放物線$y=x^2+ax+b$と$x$軸との交点の座標は$(\sin \theta,\ 0)$，$(\sqrt{3} \cos \theta,\ 0)$である．この放物線と$x$軸とで囲まれる部分の面積を$S$とするとき，次の問いに答えよ．ただし，$a,\ b$は定数とし，$\displaystyle \frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \pi$とする．

(1)$a,\ b$を$\theta$を用いて表せ．
(2)$a=0$のとき，$S$の値を求めよ．
(3)$S$の最大値を求めよ．

次の設問の空欄を，あてはまる数値や記号，式などで埋めなさい．

(1)$a$を正の定数とするとき，方程式$x^2-y^2+ax-y+2=0$が$2$直線を表すとする．$a=[$1$]$のとき，$2$直線の方程式はそれぞれ$[$2$]$，$[$3$]$となる．ただし，$[$2$]$，$[$3$]$は解答の順序を問わない．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の各辺の長さを$\mathrm{AB}=c$，$\mathrm{BC}=a$，$\mathrm{CA}=b$とする．$a=2$，$b=3$のとき，$c$のとりうる値の範囲は$[$4$]$である．また，$\angle \mathrm{C}$の大きさが${90}^\circ$のとき，$c=[$5$]$となる．
(3)$a>0$かつ$a^{2p}=5$であるとき，$\displaystyle \frac{a^{2p}-a^{-2p}}{a^p+a^{-p}}$の値は$[$6$]$である．
(4)関数$y={(\log_3 x)}^2-\log_3 x^4+5 (1 \leqq x \leqq 27)$は，$x=[$7$]$で最大値$[$8$]$をとり，$x=[$9$]$で最小値$[$10$]$をとる．
(5)関数$f(x)$が等式$\displaystyle f(x)=2x^2+\int_{-2}^0 xf(t) \, dt+\int_0^2 f(t) \, dt$を満たすとき，$f(x)=[$11$]$である．
(6)男性$8$人，女性$10$人からなる企業があるとする．このとき，男性$2$人，女性$3$人の役員を選ぶ場合の数は$[$12$]$通りである．また，この$5$人の役員を選んだとき，役員から社長と副社長をそれぞれ$1$人選出する場合の数は$[$13$]$通りである．
(7)ベクトル$\overrightarrow{a}=(2,\ 1)$に垂直で，大きさが$\sqrt{5}$のベクトルは$2$つあり，それぞれを$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$とすると，$\overrightarrow{b}=([$14$])$，$\overrightarrow{c}=([$15$])$である．ただし，$[$14$]$，$[$15$]$は解答の順序を問わない．
(8)数列$4,\ 9,\ 16,\ 25,\ 36,\ \cdots$について考える．この数列の第$n$項を$a_n$で表すと，$a_n=[$16$]$となるので，初項から第$n$項までの和$S_n$は$S_n=[$17$]n^3+[$18$]n^2+[$19$]n$と表すことができる．

$0 \leqq x \leqq 2$の範囲において，つねに$x^2-2ax+a>0$が成り立つような定数$a$の値の範囲を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle x=\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{2}},\ y=\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}$のとき，
\[ xy=\frac{[ア]}{[イ]},\quad x+y=\frac{[ウ] \sqrt{[エ]}}{[オ]} \]
である．
(2)$a,\ b$を定数とする．不等式$x-2a \leqq 3x+b \leqq x+2$の解が$4 \leqq x \leqq 5$であるとき，$a=[カ]$，$b=[キク]$である．
(3)$2$次方程式$x^2-3x-5=0$の解を$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$とするとき，

