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京都大学 国立 京都大学 2016年 第4問
$xyz$空間において,平面$y=z$の中で
\[ |x| \leqq \frac{e^y+e^{-y}}{2}-1,\quad 0 \leqq y \leqq \log a \]
で与えられる図形$D$を考える.ただし$a$は$1$より大きい定数とする.

この図形$D$を$y$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ.
神戸大学 国立 神戸大学 2016年 第2問
$a$を正の定数とし,$f(x)=|x^2+2ax+a|$とおく.以下の問に答えよ.

(1)$y=f(x)$のグラフの概形をかけ.
(2)$a=2$とする.すべての実数$x$に対して$f(x) \geqq 2x+b$が成り立つような実数$b$の取りうる値の範囲を求めよ.
(3)$\displaystyle 0<a \leqq \frac{3}{2}$とする.すべての実数$x$に対して$f(x) \geqq 2x+b$が成り立つような実数$b$の取りうる値の範囲を$a$を用いて表せ.また,その条件をみたす点$(a,\ b)$の領域を$ab$平面上に図示せよ.
神戸大学 国立 神戸大学 2016年 第3問
$a$を正の定数とし,$2$曲線$C_1:y=\log x$,$C_2:y=ax^2$が点$\mathrm{P}$で接しているとする.以下の問に答えよ.

(1)$\mathrm{P}$の座標と$a$の値を求めよ.
(2)$2$曲線$C_1$,$C_2$と$x$軸で囲まれた部分を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ.
神戸大学 国立 神戸大学 2016年 第2問
$a$を正の定数とし,$f(x)=|x^2+2ax+a|$とおく.以下の問に答えよ.

(1)$y=f(x)$のグラフの概形をかけ.
(2)$y=f(x)$のグラフが点$(-1,\ 2)$を通るときの$a$の値を求めよ.また,そのときの$y=f(x)$のグラフと$x$軸で囲まれる図形の面積を求めよ.
(3)$a=2$とする.すべての実数$x$に対して$f(x) \geqq 2x+b$が成り立つような実数$b$の取りうる値の範囲を求めよ.
北海道大学 国立 北海道大学 2016年 第1問
複素数平面上の点$0$を中心とする半径$2$の円$C$上に点$z$がある.$a$を実数の定数とし,
\[ w=z^2-2az+1 \]
とおく.

(1)$|w|^2$を$z$の実部$x$と$a$を用いて表せ.
(2)点$z$が$C$上を一周するとき,$|w|$の最小値を$a$を用いて表せ.
北海道大学 国立 北海道大学 2016年 第5問
空間の$2$点$\mathrm{A}(0,\ 0,\ 2)$,$\mathrm{B}(0,\ 1,\ 3)$を通る直線を$\ell$とし,$2$点$\mathrm{C}(1,\ 0,\ 0)$,$\mathrm{D}(1,\ 0,\ 1)$を通る直線を$m$とする.$a$を定数として,$\ell$上にも$m$上にもない点$\mathrm{P}(s,\ t,\ a)$を考える.

(1)$\mathrm{P}$から$\ell$に下ろした垂線と$\ell$の交点を$\mathrm{Q}$とし,$\mathrm{P}$から$m$に下ろした垂線と$m$の交点を$\mathrm{R}$とする.$\mathrm{Q}$,$\mathrm{R}$の座標をそれぞれ$s,\ t,\ a$を用いて表せ.
(2)$\mathrm{P}$を中心とし,$\ell$と$m$がともに接するような球面が存在するための条件を$s,\ t,\ a$の関係式で表せ.
(3)$s,\ t$と定数$a$が$(2)$の条件をみたすとき,平面上の点$(s,\ t)$の軌跡が放物線であることを示し,その焦点と準線を$a$を用いて表せ.
山口大学 国立 山口大学 2016年 第1問
関数$f(x)=|x^3-3x^2-3x+1|$について,次の問いに答えなさい.

