関数$f(x)=x^2-1$と$g(x)=2a-f(x)$がある．ただし，$a$は定数とする．

(1)方程式$f(x)-g(x)=0$が異なる$2$つの実数解を持ち，かつ，それらが$-1$より大きいとき，$a$の値の範囲を求めよ．また，このとき，方程式$f(x)-g(x)=0$の解を求めよ．
(2)$a$が$(1)$で求めた範囲にあるとし，座標平面上に$y=f(x)$のグラフと$y=g(x)$のグラフがあるとする．

\mon[$(2$-$1)$] $y=f(x)$のグラフと$y=g(x)$のグラフとで囲まれる部分の面積$S_1$を$a$を用いて表せ．
\mon[$(2$-$2)$] $y=f(x)$のグラフと$y=g(x)$のグラフの共有点のうち，$x$座標が負である共有点を$\mathrm{P}$とする．このとき，直線$x=-1$，$\mathrm{P}$を通り$y$軸に平行な直線，$y=f(x)$のグラフ，および，$y=g(x)$のグラフとで囲まれる部分の面積$S_2$を$a$を用いて表せ．
\mon[$(2$-$3)$] 面積の和$S=S_1+S_2$を$a$を用いて表せ．
\mon[$(2$-$4)$] $(1)$で求めた範囲内で$a$を変化させたとき，$S$の最小値とその最小値を与える$a$の値を求めよ．

$2$次不等式$x^2-11x+28<0$を満たす実数$x$の集合を$A$，$x^2-(a+2)x+2a<0$を満たす実数$x$の集合を$B$とする．ここで，$a$は定数で，$a>2$とする．また，$\phi$を空集合，実数全体の集合$U$を全体集合とし，$A,\ B$の補集合を$\overline{A},\ \overline{B}$とする．以下の問に答えよ．

(1)次の不等式を解け．

\mon[$①$] $x^2-11x+28<0$
\mon[$②$] $x^2-(a+2)x+2a<0$

(2)$A \cap B=\phi$となるような$a$の値の範囲を求めよ．
(3)$A \cap B$が整数を$1$つだけ含むように$a$の値の範囲を定めよ．
(4)$\overline{A} \supset \overline{B}$となるような$a$の値の範囲を求めよ．
(5)$\overline{B} \supset A$となるような$a$の値の範囲を求めよ．
(6)$2$次不等式$3x^2-9x+2>0$を満たす実数$x$の集合を$C$とし，その補集合を$\overline{C}$とする．

\mon[$(6$-$1)$] $B \cap C=\phi$となるような$a$の値の範囲を求めよ．
\mon[$(6$-$2)$] $\overline{C}$の要素で，整数であるものをすべて求めよ．

$a$は正の定数で，$a>1$とする．次の問いに答えよ．

(1)不等式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
y \geqq x-a \\
y \leqq x(a-x)
\end{array} \right. \]
を満たす領域$D$を図示せよ．
(2)$(1)$で定まる領域$D$内の点$(x,\ y)$について，$x+y$の最大値と最小値を求めよ．

関数$f(x)=\log (\sin x+2) (0<x<2\pi)$について，次の問いに答えよ．

(1)$f(x)$の第$1$次導関数$f^\prime(x)$と第$2$次導関数$f^{\prime\prime}(x)$を求めよ．
(2)$f(x)$の極値を求めよ．
(3)$f(x)$の変曲点を求め，$y=f(x)$のグラフの概形を座標平面上にかけ．
(4)$k$を実数の定数とするとき，$0<x<2\pi$における$\log (\sin x+2)-k=0$の解の個数を調べよ．

$x$の関数$y=|e^{-x|-a}$に対して，次の問いに答えよ．ここで$a$は$-\infty<a<\infty$の範囲の定数とする．

(1)$e^{-1}<a<1$であるとき，$x$の関数$y=|e^{-x|-a}$のグラフの概形を座標平面上にかけ．
(2)$\displaystyle f(a)=\int_0^1 |e^{-x|-a} \, dx$とおく．$-\infty<a<\infty$であるとき，$f(a)$を$a$を用いて表せ．
(3)$a$が$-\infty<a<\infty$であるとき，$f(a)$の最小値を求めよ．

