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慶應義塾大学 私立 慶應義塾大学 2015年 第4問
企業$\mathrm{X}$が$n$個の新製品を同時に開発しており,各新製品の開発に成功する確率は$\displaystyle \frac{1}{9}$である.すべての開発の結果が出た後に企業$\mathrm{X}$が存続できるための必要十分条件は,$n$個のうち$1$個以上の新製品の開発に成功していることである.ただし,各新製品の開発は独立な試行であるとする.企業$\mathrm{X}$が$n$個の新製品すべての開発に失敗する確率を$p_n$,また企業$\mathrm{X}$が存続できる確率を$q_n$とする.以下では,$\log_{10}2=0.3010$,$\log_{10}3=0.4771$として計算せよ.

(1)$p_n,\ q_n$をそれぞれ$n$を用いて表せ.
(2)$q_n \geqq 0.9$を満たす最小の自然数$n$を求めよ.
(3)$\displaystyle \frac{k}{1000}<q_{50}<\frac{k+1}{1000}$を満たす自然数$k$を求めよ.
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「存続」とは・・・

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