次の$[　]$を適当に補え．

(1)$2$つの自然数$x,\ y (x<y)$の積が$588$で，最大公約数が$7$であるとき，この$2$つの自然数の組$(x,\ y)$は$(x,\ y)=[　]$である．
(2)$xy$平面において，$2$次関数$y=f(x)$のグラフが点$(2,\ 5)$を頂点とし，点$(-1,\ -4)$を通る放物線であるとき，$f(x)=[　]$である．また，このグラフを$x$軸方向に$[　]$，$y$軸方向に$[　]$だけ平行移動すれば$y=-x^2+10x-21$のグラフになる．
(3)円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$において，$\angle \mathrm{A}={60}^\circ$，$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{BC}=2$，$\mathrm{DA}=3$のとき，$\mathrm{BD}=[　]$，$\mathrm{CD}=[　]$である．
(4)全体集合$U=\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9,\ 10\}$の部分集合$A=\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 8,\ 9\}$，$B=\{2,\ 4,\ m\}$（$m$は$2,\ 4$以外の$U$の要素）に対して，$A \cap B=\{2,\ 4\}$となるのは$m=[　]$のときであり，$\overline{A \cup B}=\{6,\ 7,\ 10\}$となるのは$m=[　]$のときである．ただし，$\overline{A \cup B}$は$U$における$A \cup B$の補集合である．
(5)$\displaystyle \left( x-\frac{1}{2x^2} \right)^{12}$の展開式において，$x^3$の係数は$[　]$であり，定数項は$[　]$である．

$2$次方程式$4x^2-4mx-3m^2=0$が$x=-1$を解に持つとき，定数$m$の値は，
\[ m=[$*$],\ [$**$] \]
である．ただし，$[$*$]<[$**$]$とする．

$x$の$2$次方程式$2x^2-2kx+k-3=0$が，$x<0$の範囲と$x>1$の範囲にそれぞれ$1$つずつ解を持つように，定数$k$の値を定めると
\[ [　]<k<[　] \]
となる．

$a,\ b$を定数とする．等式
\[ \frac{x+1}{(2x-1)(4x+1)}=\frac{a}{2x-1}+\frac{b}{4x+1} \]
が$x$についての恒等式になるとき，$a=[　]$，$b=[　]$である．

次の各問いに答えよ．

(1)$xy=100$，$x>y$をみたす自然数$x,\ y$の組み合わせは何通りあるか．
(2)次の値を求めよ．
\[ \sum_{k=1}^{10} (2k^2-3k+5) \]
(3)$k$が定数のとき，$y=x^2-2kx+2k^2+3k-2$は放物線を表す．定数$k$をいろいろ変化させるとき，放物線の頂点はどのような曲線上を動いていくか．
(4)半径が$2t+1$の球の体積を$V(t)$とする．$V(t)$を$t$で微分した導関数を求めよ．
(5)$\log_{10}x=0.8$，$\log_{10}y=0.3$のとき，$\log_{10}x^2y^3$の値を求めよ．
(6)$1$枚の硬貨を$5$回投げたとき，表が$3$回出る確率を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \frac{x^3(x-1)^2}{x^2+1}=x^3+px^2+qx+r+\frac{s}{x^2+1}$をみたす定数$p,\ q,\ r,\ s$の値を求めよ．
(2)置換積分法により，$x=\tan \theta$とおいて$\displaystyle \int_0^1 \frac{dx}{x^2+1}$の値を求めよ．
(3)$\displaystyle \frac{x^3(x-1)^2}{x^2+1} \geqq \frac{x^3(x-1)^2}{k} (0 \leqq x \leqq 1)$をみたす最小の正の定数$k$の値を求めよ．
(4)上の$(1)$，$(2)$，$(3)$の結果を使って，$\displaystyle \pi<\frac{63}{20}$を示せ．

次の問いに答えよ．

(1)$2x^2-19x+a<0$をみたす実数$x$が存在するとき，定数$a$の値の範囲は$\displaystyle a<\frac{[　]}{[　]}$である．$2x^2-19x+a<0$をみたす整数$x$がただ$1$つ存在するとき，その整数$x$は$[　]$であり，定数$a$の値の範囲は$[　] \leqq a<[　]$である．
(2)外接円の半径が$16$である$\triangle \mathrm{ABC}$において$\displaystyle \cos B=\frac{\sqrt{7}}{4}$，$\displaystyle \cos C=\frac{3 \sqrt{7}}{8}$とするとき，$\displaystyle \sin B=\frac{[　]}{[　]}$，$\mathrm{AC}=[　]$，$\mathrm{BC}=[　] \sqrt{[　]}$である．

$a>0$，$b>1$である定数$a,\ b$に対して，関数$f(x)$を
\[ f(x)=|\abs{ax-1|-b} \]
と定め，定積分$S$を
\[ S=\int_0^1 f(x) \, dx \]
とする．このとき以下の設問に答えよ．

(1)$0<a<1$の場合，$S$を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)$1 \leqq a<b+1$の場合，$S$を$a,\ b$を用いて表せ．
(3)$a \geqq b+1$の場合，$S$を$a,\ b$を用いて表せ．

次の各問に答えよ．

(1)円$C:x^2+y^2-4x+6y+8=0$の中心は$([ア],\ [イウ])$，半径は$\sqrt{[エ]}$である．直線$(m+3)x-my-6=0$が$C$と接するような定数$m$の値は$[オカ]$または$[キ]$である．
(2)$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$とする．$F=(1-4 \sin \theta) \cos 2\theta$は$t=\sin \theta$を用いて表すと，
\[ F=[ク] t^3-[ケ] t^2-[コ] t+[サ] \]
となる．$F$は$\displaystyle \theta=\frac{[シ]}{[ス]} \pi$のとき，最小値$\displaystyle \frac{[セソ]}{[タ]}$をとる．

$a>0$とし，関数$\displaystyle f(x)=\frac{1}{3}x^3-ax+5$の極大値と極小値の差が$\displaystyle \frac{8}{3} \sqrt{2}$であるとき，次の問いに答えよ．

(1)定数$a$の値を求めよ．
(2)連立不等式$\left\{ \begin{array}{l}
x \geqq 0 \\
y \geqq x \\
y \leqq -f^\prime(x)
\end{array} \right.$の表す領域の面積を求めよ．ただし，$f^\prime(x)$は$f(x)$の導関数である．