微分可能な関数$f(x)$と$2$つの定数$p,\ q$が次の条件を満たすとする．

「すべての実数$x,\ y$に対して，$f(x+y)=pf(x)+qf(y)$が成り立つ」
このとき，次の問いに答えよ．

(1)$f(0) \neq 0$とする．

(i) $p+q=1$であることを示せ．
(ii) $f(x)$は定数関数であることを示せ．

(2)$f(0)=0$で$f(x)$が定数関数でないとする．

(i) $p=1$であることを示せ．
(ii) $a=f^\prime(0)$とするとき，$f(x)$を$a$を用いて表せ．

定数でない微分可能な関数$f(x)$が，すべての実数$k,\ x$について
\[ \int_{k-x}^{k+x}f(t) \, dt=\frac{x}{2}\{f(k-x)+2f(k)+f(k+x)\} \]
を満たすとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$k$を定数とし，$g(x)=f(k+x)+f(k-x)$とおく．このとき，$g(x)$を$f(k)$，$x$，$g^\prime(x)$を用いて表せ．
(2)$x \neq 0$のとき$\displaystyle \left( \frac{g(x)}{x} \right)^\prime$を$f(k)$，$x$を用いて表せ．
(3)$g^\prime(x)$は定数関数であることを示せ．
(4)$f^\prime(k+x)=f^\prime(k-x)$であることを示せ．
(5)$f(x)$は$x$の$1$次関数であることを示せ．

$[ア]$～$[エ]$にあてはまる数または式を解答用紙の所定欄に記入せよ．

(1)次の等式
\[ \log_3x - \frac{1}{\log_9x} = (-1)^x \]
を満たす正の整数$x$の値は$[ア]$である
(2)定数関数でない関数$f(x)$が
\[ f(x) = x^2 - \int_0^1 (f(t)+x)^2dt \]
を満たすとき，$f(x)=[イ]$である．
(3)$0<\theta \leqq 180^\circ$とする．数列$\{a_n\}$を次で定める．
\[ a_1 = \cos\theta, \quad a_{n+1}= a_n^2-1 \]
このとき，$a_4 = a_5$となる$\cos\theta$の最大値は$[ウ]$である．
(4)体積が$1$の正四面体の各辺の中点を頂点とする正八面体の体積は$[エ]$である．

$f(x)$は実数全体で定義された関数とする．実数$a$に関する条件$(\mathrm{P})$を考える．

$(\mathrm{P})$ 正の実数$r$を十分小さく選べば，$|x-a|<r$をみたすすべての実数$x$に対して$f(x) \leqq f(a)$が成り立つ．

このとき，以下の問いに答えよ．

(1)実数$a$が条件$(\mathrm{P})$をみたし，かつ，$f(x)$が$x=a$で微分可能ならば，$f^\prime(a)=0$であることを証明せよ．
(2)関数$f(x)$が
\[ f(x)=\left\{
\begin{array}{ll}
|x|-x & (x<1 \text{のとき}) \\
|x^2-6x+8| & (x \geqq 1 \text{のとき})
\end{array}
\right. \]
で定義されているとき，条件$(\mathrm{P})$をみたすような実数$a$全体の集合を決定せよ．
(3)一般に，実数全体で定義された関数$f(x)$に対し，次の命題は正しいか．正しければ証明し，正しくなければ反例を挙げよ．

（命題） すべての実数$a$が条件$(\mathrm{P})$をみたすならば，$f(x)$は定数関数である．