$m \leqq \alpha<m+1$を満たす整数$m$の値は$m=[ケコ]$，
$n \leqq \beta<n+1$を満たす整数$n$の値は$n=[サ]$

である．
(4)$6$個の数字$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$を使ってできる$4$桁の整数のうち，$2$の倍数は$[シスセ]$個ある．ただし，同じ数字をくり返し使わないものとする．
(5)方程式$5x+7y=1 \cdots\cdots①$の整数解$x,\ y$を求める．
$5 \cdot 3+7 \cdot ([ソタ])=1 \cdots\cdots②$が成り立ち，$①,\ ②$から
\[ 5(x-3)+7(y+[チ])=0 \]
が成り立つ．よって，$x-3=[ツ]n$（$n$は整数）とおけるから，$①$のすべての整数解は
\[ x=[ツ]n+3,\quad y=[テト]n-[チ] \quad (n \text{は整数}) \]
と表せる．
(6)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{AC}=6$，$\displaystyle \cos A=\frac{9}{16}$であるとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$\displaystyle \frac{[アイ] \sqrt{[ウ]}}{[エ]}$であり，その内接円の半径は$\displaystyle \frac{\sqrt{[オ]}}{[カ]}$である．
(7)$\displaystyle \sin \theta+\cos \theta=\frac{2}{3} (0^\circ \leqq \theta \leqq {180}^\circ)$のとき，$\displaystyle \sin^2 \theta-\cos^2 \theta=\frac{[キ] \sqrt{[クケ]}}{[コ]}$である．
(8)箱の中に赤玉$1$個，黄玉$2$個，白玉$2$個の計$5$個の玉がある．この$5$個の玉から$1$個の玉を取り出し，その色を確認して元に戻す．この試行をくり返して，赤玉を取り出すか，または，黄玉を$2$回取り出したときに試行を終了するものとする．このとき，$3$回目の試行で終了する確率は$\displaystyle \frac{[サシ]}{[スセソ]}$である．

次の各問に答えよ．

(1)$\displaystyle \int_0^1 \frac{1}{x^2+1} \, dx=\frac{\pi}{[ア]}$である．
(2)$\displaystyle \frac{x^2+3x+7}{(x+2)(x^2+1)}=\frac{A}{x+2}+\frac{Bx+C}{x^2+1}$（$A,\ B,\ C$は定数）とおくと，$A=[イ]$，$B=[ウ]$，$C=[エ]$である．
(3)$\displaystyle \int_0^1 \frac{x^2+3x+7}{x^3+2x^2+x+2} \, dx=\frac{[オ]}{4} \pi+\log \frac{3}{[カ]}$である．ただし，対数は自然対数とする．

次の条件によって定められる関数$f_n(x) (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を考える．
\[ f_1(x)=(3x+5)e^{2x},\quad f_{n+1}(x)={f_n}^{\prime}(x) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]

(1)$f_2(x)=([ア]x+[イウ])e^{2x}$である．
(2)$f_n(x)=(a_nx+b_n)e^{2x}$（$a_n,\ b_n$は定数）とおくと，
\[ a_1=[エ],\quad b_1=[オ],\quad \left\{ \begin{array}{l}
a_{n+1}=[カ]a_n \\
b_{n+1}=a_n+[キ]b_n
\end{array} \right. \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
である．
(3)$a_n=[ク] \cdot {[ケ]}^{n-1} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$である．
(4)$\displaystyle c_n=\frac{b_n}{2^n}$とおくと，$\displaystyle c_{n+1}=c_n+\frac{[コ]}{[サ]} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$である．よって，$\displaystyle c_n=\frac{[シ]n+[ス]}{[セ]}$，つまり$b_n={[ソ]}^{n-2}([タ]n+[チ]) (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$である．ゆえに
\[ f_n(x)={[ツ]}^{n-2}([テ]x+[ト]n+[ナ])e^{2x} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
である．

