$a,\ b,\ p,\ q$を実数の定数（ただし$a<b$）とする．$2$次方程式
\[ (*) \quad x^2-px+q=0 \]
について以下の問いに答えよ．

(1)$(*)$が実数解をもち，それらがともに$a$以上$b$以下であるための必要十分条件を$p,\ q$についての連立不等式で表せ．
(2)$(1)$で導いた$p,\ q$についての連立不等式を満たす座標平面上の点$(p,\ q)$全体の集合を$D$とするとき，$a,\ b$を用いて$D$の面積を表せ．

$xy$平面上の原点$\mathrm{O}$と$3$次関数$f(x)=x^3-6x^2+15x$と$1$次関数$g(x)=3ax$を考える．ただし，$a$は定数である．また，関数$y=f(x)$のグラフで$x \geqq 0$を満たす部分を曲線$C$とする．曲線$y=f(x)$上の点を$\mathrm{P}(p,\ f(p))$とし，点$\mathrm{P}$における曲線$y=f(x)$の接線を$\ell$とする．ただし，$p \geqq 0$を満たす．以下の問題に答えよ．

(1)関数$f(x)$が単調に増加することを示せ．
(2)直線$\ell$の傾きが最小となるとき，$p$の値と直線$\ell$の式を求めよ．
(3)関数$y=g(x)$のグラフが曲線$C$と異なる$3$点で交わるとき，$a$の値の範囲を求めよ．
(4)$a$の値は$(3)$で求めた範囲を満たすとする．$x \geqq 0$の範囲で関数$f(x)-g(x)$が最小となるとき，$x$を$a$を用いて表せ．
(5)点$\mathrm{P}$が原点$\mathrm{O}$と一致する場合に，接線$\ell$が曲線$C$と原点以外で交わる点を$\mathrm{Q}$とおき，曲線$C$上において原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{Q}$の間に点$\mathrm{R}$をとる．$\triangle \mathrm{ORQ}$の面積が最大となるとき，点$\mathrm{R}$の座標と$\triangle \mathrm{ORQ}$の面積を求めよ．

次の$(1)$～$(6)$の中から$4$つを選択し解答しなさい．

(1)$403a^4-2015a^2+1612$を因数分解しなさい．
(2)$\displaystyle \frac{1}{2}x-y=-4$，$ax-y=14$，$3x+y=46$が点$\mathrm{P}$で交わるとき，点$\mathrm{P}$の座標と定数$a$の値を求めなさい．
(3)$\sqrt{n^2+35}$が自然数となるような自然数$n$をすべて求めなさい．
(4)$3$点$\mathrm{A}(-2,\ -2)$，$\mathrm{B}(1,\ 5)$，$\mathrm{C}(3,\ 1)$を頂点とする三角形の面積を求めなさい．
(5)$12$人の学生を$4$人ずつ$3$グループに分ける分け方は何通りあるか答えなさい．
(6)$\triangle \mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{AC}$を$3:2$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．直線$\mathrm{PQ}$と辺$\mathrm{BC}$の延長が交わる点を$\mathrm{R}$とするとき，$\mathrm{PR}:\mathrm{RQ}$を求めなさい．

以下の問いの空欄$[サ]$～$[ヌ]$に入れるのに適する数値，式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

(1)整式$P(x)$を$x^2-1$で割ると$1$余り，$x^2+4x+4$で割ると$x+6$余る．$P(x)$を$x^2+x-2$で割ったときの余りを$ax+b$とする．このとき，定数$a,\ b$の値は$a=[サ]$，$b=[シ]$となる．
(2)点$(1,\ 2)$に関して，円$x^2+y^2-8x+10y+k=0$と対称な円が原点を通るように定数$k$を定めると，$k=[ス]$となり，対称な円の中心は$([セ],\ [ソ])$となる．
(3)$\displaystyle \sin \theta-\cos \theta=\frac{1}{2}$のとき，$\sin 2\theta$の値は$[タ]$となり，$\cos^3 \theta-\sin^3 \theta$の値は$[チ]$となる．
(4)$3 \leqq x \leqq 81$のとき，関数$y=(\log_3 x)^2-\log_3 x^4+5$の最大値と最小値を求めると，$x=[ツ]$のときに最大値$[テ]$をとり，$x=[ト]$のときに最小値$[ナ]$をとる．
(5)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が，$S_n=n^2+8n$で表されるとき，初項$a_1$は$[ニ]$であり，一般項$a_n$は$[ヌ]$である．

