直線$\ell:y=2x$の法線ベクトルを$\overrightarrow{n}=(a,\ b)$とし，点P$(x,\ y)$と直線$\ell$との距離を$h$とする．ただし，$|\overrightarrow{n}|=1$で，$a>0$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{n}$の成分$a,\ b$を求めよ．
(2)原点をOとし，$\overrightarrow{\mathrm{0}}$でない$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$に対し，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{n}$のなす角を$\theta$とする．このとき，$h$を$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$と$\theta$を用いて表せ．また，$h$を$x,\ y$を用いて表せ．

以下では，曲線$C$を，点A$(1,\ 0)$と直線$\ell$からの距離が等しい点P$(x,\ y)$の軌跡とする．

\mon[(3)] 曲線$C$の方程式($x,\ y$の関係式)を求めよ．
\mon[(4)] 曲線$C$と直線$y=t \ (t \text{は定数})$との共有点の個数を求めよ．
\mon[(5)] 曲線$C$と直線$y=t$が2個の共有点Q，Rをもつとき，線分QRの長さを$t$を用いて表せ．
\mon[(6)] 曲線$C$と直線$y=0$とで囲まれる部分の面積$S$を求めよ．

関数$f(x)$は$f(0)=b$をみたし，その導関数は
\[ f^\prime(x)=(x-1)(x-a) \]
であるとする．ただし，$a$と$b$は定数である．このとき，次の問いに答えよ．

(1)曲線$y=f(x)$上の点$(0,\ b)$における接線の方程式を求めよ．
(2)$f(x)$を$x$の整式で表せ．
(3)$f(x)$の極大値が$40$，極小値が$4$であるとき，定数$a$と$b$の値を求めよ．

$2$つの関数$f(x)=x^2-x,\ g(x)=ax$がある．ただし，$a$は正の定数とする．

(1)$y=f(x)$の極値を求め，グラフをかけ．
(2)$y=|f(x)|$と$y=g(x)$のグラフで囲まれる部分の面積を求めよ．

$2$つの関数$f(x)=x^2-x,\ g(x)=ax$がある．ただし，$a$は正の定数とする．

(1)$y=f(x)$の極値を求め，グラフをかけ．
(2)$y=|f(x)|$と$y=g(x)$のグラフで囲まれる部分の面積を求めよ．

次の各問いに答えよ．

(1)$\displaystyle 0 \leqq \alpha \leqq \pi,\ 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$のとき，次の方程式を満たす$\alpha$と$\theta$を求めよ．
\[ \left\{
\begin{array}{l}
2 \cos^2 \alpha-2\sqrt{2} \cos \alpha +1=0 \\
\sqrt{3} \sin \theta + \cos \theta = 2 \cos \alpha
\end{array}
\right. \]
(2)$2$次方程式$x^2-(2a+3)x+a+2=0$の$2$つの解が$\log_2 b$と$\log_2 2b$であるとき，$a$と$b$の値を求めよ．
(3)次の連立不等式が表す領域を$D$とする．
\[ \left\{
\begin{array}{l}
y+2 \leqq 2x \leqq 6-y \\
2y \geqq -1
\end{array}
\right. \]
領域$D$と放物線$y=px^2-1$が共有点を持つような定数$p$の範囲を求めよ．

$a,\ b,\ c$は実数の定数で，$a>0, b \geqq 0$とする．実数$x,\ y$に関する条件$p,\ q,\ r$を次のように定める．
\begin{align}
& p:x^2+y^2 \leqq 1 \nonumber \\
& q:\left( x-\frac{1}{2} \right)^2+\left( y-\frac{1}{2} \right)^2 \leqq a^2 \nonumber \\
& r:y \leqq \sqrt{b}x+c \nonumber
\end{align}
以下の各問に答えよ．

(1)条件$q$が条件$p$であるための十分条件となるとき，$a$の値の範囲を求めよ．
(2)条件$r$が条件$p$であるための必要条件となるとき，$b,\ c$が満たす条件を求め，それを$bc$平面に図示せよ．

