関数$f(x)$は
\[ f(x)=\cos x+\int_0^{2\pi} f(y) \sin (x-y) \, dy \]
をみたすものとする．次の各問いに答えよ．

(1)$f(x)$は
\[ f(x)=a \sin x+ b \cos x \]
の形に表されることを示せ．ただし，$a$と$b$は定数である．
(2)$f(x)$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)定義に基づいて次の関数の導関数を求めよ．

\setcounter{tokeikobango}{0}
\mon[$\Tokeiko$] $f(x)=x^2$
\mon[$\Tokeiko$] $f(x)=1$

(2)次の等式を満たす関数$f(x)$，および定数$a$を求めよ．
\[ \int_a^x f(t) \, dt = x^2-1 \]
(3)等式$\displaystyle f(x)=x^2-\int_{-1}^1 f(t) \, dt$を満たす関数$f(x)$を求めよ．

大小$2$個のさいころを同時に投げる試行を考える．この試行で，大きいさいころの出た目を$X$，小さいさいころの出た目を$Y$とする．$T=2X-Y$とするとき，次の各問いに答えよ．

(1)確率$P(T=6)$，$P(T \geqq 0)$を求めよ．
(2)分散$V(X)$，平均$E(T)$を求めよ．
(3)$V(aT)=25$となる定数$a$の値を求めよ．

$a,\ b,\ c,\ d$を定数とする．また$w$は$x,\ y,\ z$から$w=ax+by+cz+d$によって定まるものとする．以下の命題を考える．

命題1：$x \geqq 0$かつ$y \geqq 0$かつ$z \geqq 0 \ \naraba \ w \geqq 0$
命題2：「$x \geqq 0$かつ$z \geqq 0$」または「$y \geqq 0$かつ$z \geqq 0$」$\ \naraba \ w \geqq 0$
命題3：$z \geqq 0 \ \naraba \ w \geqq 0$

以下の問いに答えよ．

(1)$b=0$かつ$c=0$のとき，命題1が真であれば，$a \geqq 0$かつ$d \geqq 0$であることを示せ．
(2)命題1が真であれば，$a,\ b,\ c,\ d$はすべて0以上であることを示せ．
(3)命題2が真であれば，命題3も真であることを示せ．

次の各問いに答えよ．

(1)確率変数$X$は$0$以上$3$以下の値をとり，その確率密度関数$f(x)$は次で与えられているとする．このとき，定数$k$，平均$E(X)$を求めよ．
\[ f(x)=\left\{
\begin{array}{cl}
\displaystyle\frac{1}{2} & (0 \leqq x<1 \text{のとき}) \\
-\displaystyle\frac{1}{4}x+k & (1 \leqq x \leqq 3 \text{のとき})
\end{array}
\right. \]
(2)$Z$を標準正規分布$N(0,\ 1)$に従う確率変数とする．また，任意の$x \ (x \geqq 0)$に対して，関数$g(x)$を$g(x)=P( 0 \leqq Z \leqq x)$とおく．このとき，次の各問いに答えよ．

\mon[(a)] 確率$P(a \leqq Z \leqq b)$を関数$g$で表せ．ただし，$a$と$b$は定数で$a<b$とする．
\mon[(b)] 母平均$50$，母標準偏差$3 \sqrt{10}$の母集団から大きさ$10$の標本を抽出するとき，標本平均が$41.0$以上$48.5$以下になる確率を関数$g$で表せ．
\mon[(c)] $0<p<1$とし，$l_p$は$\displaystyle g(l_p)=\frac{p}{2}$をみたすものとする．母分散$25$の母集団から大きさ$20$の標本を抽出したところ，標本平均が$45$であった．母平均$m$に対する信頼度$100p \%$の信頼区間の区間幅を$l_p$を用いて表せ．

方程式$x^2+y^2-2x+6y-6=0$で表される図形を$C$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)図形$C$を図示せよ．
(2)直線$2x+3y=k$が，図形$C$を2等分するような定数$k$の値を求めよ．
(3)図形$C$と直線$2x+3y=k$が異なる共有点を2個もつような定数$k$の値の範囲を求めよ．
(4)図形$C$に接し，傾きが$\displaystyle -\frac{2}{3}$である直線の方程式を求めよ．

$a,\ b,\ c,\ d$を実数の定数とする．座標平面上の点$(2,\ 1)$を点$(5,\ 2)$に移す1次変換を表す行列を
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right) \]
とする．以下の問に答えよ．

