$[　]$の中に答を入れよ．

(1)$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$のとき，関数$y=\cos 2\theta-2 \sin \theta$の最大値とそのときの$\theta$の値を求めると$(y,\ \theta)=[ア]$であり，最小値とそのときの$\theta$の値を求めると$(y,\ \theta)=[イ]$である．
(2)実数$a,\ b$を係数とする方程式$x^3+ax^2+bx-4=0$の解の$1$つが$1-i$であるとき，残りの解のうち実数解を求めると$x=[ウ]$であり，$a,\ b$の値を求めると$(a,\ b)=[エ]$である．ただし，$i$は虚数単位である．
(3)$x$についての方程式$9^x-a \cdot 3^x+a^2-a=0$が$2$つの異なる実数解をもつとき，定数$a$のとりうる値の範囲は$[オ]$である．また，$x \geqq \sqrt{2}$，$y \geqq 1$，$x^2y=4$のとき，$(1+\log_2x)(\log_2y)$が最大値をとる$x,\ y$の値を求めると，$(x,\ y)=[カ]$である．
(4)座標平面上に中心が原点$\mathrm{O}$で半径が$3$の円$C$と，傾きが負で点$\mathrm{A}(5,\ 0)$を通る直線$\ell$を考える．$C$と$\ell$は$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$（$\mathrm{AP}<\mathrm{AQ}$）で交わるとする．$\angle \mathrm{POQ}$を$\theta$とするとき，$\triangle \mathrm{PQO}$の面積$S_1$を$\theta$を用いて表すと$S_1=[キ]$である．また，点$\mathrm{B}$の座標を$(-3,\ 0)$とするとき，$\triangle \mathrm{PQB}$の面積$S_2$の最大値は$[ク]$である．

$3$次関数$f(x)=x^3-9px^2+15p^2x-q$について，次の問に答えよ．

(1)$p=1$，$q=0$のとき，$x=[ナ]$で極小値$[ニヌネ]$をとり，$x=[ノ]$で極大値$[ハ]$をとる．
(2)$p$を正の定数とする．$f(x)=0$が$3$つの異なる実数解を持つときの$q$の範囲は，$[ヒフヘ]p^3<q<[ホ]p^3$である．

曲線$C:y=x |x-1|$と，直線$\ell:y=kx$に関して，次の問に答えよ．ただし，$k$は実数の定数とする．

(1)曲線$C$の概形を描け．
(2)曲線$C$と直線$\ell$が$x>0$で$2$つの交点を持つような$k$の範囲を求めよ．
(3)$k$が$(2)$で求めた範囲を動くとき，$C$と$\ell$によって囲まれる図形全体の面積を最小にする$k$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$p$を実数の定数とする．$x$に関する次の$2$つの方程式
\[ \begin{array}{l}
x^2+px+3p+9=0 \\
x^2-7x-p^2-7p-12=0
\end{array} \]
が$1$つ以上の共通解をもつとき，その共通解は，$\displaystyle \frac{[ア] \pm \sqrt{[イウ]}}{2}$あるいは，$[エ]$である．
(2)$a,\ b$を正の定数（ただし，$a>b$）とし，$ab=7$とする．方程式$\displaystyle \frac{b}{2x-a}-\frac{a}{2x-b}=0$の解が$x=3$ならば，$a=[オ]+\sqrt{[カ]}$，$b=[キ]-\sqrt{[ク]}$である．

$2$つの数列$\{a_n\}$，$\{b_n\}$は，
\[ a_{n+1}=-a_n-15b_n,\quad b_{n+1}=a_n+7b_n,\quad a_1=-1,\quad b_1=1 \]
で定義される．このとき，次の問に答えよ．

(1)$a_3=-[ヒフ]$，$b_3=[ヘホ]$である．
(2)$a_{n+1}+\alpha b_{n+1}=\beta (a_n+\alpha b_n)$を満たす定数$\alpha,\ \beta$を求めると，
\[ (\alpha,\ \beta)=([マ],\ [ミ]),\ ([ム],\ [メ]) \]
となる．ただし，$[マ]<[ム]$である．

(3)一般項を求めると，
\[ a_n=\frac{[モ] \cdot [ヤ]^n-[ユ] \cdot [ヨ]^n}{2},\quad b_n=\frac{[ラ]^n-[リ]^n}{2} \]
となる．

方程式$(m+1)x^2+2(m-1)x+2m-5=0$がただ$1$つの実数解をもつとき，定数$m$の値を求めなさい．

$2$次方程式$x^2+2ax+a+2=0$が実数解を持つような，定数$a$の値の範囲を求めなさい．

関数$f(x)=x^3-ax^2-a^2x+b$の極大値と極小値の差が$4$であるとき，次の設問に答えよ．

(1)定数$a$の値を求めよ．
(2)方程式$f(x)=0$が異なる$2$つの正の解と$1$つの負の解をもつような定数$b$の値の範囲を求めよ．

次の各設問に答えよ．

(1)$\displaystyle \frac{4}{3+\sqrt{5}}+\frac{1}{2+\sqrt{5}}$を計算すると$[　]$となる．

(2)$3^{2x}-2 \times 3^{x+2}=-81$を解くと，$x=[　]$となる．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(2,\ 3)$，$\overrightarrow{\mathrm{CB}}=(-4,\ 5)$とする．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=([　],\ [　])$であり，三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$[　]$である．
(4)$3$つの直線$ax+y=1$，$x+2y=3$，$x-ay=-3$が一点で交わるとき，定数$a$の値は
\[ [　] \text{または} \frac{[　]}{[　]} \]
である．

$x^2+y^2-6ax+4ay+19a^2-a-1=0$（$a$は定数）は円を表すものとする．

(1)$a$の値の範囲は$\displaystyle \frac{[　]}{[　]}<a<\frac{[　]}{[　]}$である．

(2)この円の面積が最大となるとき，円の中心座標は$\displaystyle \left( \frac{[　]}{[　]},\ \frac{[　]}{[　]} \right)$であり，最大面積は$\displaystyle \frac{[　]}{[　]} \pi$となる．
このとき，座標$\displaystyle \left( -\frac{1}{3},\ 1 \right)$を通り，円の面積を二等分する直線の方程式は
\[ y=-[　] x+\frac{[　]}{[　]} \]
である．