赤いカードと青いカードが$10$枚ずつあり，それぞれ$0$から$9$までの数字が$1$つずつ書かれている．これら$20$枚から数枚を選ぶときの選び方に関する次の条件$P$を考える．

$P$：選んだカードのうち，赤いカードに書かれた数字はすべて偶数である．

(1)$P$であるための必要十分条件を下の選択肢からすべて選べ．ただし，選択肢に正解がない場合は，$Z$をマークせよ．
(2)$P$の否定を下の選択肢からすべて選べ．ただし，選択肢に正解がない場合は，$Z$をマークせよ．
選択肢：
\mon[$\mathrm{A}$] 選んだカードのうち，青いカードに書かれた数字はすべて奇数である．
\mon[$\mathrm{B}$] 選んだカードのうち，奇数が書かれたカードはすべて青い．
\mon[$\mathrm{C}$] 選んだカードのうち，偶数が書かれたカードはすべて赤い．
\mon[$\mathrm{D}$] 選んだカードのうちに，偶数が書かれた青いカードが存在する．
\mon[$\mathrm{E}$] 選んだカードのうちに，奇数が書かれた赤いカードが存在する．
\mon[$\mathrm{F}$] 選んだカードのうちに，偶数が書かれた青いカードは存在しない．
\mon[$\mathrm{G}$] 選んだカードのうちに，奇数が書かれた赤いカードは存在しない．

次の文章中の$[ア]$から$[ヨ]$までに当てはまる数字$0$～$9$を求めよ．

(1)実数$a$に対し，$2$つの$2$次関数

$f(x)=x^2-2a^2x-a^4-2a^2-8$
$g(x)=-x^2+2(a^2-4)x-3a^4-2a^3-16$

を考える．

(i) すべての実数$x$に対して$g(x)<f(x)$が成り立つための必要十分条件は
\[ a>-[ア] \quad \text{かつ} \quad a \neq [イ] \]
である．
(ii) $g(x)$の最大値は$-[ウ]a^4-[エ]a^3-[オ]a^2$である．
(iii) 次の条件$(*)$を満たす実数$b$がただ$1$つ存在するとする．

$(*)$ \quad 「すべての実数$x$に対して \ $g(x) \leqq b \leqq f(x)$ \ が成り立つ．」

このとき，
\[ a=-[カ] \quad \text{または} \quad a=[キ] \]
であり，$a=-[カ]$のときは$b=-[ク][ケ]$，$a=[キ]$のときは$b=-[コ][サ]$である．

(2)次の条件で定められる数列$\{a_n\}$，$\{b_n\}$を考える．
\[ a_1=1,\quad b_1=-2,\quad \left\{ \begin{array}{lcl}
a_{n+1} &=& 8a_n+b_n \\
b_{n+1} &=& -25a_n-2b_n
\end{array} \right. \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
このとき
\[ [シ]a_{n+1}+b_{n+1}=[ス]([シ]a_n+b_n) \]
であるので，
\[ b_n={[セ]}^n-[ソ]a_n \]
である．これにより
\[ \frac{a_{n+1}}{{[タ]}^n}=\frac{a_n}{{[タ]}^{n-1}}+1 \]
となる．したがって
\[ a_n=n \cdot {[チ]}^{n-\mkakko{ツ}} \]
となる．
(3)平面上に，$\triangle \mathrm{ABC}$とその内部の点$\mathrm{O}$をとったとき，

$\mathrm{OA}=1+\sqrt{3}$
$\mathrm{OB}=\sqrt{3}$
$\mathrm{OC}=\sqrt{2}$
$\sqrt{3} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+2 \overrightarrow{\mathrm{OB}}+3 \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{0}}$

となっていた．
このとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$の値は$\displaystyle \frac{-[テ]-\sqrt{[ト]}}{[ナ]}$であるので
\[ \angle \mathrm{AOB}={[ニ][ヌ][ネ]}^\circ \]
である．同様に$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=-[ノ]-\sqrt{[ハ]}$から
\[ \angle \mathrm{AOC}={[ヒ][フ][ヘ]}^\circ \]
である．したがって，
\[ \angle \mathrm{BOC}={[ホ][マ][ミ]}^\circ \]
となる．また，
\[ \sin {[ホ][マ][ミ]}^\circ=\frac{\sqrt{[ム]} \left( [メ]+\sqrt{[モ]} \right)}{4} \]
である．したがって，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$\displaystyle [ヤ]+\frac{[ユ] \sqrt{[ヨ]}}{2}$である．