(1)方程式$f(x)=0$の実数解をすべて求めなさい.
(2)$f(x)$の増減,極値を調べ,$y=f(x)$のグラフをかきなさい.ただし,グラフの変曲点と凹凸は調べなくてよい.
(3)$a$を実数の定数とする.$x$についての方程式$f(x)=a$が,ちょうど$4$個の異なる実数解をもつように,$a$の値の範囲を定めなさい.
広島大学 国立 広島大学 2016年 第2問
次の問いに答えよ.

(1)$a$を正の定数とする.関数$\displaystyle f(x)=\frac{e^x-ae^{-x}}{2}$の逆関数$f^{-1}(x)$を求めよ.
(2)$(1)$で求めた$f^{-1}(x)$の導関数を求めよ.
(3)$c$を正の定数とする.$x$軸,$y$軸,直線$x=c$および曲線$\displaystyle y=\frac{1}{\sqrt{x^2+c^2}}$で囲まれる部分の面積を求めよ.
広島大学 国立 広島大学 2016年 第1問
$a$を正の定数とし,座標平面上において,
\[ \text{円}C_1:x^2+y^2=1,\quad \text{放物線}C_2:y=ax^2+1 \]
を考える.$C_1$上の点$\displaystyle \mathrm{P} \left( \frac{\sqrt{3}}{2},\ -\frac{1}{2} \right)$における$C_1$の接線$\ell$は点$\mathrm{Q}(s,\ t)$で$C_2$に接している.次の問いに答えよ.

(1)$s,\ t$および$a$を求めよ.
(2)$C_2,\ \ell$および$y$軸で囲まれた部分の面積を求めよ.
(3)円$C_1$上の点が点$\mathrm{P}$から点$\mathrm{R}(0,\ 1)$まで反時計回りに動いてできる円弧を$C_3$とする.$C_2$,$\ell$および$C_3$で囲まれた部分の面積を求めよ.
広島大学 国立 広島大学 2016年 第5問
$n$を$2$以上の自然数とする.次の問いに答えよ.

(1)変量$x$のデータの値が$x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n$であるとし,
\[ f(a)=\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n (x_k-a)^2 \]
とする.$f(a)$を最小にする$a$は$x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n$の平均値で,そのときの最小値は$x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n$の分散であることを示せ.
(2)$c$を定数として,変量$y,\ z$の$k$番目のデータの値が

$y_k=k\phantom{c} \quad (k=1,\ 2,\ \cdots,\ n)$
$z_k=ck \quad (k=1,\ 2,\ \cdots,\ n)$

であるとする.このとき$y_1,\ y_2,\ \cdots,\ y_n$の分散が$z_1,\ z_2,\ \cdots,\ z_n$の分散より大きくなるための$c$の必要十分条件を求めよ.
(3)変量$x$のデータの値が$x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n$であるとし,その平均値を$\overline{x}$とする.新たにデータを得たとし,その値を$x_{n+1}$とする.$x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n,\ x_{n+1}$の平均値を$x_{n+1},\ \overline{x}$および$n$を用いて表せ.
(4)次の$40$個のデータの平均値,分散,中央値を計算すると,それぞれ,ちょうど$40,\ 670,\ 35$であった.

\begin{tabular}{|rrrrrrrrrr|}
\hline
$120$ & $10$ & $60$ & $70$ & $30$ & $20$ & $20$ & $30$ & $20$ & $60$ \\
$40$ & $50$ & $40$ & $10$ & $30$ & $40$ & $40$ & $30$ & $20$ & $70$ \\
$100$ & $20$ & $20$ & $40$ & $40$ & $60$ & $70$ & $20$ & $50$ & $10$ \\
$30$ & $10$ & $50$ & $80$ & $10$ & $30$ & $70$ & $10$ & $60$ & $10$ \\ \hline
\end{tabular}


新たにデータを得たとし,その値が$40$であった.このとき,$41$個のすべてのデータの平均値,分散,中央値を求めよ.ただし,得られた値が整数でない場合は,小数第$1$位を四捨五入せよ.
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