$x$についての方程式
\[ \log_2 x=\log_4 (8x-a-6) \]
が異なる$2$つの実数解を持つとき，定数$a$の値の範囲を求めよ．

$xy$平面上の直線$y=ax$を$L$とし，曲線$y=xe^x$を$C$とする．このとき，以下の設問に答えよ．

(1)$L$と$C$が異なる$2$点で交わるとき，定数$a$の値の範囲を求めよ．
(2)$x<0$の範囲で$L$と$C$が交わるとき，$L$と$C$で囲まれた図形の面積を$a$で表せ．

$a$を$a>1$となる定数とするとき，定積分
\[ S=\int_0^2 |x^2-3ax+2a^2| \, dx \]
の値を求めると，
\[ \left\{ \begin{array}{l}
\text{$1<a \leqq [エ]$のとき，$S=[オ]$であり，} \\
\text{$[エ]<a$のとき，$S=[カ]$である．} \phantom{\displaystyle\frac{\mkakko{}}{2}}
\end{array} \right. \]

数列$\{a_n\}$を$a_n=2^{n+1}-3 (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定める．このとき，定積分
\[ I_n=\int_{a_n}^{a_{n+1}} \{ \log (x+3)-n \log 2 \} \, dx \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
について，次の問に答えよ．

(1)$a_{n+1}=\alpha a_n+\beta (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が成り立つように，定数$\alpha,\ \beta$の値を定めよ．
(2)$x=\alpha t+\beta$と置くことにより，$I_{n+1}=\alpha I_n$が成り立つことを示せ．
(3)$I_1$を求めよ．
(4)$I_n$を求めよ．

$2$次関数$y=x^2-mx+m^2-3m$のグラフを$C$とするとき，次の問いに答えよ．ただし，$m$は定数である．

(1)$C$の頂点の座標を求めよ．
(2)$x$軸と$C$との共有点が$1$点$\mathrm{P}$だけであるとき，$m$の値と点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(3)$x$軸の$x \geqq 1$の部分と$C$とが，異なる$2$点で交わるような$m$の値の範囲を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)関数$f(x)=(1-3 \sin^2 x) \cos x-1$について，$t=\cos x$とおくとき$f(x)$を$t$で表せ．
(2)関数$f(x)$の最大値$M$を求めよ．
(3)$a$を正の定数とする．関数$g(x)=(1-a \sin^2 x) \cos x-1$の最大値が$(2)$で求めた$M$に等しいとき，定数$a$の値の範囲を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)不等式$|3-2x|<1$を解け．
(2)次の等式が$x$についての恒等式となるように，定数$a,\ b$の値を定めよ．
\[ \frac{2x-18}{(x+3)(x-5)}=\frac{a}{x+3}+\frac{b}{x-5} \]
(3)和$\displaystyle \sum_{k=1}^n 2k(3k-1)$を求めよ．

放物線$y=x^2+6x+5$と直線$y=2x+k$が異なる$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$で交わり，線分$\mathrm{AB}$の長さが$2 \sqrt{2}$であるとき，定数$k$の値は$\displaystyle \frac{[ア]}{[イ]}$である．

$n$を自然数とする．関数$f(x)$を$\displaystyle f(x)=\lim_{n \to \infty} \frac{a+x^2+x^{2n}-x^{2n+2}}{12+x^{2n}}$と定めるとき，$f(x)$が実数全体で連続となるような定数$a$の値は$[ケコ]$である．

以下の問に答えよ．

(1)関数$f(x)=x^3+ax^2+bx+c$は，$x=3$で極小値$-1$をとり，$x=1$で極大値をとる．このとき，$a=[ニヌ]$，$b=[ネ]$，$c=[ノハ]$であり，極大値は$[ヒ]$である．
(2)関数$g(x)=x^3-ax^2+3ax+4a^2$が極値をとらないとき，定数$a$のとりうる値の範囲は，$[フ] \leqq a \leqq [ヘ]$である．