$A,\ B,\ C,\ D$の$4$つの箱がある．箱$A$には$8$個の白球と$8$個の黒球が入っている．箱$B$には$3$個の白球と$3$個の黒球が入っている．箱$C$と箱$D$は空である．このとき，次の問いに答えよ．

(1)箱$A$から同時に$2$個の球を取り出す．取り出された$2$個の球が共に白球である確率$p_1$，取り出された$2$個の球が共に黒球である確率$p_2$，取り出された$2$個の球が白球と黒球である確率$p_3$を求めよ．
(2)箱$A$から取り出された$2$個の球が白球か黒球の一色のみのとき，箱$B$からこの色の球$3$個を箱$C$に移す．一方，箱$A$から取り出された$2$個の球が白球と黒球のとき，箱$B$から白球$2$個と黒球$1$個を箱$C$に移す．次に，箱$C$から$1$個の球を取り出し，この球を箱$D$に移す．このとき，箱$D$の球が白球である確率$q_1$と黒球である確率$q_2$を求めよ．
(3)箱$A$から取り出された$2$個の球を箱$A$に戻した後に箱$A$から$1$個の球を取り出し，箱$B$に移す．次に，箱$D$に入っている$1$個の球を箱$A$に移す．以上の操作が完了した後の箱$A$に入っている黒球の個数が$6$となる確率$r_1$，$7$となる確率$r_2$，$8$となる確率$r_3$，$9$となる確率$r_4$，$10$となる確率$r_5$を求めよ．

年利率$0.05$，$1$年ごとの複利で借金をする．今年の年度初めに$1000$万円を借りた．$1$年後（今年の年度末）から返済を開始し，毎年，年度末に同じ金額を返済するものとする．このとき，以下の問に答えよ．ただし，$1.05^7=1.407$，$1.05^8=1.477$，$1.05^9=1.551$，$1.05^{10}=1.629$として計算せよ．

（注）複利での借金とは次のようなものである．ある年の年度初めに年利率$r$で$A$円を借りると，$1$年後の借金は$A(1+r)$円になる．ここで$B$円を返すと，$1$年目の年度末の借金残額は$\{A(1+r)-B\}$円になるから，$2$年後の借金は$\{A(1+r)-B\}(1+r)$円になる．

(1)毎年，年度末に$100$万円を返済するとき，$1$年目の年度末の借金残額はいくらになるか．
(2)$10$年目の年度末に返済を完了するためには，毎年，いくらずつ返済すればよいか．ただし，最後の答は，一万円未満を切り捨てて，一万円までの概数で答えよ．
(3)毎年，年度末に$100$万円を返済するとき，借金残額が初めて$500$万円以下となるのは何年目の年度末か．