曲線$C:y=x^3$上に，次のようにして点$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\mathrm{P}_3$，$\cdots$，$\mathrm{P}_n$，$\cdots$をとる．

(i) $\mathrm{P}_1$は$C$上の与えられた点とする．
(ii) $\mathrm{P}_n$を通り，$\mathrm{P}_n$とは異なる点で$C$と接する直線が$1$つだけ存在するとき，その直線を$\ell_n$とし，$\ell_n$と$C$との接点を$\mathrm{P}_{n+1}$とする．もしこのような直線$\ell_n$が存在しない場合には$\mathrm{P}_{n+1}$は$\mathrm{P}_n$と同一の点とする．

点$\mathrm{P}_n$の$x$座標を$x_n$とするとき，次の問に答えよ．


(1)直線$\ell_n$が存在する場合$\displaystyle x_{n+1}=\frac{[ト]}{[ナ]}x_n$である．

(2)$\mathrm{P}_1$を原点とするとき$\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n=[ニ]$である．
(3)$\mathrm{P}_1$を点$(2,\ 8)$とするとき$\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n=[ヌ]$である．

$x>-1$で定義された関数$f(x)$は，等式
\[ (x+1)f(x)-\int_0^x f(t) \, dt=\log (x+1)+x-1 \]
を満たしている．

(1)このとき$f(0)=[アイ]$であり，さらに
\[ f^\prime(x)=\frac{x+[ウ]}{(x+[エ])^{\mkakko{オ}}} \]
である．
(2)これをもとに$f(x)$を求めると$f(x)=[カ]-[キ]$である．ただし，$[カ]$，$[キ]$には，次の$\nagamaruichi$～$\nagamaruroku$の中から最も適切なものをそれぞれ一つ選ぶこと．なお，同じ選択肢を選んでもよいものとする．
\[ \nagamaruichi \log x \quad \nagamaruni \log (x+1) \quad \nagamarusan x \log (x+1) \quad \nagamarushi \frac{1}{x} \quad \nagamarugo \frac{1}{x+1} \quad \nagamaruroku \frac{x}{x+1} \]
(3)$a>0$とする．関数$g(x)=\log x$について，区間$[a,\ a+1]$で平均値の定理を用いると，$g(a+1)-g(a)=[ク]$となる実数の定数$c$が区間$[ケ]$に存在する．これを用いると自然数$m$に対する$f(e^m)$と$m$の大小は$f(e^m) [コ] m$となることがわかる．ただし，$[ク]$，$[ケ]$には，次の選択肢$\mathrm{I}$の$\nagamaruichi$～$\nagamarushichi$の中から，$[コ]$には，選択肢$\mathrm{II}$の$\nagamaruichi$～$\nagamarusan$の中から最も適切なものをそれぞれ一つずつ選ぶこと．

選択肢$\mathrm{I}$
$\displaystyle \nagamaruichi c \qquad \nagamaruni c+1 \qquad \nagamarusan \frac{1}{c} \qquad \nagamarushi \frac{1}{c+1} \qquad \nagamarugo \log c$
$\nagamaruroku [a,\ a+1] \qquad \nagamarushichi (a,\ a+1)$
選択肢$\mathrm{II}$
$\displaystyle \nagamaruichi < \qquad \nagamaruni > \qquad \nagamarusan =$

(4)さらに
\[ \int_0^{e^x-1} f(t) \, dt=(x-[サ])(e^x-[シ]) \]
となるので，自然数$n$に対して$\displaystyle p(n)=e^{\frac{2}{3n}}-1$とおくと
\[ \lim_{n \to \infty} n \int_0^{p(n)} f(t) \, dt=\frac{[スセ]}{[ソ]} \]
である．

