$a$を定数とし，$2$次関数$y=x^2+6x+a+7$のグラフを$C$とする．以下の問いに答えなさい．

(1)$C$の頂点の座標を求めなさい．
(2)$-1 \leqq x \leqq 3$における最小値が$-1$のとき，$a$の値を求めなさい．
(3)$C$が$x$軸と異なる$2$点で交わるとき，$a$の値の範囲を求めなさい．
(4)$(3)$のとき，$C$と$x$軸との交点を$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とする．$\mathrm{AB}=2 \sqrt{7}$のとき，$a$の値を求めなさい．

以下の問に答えよ．

(1)$2$つの異なる正の数の積が$9$であり，かつ，それらのうち大きい方の$2$倍と小さい方の和が$12$であるという．これらの異なる正の数のうち，大きい方を$x$，小さい方を$y$とするとき，以下の問に答えよ．

(i) $x,\ y$に関する連立方程式を求めよ．
(ii) $x$に関する$2$次方程式を求めよ．
(iii) $x,\ y$の値を求めよ．
\mon[$\tokeishi$] $x^3+y^3$の値を求めよ．

(2)$f(x)=x^2-2ax+4a+5$とする．ただし，$a$は定数とする．

(i) 関数$y=f(x)$の$-3 \leqq x \leqq 2$における最小値を，次の$a$の各範囲においてそれぞれ求めよ．
$① a \leqq -3 \qquad ② -3<a \leqq 2 \qquad ③ a>2$
(ii) 関数$y=f(x)$の$-3 \leqq x \leqq 2$における最小値が$4$であるとき，$a$の値を求めよ．
(iii) $2$次方程式$f(x)=0$が$-3$以上，かつ，$2$以下である異なる$2$つの実数解を持つとき，$a$の値の範囲を求めよ．

関数$f(x)=-x^2+4x-3$と$g(x)=kx-3$がある．ただし，$k$は定数で，$k<4$とする．また，座標平面上の放物線$y=f(x)$と$x$軸の共有点の$x$座標を，$a_1,\ a_2$とし（ただし，$a_1<a_2$とする），放物線$y=f(x)$と直線$y=g(x)$の共有点の$x$座標を$b_1,\ b_2$とする（ただし，$b_1<b_2$とする）．以下の問に答えよ．

(1)$a_1,\ a_2,\ b_1,\ b_2$の値を求めよ．
(2)点$(0,\ f(0))$における$y=f(x)$の接線の方程式を求めよ．
(3)次の図形の面積を求めよ．

\mon[$①$] 放物線$y=f(x)$と$x$軸とで囲まれる図形
\mon[$②$] 放物線$y=f(x)$と直線$y=g(x)$とで囲まれる図形

(4)次の定積分の値を求めよ．
\[ ① \int_{b_1}^{a_2} f(x) \, dx \qquad ② \int_{b_2}^{a_2} f(x) \, dx \]
(5)$\displaystyle \int_{b_2}^{a_2} f(x) \, dx=\frac{2}{3}$となるような$k$の値をすべて求めよ．

以下の問に答えよ．

(1)$2$つの異なる正の数の積が$9$であり，かつ，それらのうち大きい方の$2$倍と小さい方の和が$12$であるという．これらの異なる正の数のうち，大きい方を$x$，小さい方を$y$とするとき，以下の問に答えよ．

(i) $x,\ y$に関する連立方程式を求めよ．
(ii) $x$に関する$2$次方程式を求めよ．
(iii) $x,\ y$の値を求めよ．
\mon[$\tokeishi$] $x^3+y^3$の値を求めよ．

