囲を動くとき，線分$\mathrm{PQ}$が通過してできる図形を図示し，その面積を求めよ．
(1)$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を通る直線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$a$は定数とし，直線$x=a$と$\ell$の交点の$y$座標を$t$の関数と考えて$f(t)$とおく．$t$が$-1 \leqq t \leqq 0$の範囲を動くときの$f(t)$の最大値を$a$を用いて表せ．
(3)$t$が$-1 \leqq t \leqq 0$の範囲を動くとき，線分$\mathrm{PQ}$が通過してできる図形を図示し，その面積を求めよ．
国立 東京大学 2014年 第2問$a$を自然数（すなわち$1$以上の整数）の定数とする．白球と赤球があわせて$1$個以上入っている袋$\mathrm{U}$に対して，次の操作$(*)$を考える．
\mon[$(*)$] 袋$\mathrm{U}$から球を$1$個取り出し，
(i) 取り出した球が白球のときは，袋$\mathrm{U}$の中身が白球$a$個，赤球$1$個となるようにする．
(ii) 取り出した球が赤球のときは，その球を袋$\mathrm{U}$へ戻すことなく，袋$\mathrm{U}$の中身はそのままにする．
はじめに袋$\mathrm{U}$の中に，白球が$a+2$個，赤球が$1$個入っているとする．この袋$\mathrm{U}$に対して操作$(*)$を繰り返し行う．
たとえば，$1$回目の操作で白球が出たとすると，袋$\mathrm{U}$の中身は白球$a$個，赤球$1$個となり，さらに$2$回目の操作で赤球が出たとすると，袋$\mathrm{U}$の中身は白球$a$個のみとなる．
$n$回目に取り出した球が赤球である確率を$p_n$とする．ただし，袋$\mathrm{U}$の中の個々の球の取り出される確率は等しいものとする．
(1)$p_1,\ p_2$を求めよ．
(2)$n \geqq 3$に対して$p_n$を求めよ．
(3)$\displaystyle \lim_{m \to \infty} \frac{1}{m} \sum_{n=1}^m p_n$を求めよ．
\mon[$(*)$] 袋$\mathrm{U}$から球を$1$個取り出し，
(i) 取り出した球が白球のときは，袋$\mathrm{U}$の中身が白球$a$個，赤球$1$個となるようにする．
(ii) 取り出した球が赤球のときは，その球を袋$\mathrm{U}$へ戻すことなく，袋$\mathrm{U}$の中身はそのままにする．
はじめに袋$\mathrm{U}$の中に，白球が$a+2$個，赤球が$1$個入っているとする．この袋$\mathrm{U}$に対して操作$(*)$を繰り返し行う．
たとえば，$1$回目の操作で白球が出たとすると，袋$\mathrm{U}$の中身は白球$a$個，赤球$1$個となり，さらに$2$回目の操作で赤球が出たとすると，袋$\mathrm{U}$の中身は白球$a$個のみとなる．
$n$回目に取り出した球が赤球である確率を$p_n$とする．ただし，袋$\mathrm{U}$の中の個々の球の取り出される確率は等しいものとする．
(1)$p_1,\ p_2$を求めよ．
(2)$n \geqq 3$に対して$p_n$を求めよ．
(3)$\displaystyle \lim_{m \to \infty} \frac{1}{m} \sum_{n=1}^m p_n$を求めよ．
国立 東京大学 2014年 第2問$a$を自然数（すなわち$1$以上の整数）の定数とする．白球と赤球があわせて$1$個以上入っている袋$\mathrm{U}$に対して，次の操作$(*)$を考える．
\mon[$(*)$] 袋$\mathrm{U}$から球を$1$個取り出し，
(i) 取り出した球が白球のときは，袋$\mathrm{U}$の中身が白球$a$個，赤球$1$個となるようにする．
(ii) 取り出した球が赤球のときは，その球を袋$\mathrm{U}$へ戻すことなく，袋$\mathrm{U}$の中身はそのままにする．
はじめに袋$\mathrm{U}$の中に，白球が$a+2$個，赤球が$1$個入っているとする．この袋$\mathrm{U}$に対して操作$(*)$を繰り返し行う．
たとえば，$1$回目の操作で白球が出たとすると，袋$\mathrm{U}$の中身は白球$a$個，赤球$1$個となり，さらに$2$回目の操作で赤球が出たとすると，袋$\mathrm{U}$の中身は白球$a$個のみとなる．
$n$回目に取り出した球が赤球である確率を$p_n$とする．ただし，袋$\mathrm{U}$の中の個々の球の取り出される確率は等しいものとする．
(1)$p_1,\ p_2$を求めよ．
(2)$n \geqq 3$に対して$p_n$を求めよ．
\mon[$(*)$] 袋$\mathrm{U}$から球を$1$個取り出し，
(i) 取り出した球が白球のときは，袋$\mathrm{U}$の中身が白球$a$個，赤球$1$個となるようにする．
(ii) 取り出した球が赤球のときは，その球を袋$\mathrm{U}$へ戻すことなく，袋$\mathrm{U}$の中身はそのままにする．
はじめに袋$\mathrm{U}$の中に，白球が$a+2$個，赤球が$1$個入っているとする．この袋$\mathrm{U}$に対して操作$(*)$を繰り返し行う．
