$[　]$内に$0$から$9$までの数字を$1$つずつ入れよ．

(1)$a$を正の定数とし，関数
\[ f(x)=\tan 2x \ \left( 0 \leqq x<\frac{\pi}{4} \right) \text{および} g(x)=a \cos x\ \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right) \]
に対して，曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$の交点の$x$座標を$\theta$とする．曲線$y=f(x)$と$x$軸，および直線$x=\theta$で囲まれた部分の面積$S$を考える．

(i) $a=[ア]$のとき，$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{6}$である．このとき$\displaystyle S=\frac{[イ]}{[ウ]} \times \log [エ]$である．
(ii) $a=\sqrt{[オ]}$のとき，$\displaystyle S=\frac{1}{2} \log \frac{\sqrt{7}+1}{2}$である．

ただし，正の数$A$に対して，$\log A$は$A$の自然対数を表す．
(2)$1$個のサイコロを投げ，その出た目によって，点$\mathrm{P}$を座標平面上で移動させる試行を繰り返す．
点$\mathrm{P}$の出発点$(x_0,\ y_0)$を原点$(0,\ 0)$とし，$1$回目の試行（移動）後の点$\mathrm{P}$の座標を$(x_1,\ y_1)$，$2$回目の試行（移動）後の点$\mathrm{P}$の座標を$(x_2,\ y_2)$，以下同様に$k$回目の試行（移動）後の点$\mathrm{P}$の座標を$(x_k,\ y_k)$とする．
座標$(x_k,\ y_k) (k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$は次のルールによって定める．
サイコロを$k$回目に投げたとき，出た目を$3$で割った商を$q$，余りを$r$として，$x_k$を次のように$q$によって定め，
\[ \left\{ \begin{array}{ll}
q=0 & \text{のとき}x_k=x_{k-1} \\
q=1 & \text{のとき}x_k=x_{k-1}+1 \\
q=2 & \text{のとき}x_k=x_{k-1}-1
\end{array} \right. \]
$y_k$を次のように$r$によって定める．
\[ \left\{ \begin{array}{ll}
r=0 & \text{のとき}y_k=y_{k-1} \\
r=1 & \text{のとき}y_k=y_{k-1}+1 \\
r=2 & \text{のとき}y_k=y_{k-1}-1
\end{array} \right. \]
ただし，サイコロを投げたとき，$1$から$6$の目がそれぞれ確率$\displaystyle \frac{1}{6}$で出るものとする．

(i) $(x_2,\ y_2)=(0,\ 0)$である確率は$\displaystyle \frac{[ア]}{[イ]}$であり，$(x_3,\ y_3)=(0,\ 0)$である確率は$\displaystyle \frac{[ウ]}{[エオ]}$である．
(ii) $x_k+y_k$が偶数である確率を$p_k$とすると，$\displaystyle p_1=\frac{[カ]}{[キ]}$であり，
\[ p_k=\frac{[ク]}{[ケ]} \cdot \left( -\frac{[コ]}{[サ]} \right)^k+\frac{[シ]}{[ス]} \quad (k=2,\ 3,\ 4,\ \cdots) \]
である．

(3)$1$辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{OA}$を$2:1$の比に内分する点を$\mathrm{P}$（$\mathrm{OP}:\mathrm{PA}=2:1$），辺$\mathrm{OC}$を$1:2$の比に内分する点を$\mathrm{Q}$（$\mathrm{OQ}:\mathrm{QC}=1:2$），辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とする．


(i) $\displaystyle \mathrm{MP}=\frac{\sqrt{[ア]}}{[イ]}$，$\displaystyle \mathrm{MQ}=\frac{\sqrt{[ウエ]}}{[オ]}$である．

(ii) 三角形$\mathrm{MPQ}$の面積は$\displaystyle \frac{[カ]}{[キク]} \times \sqrt{[ケコ]}$である．

(iii) 辺$\mathrm{BC}$上の$\displaystyle \mathrm{BR}=\frac{[サ]}{[シ]}$となる点$\mathrm{R}$は，$3$点$\mathrm{M}$，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$で定まる平面上にある．

