次の空欄ア～スに当てはまる数を記入せよ．

(1)点$\mathrm{P}(1,\ 2)$と点$\mathrm{Q}(0,\ -1)$を通り，点$\mathrm{Q}$での接線の傾きが$2$である円の方程式は$(x-[ア])^2+(y-[イ])^2=[ウ]$である．
(2)$\overrightarrow{a}=(-2,\ 2,\ 1)$，$\overrightarrow{b}=(-5,\ 4,\ 3)$のとき，$\overrightarrow{a}$と$2 \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$のなす角度は$[エ]$である．
(3)$\sin x+\sqrt{3} \cos x-2=0 (0<x<\pi)$を解くと，$x=[オ]$である．
(4)数列$\displaystyle \frac{1}{1},\ \frac{1}{2},\ \frac{2}{2},\ \frac{1}{3},\ \frac{2}{3},\ \frac{3}{3},\ \frac{1}{4},\ \frac{2}{4},\ \frac{3}{4},\ \frac{4}{4},\ \frac{1}{5},\ \cdots$に関して，$\displaystyle \frac{17}{30}$はこの数列の第$[カ]$項である．

(5)$\displaystyle \omega=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$に対して，$\omega^8$は$[キ]+[ク]i$となる．ただし$i$は虚数単位とし，キ，クは実数とする．
(6)$2$次方程式$x^2+ax+16=0$が整数解を持つような整数$a$のうち最大のものは$[ケ]$である．
(7)サイコロを$4$回振る．連続して偶数があらわれず，かつ連続して奇数もあらわれない確率は$[コ]$である．
(8)$x$が実数を動くとき，関数$f(x)=4^x+4^{-x}-5(2^x+2^{-x})+9$の最小値は，$[サ]$である．
(9)関数$f(x)$が等式$\displaystyle \int_a^x f(t) \, dt=x^2+(3a+8)x+4$をみたすとき，定数$a$の値は$[シ]$である．
\mon $6^{30}$は$[ス]$桁の整数である．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とする．

$a$を$1$より大きい定数とする．関数
\[ f(x)=(\log_2x)^2-\log_2x^4+1 \quad (1 \leqq x \leqq a) \]
の最小値を求めよ．

$a,\ b,\ c$を定数，$a>0$として，放物線$y=ax^2+bx+c$が直線$y=2x$と直線$y=-x$に接するとする．

(1)$b$の値を求めよ．
(2)$c$を$a$で表せ．
(3)この$2$直線と放物線で囲まれた図形の面積を$a$で表せ．

$f(x)=2x+3+|x|$と$g(x)=ax^2+bx+c$とは次の$2$つの条件を満たす．ただし，$a,\ b,\ c$は定数とする．

(i) $y=f(x)$のグラフと$y=g(x)$のグラフとは$x=-2$および$x=2$で交わる．
(ii) $y=g(x)$は$\displaystyle x=\frac{1}{2}$において最大値をとる．

このとき，次の$[　]$を数値でうめよ．

(1)$a=[$①$]$，$b=[$②$]$，$c=[$③$]$である．
(2)$y=g(x)$のグラフの頂点の$y$座標は$[$④$]$である．
(3)$y=f(x)$と$y=g(x)$とで囲まれた図形の面積は$[$⑤$]$である．

$a$を正の定数とする．座標平面上に曲線$C_1:y=ax^2$と曲線$C_2:x=y^2$がある．次の問いに答えよ．

(1)曲線$C_1$と$C_2$の交点のうち，原点と異なる点の座標を求めよ．
(2)曲線$C_1$と$C_2$で囲まれた図形を$D$とする．$D$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を$V_1$とする．また，$D$を$y$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を$V_2$とする．$V_1$と$V_2$をそれぞれ$a$を用いて表せ．
(3)$(2)$で求めた$V_1$と$V_2$について，$V_1 \geqq V_2$となるような$a$の値の範囲を求めよ．また，$V_1-V_2$を最大にする$a$の値を求めよ．

$a,\ b$を実数の定数とし，$3$つの行列
\[ A=\left( \begin{array}{rr}
3 & -2 \\
a & 1
\end{array} \right),\quad R=\frac{1}{2} \left( \begin{array}{rr}
5 & -4 \\
6 & -5
\end{array} \right),\quad Q=\left( \begin{array}{cc}
\displaystyle \frac{1}{2} & 0 \\
0 & b
\end{array} \right) \]
は$AR=QA$を満たしている．次の$[　]$をうめよ．