たとえば，$1$回目の操作で白球が出たとすると，袋$\mathrm{U}$の中身は白球$a$個，赤球$1$個となり，さらに$2$回目の操作で赤球が出たとすると，袋$\mathrm{U}$の中身は白球$a$個のみとなる．
$n$回目に取り出した球が赤球である確率を$p_n$とする．ただし，袋$\mathrm{U}$の中の個々の球の取り出される確率は等しいものとする．
(1)$p_1,\ p_2$を求めよ．
(2)$n \geqq 3$に対して$p_n$を求めよ．
国立 横浜国立大学 2014年 第3問$r$を$0<r<1$をみたす定数とする．数列$\{a_n\}$に対して
\[ S_n=\sum_{k=1}^{n} (-1)^{k-1}r^{a_k} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
とする．次の問いに答えよ．ただし以下では，実数$x$に対して，$[x]$は$l \leqq x<l+1$をみたす整数$l$を表す．
(1)数列$\{a_n\}$を$\displaystyle a_n=\left[ \frac{n}{2} \right]$で定めるとき，$S_{2n}$を$r$と$n$の式で表せ．
(2)数列$\{a_n\}$を$\displaystyle a_n=\left[ \frac{n}{3} \right]$で定めるとき，$S_{3n}$を$r$と$n$の式で表せ．
(3)$a_1=0$，$a_n \leqq a_{n+1} \leqq a_n+1 (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$および$S_{2014}=0$をみたす数列$\{a_n\}$のうち，$\displaystyle \sum_{k=1}^{2014} r^{a_k}$を最小にする数列$\{a_n\}$の第$2014$項を求め，そのときの最小値を$r$の式で表せ．
\[ S_n=\sum_{k=1}^{n} (-1)^{k-1}r^{a_k} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
とする．次の問いに答えよ．ただし以下では，実数$x$に対して，$[x]$は$l \leqq x<l+1$をみたす整数$l$を表す．
(1)数列$\{a_n\}$を$\displaystyle a_n=\left[ \frac{n}{2} \right]$で定めるとき，$S_{2n}$を$r$と$n$の式で表せ．
(2)数列$\{a_n\}$を$\displaystyle a_n=\left[ \frac{n}{3} \right]$で定めるとき，$S_{3n}$を$r$と$n$の式で表せ．
(3)$a_1=0$，$a_n \leqq a_{n+1} \leqq a_n+1 (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$および$S_{2014}=0$をみたす数列$\{a_n\}$のうち，$\displaystyle \sum_{k=1}^{2014} r^{a_k}$を最小にする数列$\{a_n\}$の第$2014$項を求め，そのときの最小値を$r$の式で表せ．
国立 広島大学 2014年 第2問$a_1,\ a_2,\ a_3$は定数で，$a_1>0$とする．放物線$C:y=a_1x^2+a_2x+a_3$上の点$\mathrm{P}(2,\ 4a_1+2a_2+a_3)$における接線を$\ell$とし，$\ell$と$x$軸との交点を$\mathrm{Q}(q,\ 0)$，$\ell$と$y$軸との交点を$\mathrm{R}(0,\ a_4)$とする．$a_1$，$a_2$，$a_3$，$a_4$がこの順に等差数列であるとき，次の問いに答えよ．
(1)$a_2,\ a_3,\ a_4$を$a_1$を用いて表せ．
(2)$q$の値を求めよ．
(3)放物線$C$，接線$\ell$，および$y$軸で囲まれた部分の面積を$S$とする．$S=q$となるとき，$a_1$を求めよ．
(1)$a_2,\ a_3,\ a_4$を$a_1$を用いて表せ．
(2)$q$の値を求めよ．
(3)放物線$C$，接線$\ell$，および$y$軸で囲まれた部分の面積を$S$とする．$S=q$となるとき，$a_1$を求めよ．
国立 静岡大学 2014年 第4問$\alpha$を実数とする．$2$つの関数$f(x)=e^{-x}(\sin x-\cos x)$と$g(x)=\alpha e^{-x}$について，次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle \int f(x) \, dx=-e^{-x} \sin x+C$であることを示せ．ただし，$C$は積分定数である．
(2)すべての$x \geqq 0$について$f(x) \leqq g(x)$が成り立つような$\alpha$の値の最小値を求めよ．
(3)$\alpha$を$(2)$で求めた最小値とする．曲線$y=f(x) (x \geqq 0)$と曲線$y=g(x) (x \geqq 0)$との共有点の$x$座標を小さい方から順に$a_0,\ a_1,\ a_2,\ \cdots$とし，$n$が自然数であるとき，
\[ S_n=\int_{a_{n-1}}^{a_n} \left\{ g(x)-\frac{|f(x)|+f(x)}{2} \right\} \, dx \]
とする．このとき，$S_n$を求めよ．
(4)$(3)$で求めた$S_n$について，無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty S_n$の和を求めよ．