$k$は定数とし，$k>0$とする．関数
\[ f(x)=(x+1)^3-\frac{3}{2}k(x+1)^2+2 \]
について次の各問に答えよ．

(1)$f(x)$の極大値および極小値と，そのときの$x$の値を求めよ．
(2)すべての$x \geqq 0$に対して，$f(x) \geqq 0$が成り立つ$k$の値の範囲を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$m$を整数とし，不定積分
\[ I=\int x^m \log x \, dx \]
を計算せよ．ただし，積分定数は省略してよい．
(2)$n$を$3$以上の自然数とする．正$n$角形の頂点から相異なる$3$点を選んで三角形を作るとき，その三角形が二等辺三角形となる場合の数を$a_n$とする．

(i) $a_6,\ a_7$をそれぞれ求めよ．
(ii) 自然数$k$に対して，$a_{6k},\ a_{6k+1}$をそれぞれ$k$を用いて表せ．

$p,\ q$は実数の定数で，$0<p<1$，$q>0$をみたすとする．関数
\[ f(x)=(1-p)x+(1-x)(1-e^{-qx}) \]
を考える．

以下の問いに答えよ．必要であれば，不等式$1+x \leqq e^x$がすべての実数$x$に対して成り立つことを証明なしに用いてよい．

(1)$0<x<1$のとき，$0<f(x)<1$であることを示せ．
(2)$x_0$は$0<x_0<1$をみたす実数とする．数列$\{x_n\}$の各項$x_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を，
\[ x_n=f(x_{n-1}) \]
によって順次定める．$p>q$であるとき，
\[ \lim_{n \to \infty}x_n=0 \]
となることを示せ．
(3)$p<q$であるとき，
\[ c=f(c),\quad 0<c<1 \]
をみたす実数$c$が存在することを示せ．

以下の問いに答えよ．

(1)$t$を実数の定数とする．実数全体を定義域とする関数$f(x)$を
\[ f(x)=-2x^2+8tx-12x+t^3-17t^2+39t-18 \]
と定める．このとき，関数$f(x)$の最大値を$t$を用いて表せ．
(2)$(1)$の「関数$f(x)$の最大値」を$g(t)$とする．$t$が$\displaystyle t \geqq -\frac{1}{\sqrt{2}}$の範囲を動くとき，$g(t)$の最小値を求めよ．

$r$を$0<r<1$をみたす定数とする．次の問いに答えよ．

(1)数列$\{a_n\}$を$\displaystyle a_n=\left[ \frac{n}{3} \right]$で定める．ただし，実数$x$に対して，$[x]$は$l \leqq x<l+1$をみたす整数$l$を表す．このとき，
\[ \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{3n} (-1)^{k-1}r^{a_k} \]
を求めよ．
(2)数列$\{b_n\}$を
\[ \begin{array}{ll}
n \text{が奇数のとき} & b_n=n \\
n \text{が偶数のとき} & b_n=2n
\end{array} \]
で定める．このとき，
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{2n} (-1)^{k-1}r^{\frac{b_k}{n}} \]
を求めよ．

実数の定数$a,\ b$に対して，関数$f(x)$を
\[ f(x)=\frac{ax+b}{x^2+x+1} \]
で定める．すべての実数$x$で不等式
\[ f(x) \leqq f(x)^3-2f(x)^2+2 \]
が成り立つような点$(a,\ b)$の範囲を図示せよ．