$AR=QA$を満たす$a$の値は$2$つある．そのうち，$A$が逆行列をもたないのは，$a=[$①$]$のときであり，このとき，$b=[$②$]$である．$A$が逆行列$A^{-1}$をもつのは，$a=[$③$]$のときであり，このとき，$A^{-1}=[$④$]$，$b=[$⑤$]$である．
$n$を$2$以上の自然数として，
\[ S_n=A+AR+AR^2+\cdots +AR^{n-1} \]
とおく．$AR=QA$であるから，$S_n$は実数$x_n,\ y_n$を用いて
\[ S_n=\left( \begin{array}{cc}
x_n & 0 \\
0 & y_n
\end{array} \right) A \]
と表される．
$a=[$③$]$のときは，$x_n=[$⑥$]$，$y_n=[$④chi$]$である．したがって，$E$を単位行列として，
\[ E+R+R^2+\cdots +R^{n-1}=\left( \begin{array}{cc}
p_n & q_n \\
r_n & s_n
\end{array} \right) \]
とおくと，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}p_n=[$\maruhachi$]$である．

次の空欄を適当に補え．

(1)不等式$|4x-3| \leqq -x+7$を解くと$[$(\mathrm{a])$}$である．
(2)$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(3,\ 4)$，$\overrightarrow{b}=(-1,\ 2)$に対して，$\overrightarrow{a}+k \overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{a}-k \overrightarrow{b}$が垂直であるとき，正の定数$k$の値は$[$(\mathrm{b])$}$である．
(3)数列
\[ \frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{3}},\ \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{5}},\ \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{7}},\ \cdots,\ \frac{1}{\sqrt{2n-1}+\sqrt{2n+1}},\ \cdots \]
の第$24$項までの和は$[$(\mathrm{c])$}$である．
(4)方程式$\log_2x=2 \log_x2-1$を解くと，$x=[$(\mathrm{d])$}$である．ただし，$x \neq 2$とする．
(5)$1$個のさいころを$2$回投げるとき，$1$回目に出る目の数と$2$回目に出る目の数のうち小さくない方を$X$とする．$X=4$となる確率は$[$(\mathrm{e])$}$である．
(6)関数$f(x)=x^2-x^3$は$x=[$(\mathrm{f])$}$で極大値$[$(\mathrm{g])$}$をとる．

$k$を定数とし，関数$f(x)=x^3+3x^2+3kx-4$は，$x=\alpha$で極大値をとり，$x=\beta$で極小値をとるとする．また，$x$についての多項式$f(x)$を$x$についての多項式$f^\prime(x)$で割った余りを$R(x)$とするとき，次の各問に答えよ．

(1)余り$R(x)$を求めよ．
(2)$f(\alpha)=R(\alpha)$であることを示せ．
(3)極大値と極小値の和が$0$となるような$k$の値を求めよ．

$k$を定数とし，関数$f(x)=x^3+3x^2+3kx-4$は，$x=\alpha$で極大値をとり，$x=\beta$で極小値をとるとする．また，$x$についての多項式$f(x)$を$x$についての多項式$f^\prime(x)$で割った余りを$R(x)$とするとき，次の各問に答えよ．

(1)余り$R(x)$を求めよ．
(2)$f(\alpha)=R(\alpha)$であることを示せ．
(3)極大値と極小値の和が$0$となるような$k$の値を求めよ．

$m$を定数とする．曲線$y=x^3-3x$と直線$y=m$が異なる$3$個の共有点をもち，それらの$x$座標を$x_1,\ x_2,\ x_3$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$m$の範囲を求めよ．
(2)$S={x_1}^2+{x_2}^2+{x_3}^2$の値を求めよ．
（注意） なお，$3$次方程式$ax^3+bx^2+cx+d=0$（$a,\ b,\ c,\ d$は実数，$a \neq 0$）の$3$つの解を$\alpha,\ \beta,\ \gamma$とするとき，
\[ \alpha+\beta+\gamma=-\frac{b}{a},\quad \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\frac{c}{a},\quad \alpha\beta\gamma=-\frac{d}{a} \]
であることを用いてもよい．