(1)$\displaystyle \int f(x) \, dx=-e^{-x} \sin x+C$であることを示せ．ただし，$C$は積分定数である．
(2)すべての$x \geqq 0$について$f(x) \leqq g(x)$が成り立つような$\alpha$の値の最小値を求めよ．
(3)$\alpha$を$(2)$で求めた最小値とする．曲線$y=f(x) (x \geqq 0)$と曲線$y=g(x) (x \geqq 0)$との共有点の$x$座標を小さい方から順に$a_0,\ a_1,\ a_2,\ \cdots$とし，$n$が自然数であるとき，
\[ S_n=\int_{a_{n-1}}^{a_n} \left\{ g(x)-\frac{|f(x)|+f(x)}{2} \right\} \, dx \]
とする．このとき，$S_n$を求めよ．
(4)$(3)$で求めた$S_n$について，無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty S_n$の和を求めよ．
国立 名古屋大学 2014年 第3問$xy$平面の$y \geqq 0$の部分にあり，$x$軸に接する円の列$C_1,\ C_2,\ C_3,\ \cdots$を次のように定める．
\begin{itemize}
$C_1$と$C_2$は半径$1$の円で，互いに外接する．
正の整数$n$に対し，$C_{n+2}$は$C_n$と$C_{n+1}$に外接し，$C_n$と$C_{n+1}$の弧および$x$軸で囲まれる部分にある．
\end{itemize}
円$C_n$の半径を$r_n$とする．
(1)等式$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{r_{n+2}}}=\frac{1}{\sqrt{r_n}}+\frac{1}{\sqrt{r_{n+1}}}$を示せ．
(2)すべての正の整数$n$に対して$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{r_n}}=s \alpha^n+t \beta^n$が成り立つように，$n$によらない定数$\alpha,\ \beta,\ s,\ t$の値を一組与えよ．
(3)$n \to \infty$のとき数列$\displaystyle \left\{ \frac{r_n}{k^n} \right\}$が正の値に収束するように実数$k$の値を定め，そのときの極限値を求めよ．
\begin{itemize}
$C_1$と$C_2$は半径$1$の円で，互いに外接する．
正の整数$n$に対し，$C_{n+2}$は$C_n$と$C_{n+1}$に外接し，$C_n$と$C_{n+1}$の弧および$x$軸で囲まれる部分にある．
\end{itemize}
円$C_n$の半径を$r_n$とする．
(1)等式$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{r_{n+2}}}=\frac{1}{\sqrt{r_n}}+\frac{1}{\sqrt{r_{n+1}}}$を示せ．
(2)すべての正の整数$n$に対して$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{r_n}}=s \alpha^n+t \beta^n$が成り立つように，$n$によらない定数$\alpha,\ \beta,\ s,\ t$の値を一組与えよ．
(3)$n \to \infty$のとき数列$\displaystyle \left\{ \frac{r_n}{k^n} \right\}$が正の値に収束するように実数$k$の値を定め，そのときの極限値を求めよ．
国立 大阪大学 2014年 第1問$i$は虚数単位とし，実数$a,\ b$は$a^2+b^2>0$を満たす定数とする．複素数$(a+bi)(x+yi)$の実部が$2$に等しいような座標平面上の点$(x,\ y)$全体の集合を$L_1$とし，また$(a+bi)(x+yi)$の虚部が$-3$に等しいような座標平面上の点$(x,\ y)$全体の集合を$L_2$とする．
(1)$L_1$と$L_2$はともに直線であることを示せ．
(2)$L_1$と$L_2$は互いに垂直であることを示せ．
(3)$L_1$と$L_2$の交点を求めよ．
(1)$L_1$と$L_2$はともに直線であることを示せ．
(2)$L_1$と$L_2$は互いに垂直であることを示せ．
(3)$L_1$と$L_2$の交点を求めよ．
国立 東京工業大学 2014年 第4問点$\mathrm{P}(t,\ s)$が$s=\sqrt{2}t^2-2t$を満たしながら$xy$平面上を動くときに，点$\mathrm{P}$を原点を中心として$45^\circ$回転した点$\mathrm{Q}$の軌跡として得られる曲線を$C$とする．さらに，曲線$C$と$x$軸で囲まれた図形を$D$とする．
(1)点$\mathrm{Q}(x,\ y)$の座標を$t$を用いて表せ．
(2)直線$y=a$と曲線$C$がただ$1$つの共有点を持つような定数$a$の値を求めよ．
(3)図形$D$を$y$軸のまわりに$1$回転して得られる回転体の体積$V$を求めよ．
(1)点$\mathrm{Q}(x,\ y)$の座標を$t$を用いて表せ．
(2)直線$y=a$と曲線$C$がただ$1$つの共有点を持つような定数$a$の値を求めよ．
(3)図形$D$を$y$軸のまわりに$1$回転して得られる回転体の体積$V$を求めよ．