$a>0$を定数とし，座標平面上の点$\mathrm{P}(p,\ 0)$から放物線$C:y=ax^2+2a$に$2$本の接線$\mathrm{PQ}_1$，$\mathrm{PQ}_2$を引く．ここで$\mathrm{Q}_1$，$\mathrm{Q}_2$は接点で，$\mathrm{Q}_1$の$x$座標$q_1$は$\mathrm{Q}_2$の$x$座標$q_2$より小さいとする．

(1)$q_1$と$q_2$を，$p$を用いて表せ．
(2)直線$\mathrm{Q}_1 \mathrm{Q}_2$の方程式を，$a$と$p$を用いて表せ．
(3)$S_1$を直線$\mathrm{Q}_1 \mathrm{Q}_2$と曲線$C$で囲まれた部分の面積，$S_2$を曲線$C$と線分$\mathrm{PQ}_1$，$\mathrm{PQ}_2$で囲まれた部分の面積とする．$S_1$と$S_2$を，$a$と$p$を用いて表し，$\displaystyle \frac{S_1}{S_2}$の値を求めよ．
(4)$\mathrm{PQ}_1 \perp \mathrm{PQ}_2$となるとき，$a$の値を求めよ．

不等式$\displaystyle \frac{x}{x-1} \geqq 0$を満たす実数$x$の範囲を定義域とする関数
\[ f(x)=3x \sqrt{\frac{x}{x-1}} \]
について，以下の問いに答えよ．

(1)関数$f(x)$の定義域を求めよ．
(2)$\displaystyle a_1=\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}$，$\displaystyle a_2=\lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{x}$とする．$a_1$，$a_2$の値を求めよ．
(3)$(2)$の$a_1,\ a_2$に対して，$\displaystyle b_1=\lim_{x \to \infty}(f(x)-a_1x)$，$\displaystyle b_2=\lim_{x \to -\infty}(f(x)-a_2x)$とする．$b_1$，$b_2$の値を求めよ．
(4)関数$f(x)$の極小値を求めよ．
(5)曲線$y=f(x)$の漸近線の方程式を求めよ．
(6)$k$を定数とするとき，方程式$f(x)=k$の実数解の個数を求めよ．

定数$a$に対し，
\[ f(x)=a \sin 2x-\tan x \quad \left( 0 \leqq x<\frac{\pi}{2} \right) \]
とおく．

(1)$\displaystyle a>\frac{1}{2}$であるとする．実数$\theta$を，$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$かつ$f(\theta)=0$を満たすものとするとき，$\cos \theta$を$a$を用いて表せ．
(2)不定積分
\[ \int f(x) \, dx \]
を求めよ．
(3)$\displaystyle \frac{1}{2}<a<1$であるとする．このとき，
\[ \int_0^{\frac{\pi}{4}} |f(x)| \, dx+\log a \]
を$a$の$1$次式で表せ．ただし，$\log$は自然対数を表す．

次の各問に答えよ．

(1)整式$P(x)$を$(x-1)(x-4)$で割ると余りは$43x-35$であり，$(x-2)(x-3)$で割ると余りは$39x-55$であるという．このとき，$P(x)$を
\[ (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) \]
で割ったときの余りを求めよ．
(2)座標平面に$4$点$\mathrm{A}(1,\ 1)$，$\mathrm{B}(1,\ -1)$，$\mathrm{C}(-1,\ 1)$，$\mathrm{D}(-1,\ -1)$がある．実数$x$が$0 \leqq x \leqq 1$の範囲にあるとき，$2$点$\mathrm{P}(x,\ 0)$，$\mathrm{Q}(-x,\ 0)$を考える．このとき，$5$本の線分の長さの和
\[ \mathrm{AP}+\mathrm{BP}+\mathrm{PQ}+\mathrm{CQ}+\mathrm{DQ} \]
が最小となるような$x$の値を求めよ．ただし，$x=0$のときは$\mathrm{PQ}=0$とする．
(3)$1$から$10$までの自然数からなる集合$\{1,\ 2,\ \cdots,\ 10\}$の中から異なる$3$つの数を選ぶとする．このとき，選んだ数の和が$3$で割り切れる確率を求めよ．
(4)座標平面において楕円$\displaystyle E:\frac{x^2}{a}+y^2=1$を考える．ただし，$a$は$a>0$をみたす定数とする．楕円$E$上の点$\mathrm{A}(0,\ 1)$を中心とする円$C$が，次の$2$つの条件をみたしているとする．