平面上に$2$つの円があり，それぞれの半径は$7$と$4$である．この$2$つの円の中心間の距離を$d$，共通接線の数を$n$とすると，$d$の値に応じて$n$の値が定まる．ただし，共通接線が存在しない場合は$n=0$とする．以下の問に答えよ．

(1)$d$が任意の値をとるとき，$n$の最大値は$[ヌ]$である．
(2)$d \leqq 11$のとき，$n$の最大値は$[ネ]$である．
(3)$d<[ノ]$のとき，$n=0$である．

$a$を定数として，曲線$y=x^3+x^2+a$に関する次の問いに答えよ．

(1)$x=t$における曲線の接線の方程式を求めよ．
(2)$(1)$の接線が$(1,\ 0)$を通るとき，$a$を$t$の関数として求めよ．
(3)$(2)$の条件のもとで，接線が$3$本存在する$a$の範囲を求めよ．

次の各問に答えよ．

(1)$x$の関数$f(x),\ g(x)$をそれぞれ$f(x)=-x^2+2x+2$，$g(x)=x^2+2x+a$とする．ただし，$a$は定数とする．
$(1$-$1)$ $g(x)<f(x)$を満たす実数$x$が区間$-2 \leqq x \leqq 2$に存在するような，定数$a$の値の範囲を求めよ．
$(1$-$2)$ $g(x_1)<f(x_2)$を満たす実数$x_1$および$x_2$が区間$-2 \leqq x \leqq 2$に存在するような，定数$a$の値の範囲を求めよ．
(2)白球$4$個と黒球$n$個が入った袋から同時に$2$個の球を取り出すとき，$2$個の球が同色である確率を$p_n$とする．ただし，球はすべて同じ確率で取り出されるものとする．
$(2$-$1)$ $n=3$のとき，$p_n$の値を求めよ．
$(2$-$2)$ $n \geqq 2$とする．このとき，$\displaystyle p_n \geqq \frac{1}{2}$となる整数$n$の最小値を求めよ．
(3)$0 \leqq x<2\pi$のとき，不等式$\sin x+\sqrt{3} \cos x \geqq \sqrt{2}$を解け．
(4)$\log_{10}2=0.3010,\ \log_{10}3=0.4771$とする．$6^{100}$の桁数を求めよ．

$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して，関数$F_n(x)$を
\[ F_1(x)=\frac{1}{1+x},\quad F_{n+1}(x)=\frac{1}{1+F_n(x)} \]
で定義する．

(1)$F_3(x)$を求めると，$[$11$]$である．次に$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して，数列$\{p_n\}$を
\[ p_1=1,\quad p_2=1,\quad p_{n+2}=p_{n+1}+p_n \]
で定義する．
(2)$\displaystyle F_n(x)=\frac{a_n+b_n x}{c_n+d_n x}$で与えられるとき，$n \geqq 2$に対して$a_n,\ b_n,\ c_n,\ d_n$を数列$\{p_n\}$を用いて表すと$(a_n,\ b_n,\ c_n,\ d_n)=[$12$]$である．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{p_{n+1}}{p_n}$が存在することを用いて$\displaystyle \lim_{n \to \infty}F_n(0)$の値を求めると$[$13$]$である．

以下の問いに答えよ．

(1)$a,\ b$を実数とする．また，実数$x$に対する$2$つの条件$x(x^2+ax+b)=0$と$x=0$が，互いに同値であるとする．このとき，$a$と$b$がみたす関係を求め，点$(a,\ b)$が存在する領域を座標平面に図示せよ．
(2)方程式$20 \cdot {15}^{-x}+{225}^x-21=0$を解け．

数列$\{a_n\}$，$\{b_n\}$が以下の漸化式をみたすとする．
\[ a_1=10,\quad b_1=24,\quad a_{n+1}=2a_n-8,\quad b_{n+1}=\frac{1}{2}b_n+6 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
以下の問いに答えよ．

(1)数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$の一般項をそれぞれ求めよ．
(2)$3$辺の長さが，それぞれ$a_2,\ b_2,\ 6$である三角形は存在しないことを示せ．
(3)$3$辺の長さが，それぞれ$a_n,\ b_n,\ 6$である三角形が存在するような$n$の値をすべて求めよ．