曲線$y=-x^2$を$C_1$とし，点$(1,\ -1)$での$C_1$の接線を$\ell$とする．また，点$(0,\ 2)$と点$(1,\ -1)$を通り，点$(1,\ -1)$での接線が$\ell$となる曲線$y=ax^2+bx+c$を$C_2$とする．ただし，$a,\ b,\ c$は定数とする．

(1)$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$a,\ b,\ c$の値を求めよ．
(3)正の定数$k$について，直線$y=-kx$と$C_1$で囲まれた部分の面積と，直線$y=-kx$と$C_2$で囲まれた部分の面積が等しいとき，$k$の値を求めよ．

関数$\displaystyle f(x)=\frac{a(-3x^2+x+4)-7b(x-2)}{3x^3-7x^2-2x+8}$について，次の問に答えよ．ただし，$a,\ b$は0でない定数とする．

(1)$\displaystyle f(x)=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x+1}+\frac{C}{3x-4} \ (A,\ B,\ C \text{は定数})$となるとき，$A,\ B,\ C$を$a$と$b$の式で表せ．
(2)$2a+7b=0$のとき，$f(x)=0$の解$x_1,\ x_2 \ (x_1<x_2)$を求めよ．
(3)(2)において$a=7$とするとき，定積分$\displaystyle I=\int_{x_1}^{x_2} f(x) \, dx$を求めよ．

関数$f(x)=x^3-3x^2+3ax+b \ (a,\ b \text{は定数})$について，次の問に答えよ．

(1)$f(x)$が極値を持つような$a$の値の範囲を求めよ．
(2)$f(x)$の極大値と極小値の差が32となるとき，$a$の値を求めよ．
(3)(2)で求めた$a$の値に対し，$f(x)$の区間$-4 \leqq x \leqq 4$における最大値が5であるとする．このとき，$b$の値とこの区間での$f(x)$の最小値$m$を求めよ．

実数$x$に対して，$t=e^x+e^{-x}$とするとき，次の問に答えよ．

(1)$t$のとり得る値の最小値$m$を求めよ．
(2)$e^{2x}+e^{-2x}$を$t$の式で表せ．
(3)$t=e^x+e^{-x}$とおいて置換積分することにより，定積分$\displaystyle I=\int_{\log 2}^{\log 4}\frac{2e^x-2e^{-x}}{e^{2x}+e^{-2x}+1} \, dx$を求めよ．
(4)定数$a$に対して，$\displaystyle \int_{a}^{2a}\frac{2e^x-2e^{-x}}{e^{2x}+e^{-2x}+1} \, dx=\log \frac{3}{2}$となるとき，$e^a+e^{-a}$の値を求めよ．（$a$の値は求めなくてよい．）

次の問に答えよ．

(1)$e^x-1-xe^{\frac{\pi}{2}}>0$を満たす$x$の範囲を求めよ．
(2)$x \neq 0$のとき，$\displaystyle \frac{e^x-1}{x}$と$\displaystyle e^{\frac{x}{2}}$の大小を調べよ．
(3)$p$を$0<p<1$である定数とする．$x>0, x \neq 1$のとき$\displaystyle \frac{x^p-1}{x-1}$と$px^{\frac{p-1}{2}}$の大小を調べよ．

座標平面上を運動する動点P$(x,\ y)$が時刻$t$の関数として
\[ x=t \cos \alpha,\quad y=t \sin \alpha-t^2 \]
で与えられているとする．ただし，$\alpha$は$0 \leqq \alpha < 2\pi$を満たす定数とする．直線$y=x$を$\ell$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)時刻$t=0$における動点Pの速度$\overrightarrow{v}$とその大きさ$|\overrightarrow{v}|$を求めよ．
(2)Pが直線$\ell$上の点を通る時刻$t$をすべて求めよ．
(3)正の時刻においてPが$\ell$上の点を通るための$\alpha$の範囲を求めよ．

以下では，$\alpha$は(3)で求めた範囲にあるとする．

\mon[(4)] 正の時刻においてPが通る$\ell$上の点の$x$座標を求めよ．
\mon[(5)] (4)で求めた$\ell$上の点の$x$座標を$f(\alpha)$とし，$\alpha$を(3)で求めた範囲で変化させる．$f(\alpha)$の最大値，最小値を求め，それらを与える$\alpha$の値を求めよ．

座標空間の原点を$\mathrm{O}$とし，$2$点$\mathrm{A}(2,\ -1,\ 4)$，$\mathrm{B}(k,\ -k,\ 2)$について，線分$\mathrm{AB}$を$1:4$に内分する点を$\mathrm{P}$とする．このとき，次の問いに答えよ．ただし，$k$は定数で$k>0$とする．

(1)点$\mathrm{P}$の座標を$k$を用いて表せ．
(2)直線$\mathrm{AB}$と直線$\mathrm{OP}$が直交するとき，$k$の値を求めよ．
(3)(2)で求めた$k$について，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を求めよ．

曲線$C:y =(x-3)\sqrt{x} (x>0)$の法線を考える．ただし，曲線$C$上の点$\mathrm{P}$における法線とは，点$\mathrm{P}$を通り，この曲線上の点$\mathrm{P}$における接線に垂直に交わる直線のことである．このとき，以下の各問に答えよ．

(1)関数$y=(x-3)\sqrt{x} (x>0)$の増減，極値を調べて，そのグラフをかけ．
(2)曲線$C$上の点$(t,\ (t-3)\sqrt{t})$における法線の方程式を求めよ．
(3)$a$を正の定数とするとき，点$(a,\ 0)$を通る法線の本数を調べよ．

次の問に答えよ．

(1)$e^x-1-xe^{\frac{\pi}{2}}>0$を満たす$x$の範囲を求めよ．
(2)$x \neq 0$のとき，$\displaystyle \frac{e^x-1}{x}$と$\displaystyle e^{\frac{x}{2}}$の大小を調べよ．
(3)$p$を$0<p<1$である定数とする．$x>0, x \neq 1$のとき$\displaystyle \frac{x^p-1}{x-1}$と$px^{\frac{p-1}{2}}$の大小を調べよ．

$p$を$0<p<1$を満たす有理数の定数とし，関数$f(x)$を$f(x)=|x|^p$と定める．以下の各問に答えよ．

(1)曲線$y=f(x)$の概形を描け．
(2)$a$を$0$でない実数の定数とするとき，点$(a,\ f(a))$における曲線$y=f(x)$の接線の方程式を求めよ．また，接線と$x$軸の交点の$x$座標を求めよ．
(3)数列$\{a_n\}$を次のように定める：$a_1=1$とし，$n \geqq 2$のとき$a_n$を点$(a_{n-1},\ f(a_{n-1}))$における曲線$y=f(x)$の接線と$x$軸との交点の$x$座標とする．このとき一般項$a_n$を$n$と$p$を用いて表せ．
(4)(3)で求めた数列$\{a_n\}$について，点$(a_n,\ f(a_n))$における曲線$y=f(x)$の接線と，$x$軸，および直線$x=a_n$とで囲まれた部分の面積を$T_n$とする．$T_n$を$n$と$p$を用いて表せ．
(5)(4)の$T_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$について，無限級数$T_1+T_2+T_3+\cdots$が収束する$p$の範囲を求めよ．また，収束するときの無限級数の値を求めよ．