次の各問に答えよ．

(1)$2$次方程式$3x^2+x+a=0$（$a$は定数）の解が$\sin \theta,\ \cos \theta$のとき，
\[ \sin^3 \theta+\cos^3 \theta=-\frac{[アイ]}{[ウエ]} \]
である．
(2)$2^x=3$，$3^y=5$，$xyz=3$のとき，$5^z=[オ]$である．
(3)関数$f(x)=(x-2)(x-1)(x+1)(x+2)$は，$0 \leqq x \leqq 2$の範囲において，$x=[カ]$で最大値$[キ]$をとり，$\displaystyle x=\sqrt{\frac{[ク]}{[ケ]}}$で最小値$\displaystyle -\frac{[コ]}{[サ]}$をとる．
(4)直線$y=mx+4$（$m$は正の定数）が円$x^2+y^2=36$によって切りとられる弦の長さが$4 \sqrt{6}$のとき，$\displaystyle m=\frac{\sqrt{[シ]}}{[ス]}$である．
(5)$x^6$を$x^2-x-3$で割ったときの余りは$[セソ]x+[タチ]$である．

次の$[　]$にあてはまる答を記せ．

(1)$k$を定数とするとき，方程式$\sqrt{4x-3}=x+k$の実数解の個数が$2$個となる$k$の値の範囲は$[ア]$，実数解の個数が$1$個となる$k$の値の範囲は$[イ]$である．また，曲線$y=\sqrt{4x-3}$と直線$y=x$で囲まれた部分を，$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積は$[ウ]$である．
(2)曲線$y=kx^3-1$と曲線$y=\log x$が共有点をもち，その点において共通の接線をもつとするとき，定数$k$の値は$[エ]$，共通の接線の方程式は$y=[オ]$である．
(3)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とするとき，$\{a_n\}$は
\[ a_1=1,\quad a_{n+1}=S_n+n^2+1 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を満たす．このとき，$a_4=[カ]$であり，$\{a_n\}$の一般項は$a_n=[キ]$である．また，$S_n=[ク]$である．
(4)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{AC}=4$，$\displaystyle \angle \mathrm{A}=\frac{\pi}{3}$である．$\triangle \mathrm{ABC}$の外心を$\mathrm{O}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$とおく．

(i) $\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径は$[ケ]$である．
(ii) $\overrightarrow{\mathrm{AO}}$を$\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{c}$を用いて表すと$\overrightarrow{\mathrm{AO}}=[コ] \overrightarrow{b}+[サ] \overrightarrow{c}$である．
(iii) 直線$\mathrm{BO}$と辺$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{P}$とするとき，$\mathrm{AP}:\mathrm{PC}$は$[シ]$である．

(5)$\mathrm{X}$君と$\mathrm{Y}$さんは，毎日正午に次の規則にしたがって食事をとる．

(i) 食堂$\mathrm{A}$，食堂$\mathrm{B}$，食堂$\mathrm{C}$のいずれかで食事をとる．
(ii) 食堂は前日とは異なる$2$つの食堂のうちの$1$つを無作為に選ぶ．
(iii) $2$人が同じ食堂を選んだ日は，必ず一緒に食事をとる．

$1$日目，$2$人は別々の食堂で食事をとったとする．このとき，$3$日目に初めて$2$人が一緒に食事をとる確率は$[ス]$である．また，$2$人が一緒に食事をとる$2$回目の日が$7$日目となる確率は$[セ]$である．

$k$は定数とする．楕円$\displaystyle \frac{x^2}{4}+y^2=1$と直線$x+\sqrt{3}=ky$の共有点を$\mathrm{P}$，$\mathrm{P}^\prime$とする．また楕円の$2$つの焦点を$\mathrm{F}(\sqrt{3},\ 0)$，$\mathrm{F}^\prime (-\sqrt{3},\ 0)$とする．

(1)$\triangle \mathrm{PP}^\prime \mathrm{F}$の面積を$k$を用いて表せ．
(2)$\triangle \mathrm{PP}^\prime \mathrm{F}$の内接円の半径を最大にする$k$の値を求めよ．

直線$y=-2x+b$と曲線$y=|x(x-4)|$が$x$軸上にない共有点をちょうど$3$個もつとき，定数$b$の値は$[エ]$であり，$3$個の共有点の座標は$[オ]$，$[カ]$および$[キ]$である．さらにこのとき，この曲線と直線で囲まれた図形の面積は$[ク]$である．