(1)$A$が逆行列をもつための必要十分条件を$a$と$c$を用いて表せ．
(2)次の式を満たす$A$を求めよ．
\[ A^2=\left( \begin{array}{cc}
\displaystyle\frac{25}{4} & 0 \\
\displaystyle\frac{5}{2} & 0
\end{array} \right) \]
(3)$n$を自然数とする．(2)で求めた$A$について
\[ -\frac{2}{5}A+\left( -\frac{2}{5} \right)^2A^2+\left( -\frac{2}{5}\right)^3A^3+\cdots +\left( -\frac{2}{5} \right)^n A^n \]
を求めよ．

自然数$n$を定数として，さいころを投げる次の競技を行う．この競技は，{\bf 試行}$1$と{\bf 試行}$2$からなる．競技者は，はじめに{\bf 試行}$1$を行う．
\begin{screen}

\mon[{\bf 試行}$1$] さいころを投げ，出た目の数を$X$とする．$X$の値に応じて次の手順に従う．
\mon[$\bullet$] $X=1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の場合
$X$の値を得点として競技を終了する．
\mon[$\bullet$] $X=6$の場合
もし$n=1$ならば，$7$を得点として競技を終了する．
(★) \quad もし$n \geqq 2$ならば，{\bf 試行}$2$に進む．

\end{screen}
\begin{screen}

\mon[{\bf 試行}$2$] 競技者はさいころを投げる．
(★★) \quad 出た目の数を$X$とする．
$X$の値に応じて次の手順に従う．
\mon[$\bullet$] $X=1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の場合
次のように定めた$P$を得点として競技を終了する．
\[ P=\left\{ \begin{array}{rl}
-1 & (X=1) \\
7 & (X=2,\ 3,\ 4) \\
13 & (X=5)
\end{array} \right. \]
\mon[$\bullet$] $X=6$の場合
もし競技開始から現時点までにさいころを投げた回数が$n$に等しいならば，$7$を得点として競技を終了する．
そうでないならば，続けてさいころを投げ，(★★)にもどる．

\end{screen}
以下の問いに答えよ．

(1)$n=1$として，{\bf 試行}$1$のみを行う．得点の期待値を求めよ．
(2)$n=4$とする．得点の期待値を求めよ．
(3)$n=30$とする．{\bf 試行}$1$を行い$X=6$になった．このとき，{\bf 試行}$1$の規則(★)を変更して，競技者は

\mon[(a)] 得点$7$を得て競技をただちに終了するか
\mon[(b)] 終了せずに{\bf 試行}$2$に進むか

どちらか一方を選択できるとする．どちらの選択をする方が得点の期待値が大きいか．

放物線$C:y=x^2$上の点$\mathrm{P}_1$の座標を$(1,\ 1)$とする．定数$k \ (0<k<1)$に対して，$\mathrm{P}_1$と点$(0,\ k)$を通る直線と$C$との交点を$\mathrm{P}_2$とする．ただし，$\mathrm{P}_2$は$\mathrm{P}_1$とは異なる点とする．$\mathrm{P}_2$と点$(0,\ k^2)$を通る直線と$C$との交点を$\mathrm{P}_3$とする．ただし，$\mathrm{P}_3$は$\mathrm{P}_2$とは異なる点とする．以下同様にして，自然数$n$に対し，$\mathrm{P}_n$と点$(0,\ k^n)$を通る直線と$C$との交点を$\mathrm{P}_{n+1}$とする．ただし，$\mathrm{P}_{n+1}$は$\mathrm{P}_n$とは異なる点とする．

(1)$\mathrm{P}_{2n-1}$および$\mathrm{P}_{2n}$の座標を$n$と$k$を用いて表せ．
(2)線分$\mathrm{P}_n \mathrm{P}_{n+1}$の長さを$l_n$とする．${l_{2n-1}}^2$および${l_{2n}}^2$を$n$と$k$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle k=\frac{1}{2}$のとき，無限級数${l_1}^2+{l_2}^2+\cdots +{l_n}^2+\cdots$の和を求めよ．

次の問に答えよ．

(1)定積分$\displaystyle I=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos 2t \cos 4t \, dt$の値を求めよ．
(2)次の等式が$t$についての恒等式となるように，定数$a,\ b,\ c,\ d$の値を定めよ．
\[ \sin^4 t \cos^2 t=a+b \cos 2t+c \cos 4t+d \cos 2t \cos 4t \]
(3)$x=\cos^3 t$とおいて，定積分$\displaystyle J=\int_0^1 (1-x^{\frac{2}{3}})^{\frac{3}{2}} \, dx$の値を求めよ．