(i) 楕円$E$は円$C$とその内部に含まれ，$E$と$C$は$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$で接する．
(ii) $\triangle \mathrm{APQ}$は正三角形である．

このとき，$a$の値を求めよ．

$2$つの直線$y=kx$と$\displaystyle y=-\frac{1}{k}x$に同時に接する円$\mathrm{O}$の中心の座標を$(a,\ b)$とおく．ただし，$k$は定数で，$0<k<1$とし，$a>0$，$b>0$とする．次の問に答えよ．

(1)$\displaystyle \frac{b}{a}$を$k$を用いて表せ．
(2)円$\mathrm{O}$の半径$r$を$a$および$k$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle k=\frac{1}{3}$とする．円$\mathrm{O}$が点$(p,\ p)$を通るとき，中心の座標$(a,\ b)$を$p$を用いて表せ．ただし，$p$は定数で，$p>0$とする．

平面上に長さ$1$のベクトル$\overrightarrow{n}$がある．また，$a$は$a>1$をみたす定数とする．平面上のベクトル$\overrightarrow{x}$に対して，ベクトル$\overrightarrow{y}$を
\[ \overrightarrow{y}=\overrightarrow{x}-a(\overrightarrow{x} \cdot \overrightarrow{n}) \overrightarrow{n} \]
により定める．ただし，$\overrightarrow{x} \cdot \overrightarrow{n}$はベクトルの内積を意味し，$a(\overrightarrow{x} \cdot \overrightarrow{n})$はその$a$倍の実数を表している．

(1)すべてのベクトル$\overrightarrow{x}$に対して$|\overrightarrow{x}|=|\overrightarrow{y}|$が成り立つための必要十分条件は，$a=2$であることを示せ．
(2)$\overrightarrow{x} \neq \overrightarrow{\mathrm{0}}$とする．$\overrightarrow{x}$と$\overrightarrow{n}$のなす角を$\theta$とし，$\overrightarrow{y}$と$\overrightarrow{n}$のなす角を$\phi$とする．このとき，$a$と$\cos \theta$を用いて$\cos \phi$を表せ．

次の問いに答えよ．

(1)$\cos 3 \theta$を$\cos \theta$のみの式で表せ．
(2)次の$(ⅰ),\ (ⅱ)$に答えよ．

(i) $3$次関数$\displaystyle f(x)=x^3-\frac{3}{4}x$について増減表を書き，$y=f(x)$のグラフの概形を描け．
(ii) $y=f(x)$のグラフと直線$y=k$が共有点を$2$つまたは$3$つもつような定数$k$の値の範囲を求めよ．
また，$k$がこの範囲を動くとき，共有点の$x$座標のとる値の範囲を求めよ．

(3)$3$次方程式$\displaystyle x^3-\frac{3}{4}x-\frac{1}{8}=0$の解を$x=\cos \theta (0 \leqq \theta \leqq \pi)$とおくとき，$\theta$の値を求めよ．

定義域を$-2 \leqq x \leqq 3$とする放物線$y=ax^2+2ax+b$がある．ただし，その形は下に凸であるとする．以下の問に答えよ．

(1)この関数の最大値が$6$，最小値が$-2$であるとき，定数$a,\ b$の値を求めよ．
(2)$(1)$で求めた放物線を原点に関して対称移動したあとの放物線の式を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$9$人が無記名で$3$人$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$のうちの$1$人に必ず投票するとき，開票結果は何通りあるか求めよ．
(2)$y=\sin 2x$のグラフを$x$軸方向へ$a$だけ，$y$軸方向へ$b$だけ平行移動したら，$\displaystyle y=-\cos \left( 2x+\frac{\pi}{3} \right)-2$のグラフと一致した．定数$a,\ b$の値を求めよ．ただし，$0 \leqq a \leqq \pi$とする．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の辺上に点$\mathrm{P}$がある．$\mathrm{A}(-8,\ 2)$，$\mathrm{B}(2,\ -3)$，$\mathrm{C}(2,\ 2)$のとき，原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$と点$\mathrm{P}$との距離の最小値を求めよ．