次の問いの答を記入せよ．

(1)$|\overrightarrow{a}|=3$，$|\overrightarrow{b}|=4$，$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=6$のとき，$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|$の値を求めよ．
(2)定義域が$0 \leqq x \leqq 3$である$2$次関数$y=-ax^2+2ax+b$の最大値が$3$で，最小値が$-5$であるとき，定数$a,\ b$の値を求めよ．ただし$a>0$とする．
(3)$\displaystyle \cos \theta=-\frac{\sqrt{3}}{2}$を満たす角$\theta$を求めよ．ただし，$0^\circ \leqq \theta \leqq {180}^\circ$とする．
(4)$3$つの数$x-2,\ x+1,\ x+7$がこの順で等比数列となるとき，$x$の値を求めよ．
(5)白玉$3$個，赤玉$2$個が入っている袋から玉を$1$個取り出し色を確認してからもとに戻す．この操作を$3$回続けて行う．$1$回目に白，$2$回目に赤，$3$回目に赤の玉が取り出される確率を求めよ．ただし，どの玉も取り出される確率は等しいとする．
(6)関数$y=x^3-12x$の区間$-1 \leqq x \leqq 3$における最大値と最小値を求めよ．
(7)次の条件を満たす関数$f(x)$を求めよ．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
f^\prime(x)=6x^2-2x+3 \\
f(1)=7
\end{array} \right. \]

$k$を実数の定数とするとき，下記の問いに答えなさい．

(1)$f(x)=2x^3+x^2-5x+3$，$g(x)=x^4+x^2-(k+1)x+k$とおく．$k$の値が変化するとき，曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$の共有点の個数を調べなさい．
(2)$x$についての方程式$\displaystyle 6 \tan x+\cos x-k \sin x=0 \left( 0<x<\frac{\pi}{2} \right)$を考える．$k$の値が変化するとき，実数解の個数が$2$個であるのは$[$1$]$のときである．また実数解の個数が$1$個であるのは$[$2$]$のときであり，実数解が存在しないのは$[$3$]$のときである．
$[$1$]$，$[$2$]$，$[$3$]$に該当する$k$の条件を答えなさい．

$2$つの曲線$y=e^x$と$y=a \sqrt{x}$の共有点が$1$個であるとき，次の問いに答えよ．

(1)定数$a$と共有点の座標を求めよ．
(2)この$2$つの曲線と$y$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．

$k$は実数の定数とする．実数$x,\ y$に対して，次の条件$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を考える．\\
\quad $\mathrm{P}:x \geqq 0$\quad かつ \quad $y \geqq 0$\\
\quad $\mathrm{Q}:-kx+y \geqq 0$\quad かつ \quad $14x-(k-5)y \geqq 0$\\
このとき，$\mathrm{P}$が$\mathrm{Q}$の十分条件となるための$k$の範囲は，$k \leqq [コ]$である．また，$\mathrm{P}$が$\mathrm{Q}$の必要条件となるための$k$の範囲は$[サ] \leqq k \leqq [シ]$である．

四面体$\mathrm{OABC}$において，線分$\mathrm{OA}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{P}$，線分$\mathrm{OB}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{Q}$，線分$\mathrm{BC}$を$4:1$に内分する点を$\mathrm{R}$とする．この四面体を$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$を通る平面で切り，この平面が線分$\mathrm{AC}$と交わる点を$\mathrm{S}$とするとき，線分の長さの比$\mathrm{AS}:\mathrm{SC}$を求めることを考えよう．\\
点$\mathrm{S}$は$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$を通る平面上にあるから，定数$s,\ t,\ u$を用いて，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OS}} = s \, \overrightarrow{\mathrm{OP}} + t \, \overrightarrow{\mathrm{OQ}} +u \, \overrightarrow{\mathrm{OR}} \quad (s+t+u=1) \]
と書くことができる．ここで，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OR}}=\frac{[ス]\overrightarrow{\mathrm{OB}}+[セ]\overrightarrow{\mathrm{OC}}}{[ソ]}$であるから，$\overrightarrow{\mathrm{OS}}$は$\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}}$それぞれの定数倍の和として表すことができる．そこで，$\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}}$の係数をそれぞれ定数$s^{\prime},\ t^{\prime},\ u^{\prime}$とおくことにより
\[ \overrightarrow{\mathrm{OS}} = s^{\prime}\overrightarrow{\mathrm{OA}} + t^{\prime}\overrightarrow{\mathrm{OB}} +u^{\prime}\overrightarrow{\mathrm{OC}} \quad (18s^{\prime}+16t^{\prime}+11u^{\prime}=[タ]) \]
と書くことができる．ところが，点$\mathrm{S}$は線分$\mathrm{AC}$上にあることから，$s^{\prime},\ t^{\prime}\ u^{\prime}$を求めることができ，$\mathrm{AS}:\mathrm{SC}=[チ]:[ツ]$であることがわかる．
ただし，$[ソ]$，$[チ]$，$[ツ]$はできる限り小さい自然数で答えること．