$a,\ b$は定数であり，$0<a<b$とする．定積分
\[ I=\int_0^1 a^{1-t}b^t \, dt \]
について，次の問に答えよ．

(1)$I$を求めよ．
(2)$0 \leqq t \leqq 1$のとき，
\[ a^{1-t}b^t+a^tb^{1-t} \geqq 2 \sqrt{ab} \]
であることを示せ．また，$I>\sqrt{ab}$を示せ．
(3)$0<t<1$とする．$x>1$のとき，次の不等式が成り立つことを証明せよ．
\[ x^t<1+t(x-1) \]
(4)$(3)$の不等式を利用して，$\displaystyle I<\frac{a+b}{2}$を示せ．

直線$\ell:y=ax+b$と曲線$C:y=\log x (x>0)$は接するものとする．ただし，$a,\ b$は定数であり，$a>0$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$b$を$a$を用いて表せ．
(2)$\ell$と$C$および$x$軸で囲まれた図形の面積を$S$とする．$0<a<1$のとき，$S$を$a$を用いて表せ．

以下の問に答えよ．

(1)$a^5-12a^4+36a^3-81a+1,\ a^2-6a$が共に有理数となるような無理数$a$を求めよ．
(2)$a_1=1$，$a_2=e$，$a_{n+2}=a_n^{-2}a_{n+1}^3 (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$という条件で決まる数列$\{a_n\}$の第$n$項を求めよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．
(3)$f(4)=k_1$，$f^\prime(4)=k_2$を満たすどんな関数$f(x)$についても，
\[ \lim_{x \to 0} \frac{4f((x+2)^2)-(x+2)^2f(4)}{x}=\alpha k_1+\beta k_2 \]
となる．このとき，定数$\alpha,\ \beta$はそれぞれいくらか．

スイッチを押すと，$0$から$n$までの整数が$1$つ表示される機械がある．表示される数字を$X$とすると，$X=k$となる確率$P(X=k)=C \alpha^k (k=0,\ 1,\ 2,\ \cdots,\ n)$である．ただし，$C$は定数，$0<\alpha<1$である．

(1)$P(X=k)$を$\alpha$と$k$で表せ（$k=0,\ 1,\ 2,\ \cdots,\ n$）．
(2)$P(X<k)>1-\alpha^k$であることを示せ（$k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ n+1$）．
(3)確率$p$で$1$点もらえ，確率$1-p$で得点がもらえない試行を考える（$0<p<1$）．この試行を独立に$m$回行ったとき，$l$点（$0 \leqq l \leqq m$）もらえる確率を$Q_{m,l}(p)$と表す．このとき，$m,\ l$を一定とし，$p$を変数とみなして以下の問に答えよ．

(i) $y=\log Q_{m,l}(p)$はどのような変化をするか．$p$を横軸，$y$を縦軸とする$y$のグラフの概形を描け．ただし，$\log$は自然対数である．
(ii) $Q_{m,l}(p)$を最大にする$p$を求めよ．

(4)$\displaystyle \alpha=\frac{1}{2}$とする．このとき，$Q_{2m,m}(P(X<k))$を最大にする$k (k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ n)$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$r>0$を定数とする．点$(x,\ y)$が楕円$4x^2+y^2=r^2$上を動くとき，$6x+4y$のとり得る値の範囲を求めよ．
(2)$x,\ y$がすべての実数値をとるとき，$\displaystyle \frac{6x+4y+5}{4x^2+y^2+15}$の最大値と最小値を求めよ．

$a,\ b,\ c$を正の定数とし，$3$点$\mathrm{A}(a,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ b,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ c)$の定める平面を$\alpha$とする．また，原点を$\mathrm{O}$とし，平面$\alpha$に垂直な単位ベクトルを$\overrightarrow{n}=(n_1,\ n_2,\ n_3)$とする．ただし，$n_1>0$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$\overrightarrow{n}$を求めよ．
(2)平面$\alpha$上に点$\mathrm{H}$があり，直線$\mathrm{OH}$は$\alpha$に垂直であるとする．$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$および$|\overrightarrow{\mathrm{OH}}|$を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を$S$，$\triangle \mathrm{OBC}$の面積を$S_1$とする．四面体$\mathrm{OABC}$の体積を考えることにより，$S_1=n_1S$であることを示せ．

$a$を定数とし，関数
\[ f(\theta)=\sin^3 \theta+a \cos 2\theta+\frac{21}{4} \sin \theta \]
は$\displaystyle f \left( \frac{\pi}{2} \right)=\frac{13}{4}$を満たすものとする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$a$の値を求めよ．
(2)$t=\sin \theta$とおくとき，$f(\theta)$を$t$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$における$f(\theta)$の最大値，最小値を求めよ．また，そのときの$\theta$の値を求めよ．

$xy$平面において，曲線$C:x^2+y^2=1 (x \geqq 0,\ y \geqq 0)$，および直線$\ell:y=(\tan \theta)x$を考える．ただし，$\theta$は$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$をみたす定数とする．$S_1,\ S_2,\ S_3$を次によって定める．

$S_1:$ $y$軸，曲線$C$，直線$\ell$で囲まれた部分の面積
$S_2:$ $x$軸，曲線$C$，直線$x=\cos \theta$で囲まれた部分の面積
$S_3:$ $x$軸，直線$\ell$，直線$x=\cos \theta$で囲まれた部分の面積

次の問いに答えよ．

(1)$S_1$および$S_2$を$\theta$を用いて表せ．
(2)$S_1=S_2$となる$\theta$が存在することを示せ．
(3)$S_1=S_2=S_3$となる$\theta$は存在しないことを示せ．

次の問いに答えよ．

(1)${(x-3y+2z)}^7$の展開式における$x^4y^2z$の項の係数を求めよ．
(2)$a$を定数とし，$0<a<1$とする．不等式
\[ \log_a (a-x-y)>\log_ax+\log_ay \]
が表す領域を図示せよ．
(3)$n$は$3$以上の自然数とする．数学的帰納法によって，次の不等式を証明せよ．
\[ 2^n>\frac{1}{2}n^2+n \]

次の問いに答えよ．

(1)$x$がすべての実数を動くとき，$2^x+2^{-x}$の最小値を$m$とする．次の（ア），（イ）に答えよ．

\mon[（ア）] $m$の値を求め，$2^x+2^{-x}=m$を満たす$x$を求めよ．
\mon[（イ）] $k>m$のとき，$2^x+2^{-x}=k$を満たす$x$をすべて求めよ．

(2)$a$を定数とし，$1<a \leqq 2$とする．方程式
\[ 4^x+4^{-x}-3a \cdot 2^x-3a \cdot 2^{-x}+2(a^2+1)=0 \]
が異なる$3$つの実数解をもつとき，その$3$つの実数解をすべて求めよ．