(2)$f(x)=x^2-2ax+4a+5$とする．ただし，$a$は定数とする．

(i) 関数$y=f(x)$の$-3 \leqq x \leqq 2$における最小値を，次の$a$の各範囲においてそれぞれ求めよ．
$① a \leqq -3 \qquad ② -3<a \leqq 2 \qquad ③ a>2$
(ii) 関数$y=f(x)$の$-3 \leqq x \leqq 2$における最小値が$4$であるとき，$a$の値を求めよ．
(iii) $2$次方程式$f(x)=0$が$-3$以上，かつ，$2$以下である異なる$2$つの実数解を持つとき，$a$の値の範囲を求めよ．

$a$を正の実数とするとき，$2$次方程式$x^2+2ax+2=0$の$2$つの解の比が$1:2$となるように定数$a$の値と$2$つの解を求めよ．

$k$を定数とする．方程式$x^2-|x|-6=k$を満足する実数$x$がちょうど$3$個あるのは$k=[　]$のときであり，この方程式を満足する実数$x$が存在しないのは$k$の範囲が$[　]$のときである．

曲線$y=x^2-2x$と$x$軸に囲まれた部分と，この曲線と直線$x=a$と$x$軸で囲まれた部分の面積が等しくなる定数$a$の値を求めよ．ただし，$a>2$とする．

次の問いに答えよ．

(1)$y=3 \cos x$のグラフ上の$1$点$\displaystyle \left( \frac{\pi}{6},\ \frac{3 \sqrt{3}}{2} \right)$における接線に平行な単位ベクトルを$\overrightarrow{a}=(a_1,\ a_2)$，垂直な単位ベクトルを$\overrightarrow{b}=(b_1,\ b_2)$とすると，$(a_1,\ a_2)=[　]$，$(b_1,\ b_2)=[　]$である．
(2)$a_1>0$，$\sqrt{13}(a_1,\ a_2)=(A_1,\ A_2)$とおくとき，行列$A=\left( \begin{array}{cc}
A_1+2 & A_2-2 \\
A_1 & A_2
\end{array} \right)$に対し，連立方程式$A \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right)=m \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right)$が$(x,\ y)=(0,\ 0)$以外の解をもつとき，定数$m$の値は$[　]$である．次に行列$A$で表される$1$次変換によって，点$\mathrm{P}(x,\ y)$が点$\mathrm{Q}(X,\ Y)$に移り，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$とベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$が同じ向きになったという．ただし点$\mathrm{O}(0,\ 0)$であり，$x \neq 0$とする．このとき$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=k \overrightarrow{\mathrm{OP}}$となる定数$k$の値は$[　]$である．さらにこのとき直線$\mathrm{PQ}$の方程式は$y=[　]$である．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle m(x)=\frac{m_0}{\sqrt{1-\displaystyle\frac{x}{c^2}}}$とする．ただし$m_0,\ c$は正の定数である．また$c^2$より十分小さい正の定数$\varepsilon$に対して$0<x<\varepsilon$とする．

(i) $m^\prime(x)=[　]$である．
(ii) $m(x)-m_0$を平均値の定理を用いて表すと$[$*$]$である．ただし$*$を書き表わす際，新たに必要となる実数があれば$k$を用い，$k$が満たすべき条件も明記せよ．
(iii) $\varepsilon \to 0$とすると$*$の値は$[　]$に近づく．

(2)$a,\ b$を正の実数とするとき，積分$\displaystyle \int_0^1 \frac{1}{\{ax+b(1-x)\}^2} \, dx$の値は$[　]$である．またこの値を$a$について微分すると，$[　]$となる．

関数$f(x)=x^3+ax^2+bx+28$（$a,\ b$は定数）がある．曲線$y=f(x)$上の点$(2,\ f(2))$における接線の方程式が$y=15x$であるとき，次の設問に答えよ．

(1)$a$の値は$[ア]$，$b$の値は$[イウ]$である．
(2)$f(x)$は
$x=[エオ]$のとき，極大値$[カキ]$
$x=[ク]$のとき，極小値$[ケコ]$
をとる．
(3)$0 \leqq x \leqq 2$の範囲では，$f(x)$の最大値は$[サシ]$，最小値は$[スセ]$である．