平面上の曲線$C$は媒介変数$t$を用いて，
\[ x=\cos t,\quad y=a \sin t+ b \cos t \quad (0 \leqq t \leqq 2\pi) \]
と表される．$a,\ b$は定数であり，$a>0$を満たす．以下の問に答えよ．

(1)曲線$C$の方程式を$x,\ y,\ a,\ b$を用いて表し，$y$について解け．
(2)曲線$C$が$x$軸，$y$軸と交わる点の座標を求めよ．

定数$a,\ b$がそれぞれ$\displaystyle a=\frac{1}{\sqrt{2}},\ b=\frac{1}{\sqrt{2}}$のとき，以下の問に答えよ．

(3)$x,\ y$のそれぞれの最大値，最小値を求めよ．
(4)曲線$C$によって囲まれた部分の面積を求めよ．

正の定数$k$に対し，曲線$y=kx^2$を$C$とする．この曲線$C$を用いて，数列$\{a_n\}$を次のように定める．

\mon[(1)] $a_1>0$
\mon[(ii)] $n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対し，点P$_n (a_n,\ k(a_n)^2)$における曲線$C$の接線と$x$軸との交点の$x$座標を$a_{n+1}$とする．

このとき，次の問に答えよ．

(1)曲線$C$上の点P$_1$における接線の方程式を求めよ．
(2)$a_2$を$a_1$で表せ．
(3)$a_n$を$a_1$で表せ．
(4)曲線$C$，$x$軸，直線$x=a_n$，$x=a_{n+1}$で囲まれた図形の面積を$S_n$とする．$S_n$を$a_1$で表せ．
(5)$T_n=S_1+S_3+\cdots +S_{2n-1}$とする．$T_{n}$を$a_1$で表せ．
(6)$U_n=S_2+S_4+\cdots +S_{2n}$とする．$\displaystyle \frac{U_n}{T_n}$を求めよ．

Oを原点とする座標平面上に3点A$(1,\ 0)$，B$(1,\ 1)$，C$(0,\ c)$がある．ただし，$c$は正の定数とする．$t$を$0 \leqq t \leqq 1$を満たす実数とし，線分AB，BCを$t:(1-t)$に内分する点をそれぞれP，Qとする．ただし，例えば線分ABを$t:(1-t)$に内分する点は，$t=0$のときはA，$t=1$のときはBとする．$\triangle$OPQの面積を$S(t)$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)$t$が$0 \leqq t \leqq 1$の範囲を動くとき，$S(t)$の最小値とそのときの$t$の値を求めよ．
(2)$\displaystyle I=\int_0^1 S(t) \, dt$の値が台形OABCの面積の$\displaystyle \frac{2}{5}$倍に等しくなるとき，$c$と$I$の値をそれぞれ求めよ．
(3)$0 \leqq t <1$に対し，線分QOを$t:(1-t)$に内分する点をRとし，$\triangle$OPRの面積を$T(t)$とする．$T(t)$が$\displaystyle t=\frac{1}{3}$で最大となるような$c$の値と，そのときの$T(t)$の最大値を求めよ．

以下の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上，直線$y=kx \ (k \text{は定数})$に関する対称移動を$f$で表す．また座標平面上の点$\mathrm{P}$に対して，直線$\mathrm{OP}$を$\mathrm{O}$を中心として角$\displaystyle \frac{\pi}{4}$だけ回転して得られる直線$\ell$に$\mathrm{P}$から下ろした垂線と$\ell$の交点を$\mathrm{Q}$とし，$\mathrm{P}$を$\mathrm{Q}$に移す移動を$g$で表す．ただし$\mathrm{O}$は$g$により$\mathrm{O}$自身に移動するものとする．$f,\ g$をこの順に続けて行って得られる移動（合成変換$g \circ f$）を表す行列を$A$とおくとき，$A$およびその逆行列$A^{-1}$を求めよ．
(2)2次の正方行列$M=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$に対して，$T(M)=a+d,\ D(M)=ad-bc$と定める．このとき以下の命題を証明せよ． \\
「すべての自然数$n$に対して$T(M^n)=\{T(M)\}^n$が成り立つことと，$D(M)=0$であることは，互いに同値である．」