平面上に，点O，Aを$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=1$であるようにとる．Oを中心にAを反時計回りに，$\displaystyle \frac{\pi}{6}$回転させた位置にある点をB，$\displaystyle \frac{\pi}{2}$回転させた位置にある点をCとする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$と表す．次の問に答えよ．

(1)$\overrightarrow{b}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)$\triangle$OABの面積と$\triangle$OBCの面積をそれぞれ求めよ．
(3)直線ACと直線OBとの交点をDとする．また，Bを通って直線ACに平行な直線と，直線OAとの交点をEとする．$\overrightarrow{d}=\overrightarrow{\mathrm{OD}},\ \overrightarrow{e}=\overrightarrow{\mathrm{OE}}$と表す．このとき，$|\overrightarrow{d}|$と$|\overrightarrow{e}|$をそれぞれ求めよ．
(4)次の式を満たす点Pの存在する領域の面積を求めよ．
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{e}+t\overrightarrow{c},\quad (0 \leqq s,\ 0 \leqq t,\ 1 \leqq s+t \leqq 2) \]

$y=x^2$を平行移動してできる放物線$C$は点$\mathrm{Q}(1,\ 1)$を通り，その軸の方程式は$x=p$で，$p<1$であるとする．点$\mathrm{Q}$における放物線$C$の接線を$\ell_1$，点$\mathrm{Q}$において$\ell_1$に直交する直線を$\ell_2$とし，$\ell_1$と$x$軸との交点を$\mathrm{A}$，$\ell_2$と$x$軸との交点を$\mathrm{B}$とする．また，点$\mathrm{Q}$の位置ベクトルを$\overrightarrow{q}=(1,\ 1)$で表し，直線$\ell_1,\ \ell_2$の方向ベクトルをそれぞれ$\overrightarrow{a}=(1,\ m),\ \overrightarrow{b}=(1,\ n)$とする．

(1)放物線$C$の方程式を$p$を使って表せ．
(2)$m$および$n$をそれぞれ$p$で表せ．
(3)$\triangle \mathrm{QAB}$の内部および周上の点を表す位置ベクトルを，実数$s,\ t$を用いて$\overrightarrow{v}=\overrightarrow{q}+s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}$と表すとき，点$(s,\ t)$の存在する領域を図示せよ．

2回微分可能な関数$f(x)$，すなわち$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$及び$f^\prime(x)$の導関数$f^{\prime\prime}(x)$が存在する関数が，すべての実数$x$について
\[ f^\prime(x)>f^{\prime\prime}(x) \]
を満たしている．また，$a<b$とする．

(1)$\displaystyle \frac{f^\prime(a)}{e^a}>\frac{f^\prime(b)}{e^b}$を示せ．
(2)$\displaystyle \frac{f^\prime(a)}{e^a}>\frac{f(b)-f(a)}{e^b-e^a}>\frac{f^\prime(b)}{e^b}$を示せ．
(3)すべての実数$x$について$f(x)>0$であるとき，すべての実数$x$について
\[ f(x)>f^\prime(x)>0 \]
が成立することを示せ．

空間上に相異なる$4$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$があり，線分$\mathrm{OA}$，$\mathrm{OB}$，$\mathrm{OC}$は互いに直交している．次の問いに答えよ．

(1)$4$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$からの距離が全て等しくなる点がただ一つ存在する．この点を$\mathrm{G}$とする．線分$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{M}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{MG}}$が直交することを用いて，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OG}}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|^2 \]
となることを示せ．ただし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OG}}$は$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$の内積とする．
(2)(1)を用いて，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OG}}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}) \]
が成り立つことを示せ．
(3)$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{P}(1,\ \sqrt{3},\ 0)$，$\displaystyle \mathrm{Q} \left( -\frac{\sqrt{6}}{2},\ \frac{\sqrt{2}}{2},\ \sqrt{2} \right)$，$\displaystyle \mathrm{R} \left( \frac{\sqrt{6}}{4},\ -\frac{\sqrt{2}}{4},\ \frac{\sqrt{2}}{2} \right)$とする．このとき線分$\mathrm{OP}$，$\mathrm{OQ}$，$\mathrm{OR}$は互いに直交していることを示せ．また，$4$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$を通る球面の半径を求めよ．

$xy$平面上の点$(x_1,\ y_1)$に対して，点$(x_2,\ y_2)$，$(x_3,\ y_3)$，$\cdots$を次の式で順に定める．
\[ \left( \begin{array}{c}
x_{n+1} \\
y_{n+1}
\end{array} \right)=\left\{ \begin{array}{ll}
\left( \begin{array}{cc}
0 & -1 \\
1 & 0
\end{array} \right) \left( \begin{array}{c}
x_{n} \\
y_{n}
\end{array} \right) & (y_n \geqq 0 \text{のとき}) \\
\left( \begin{array}{cc}
-1 & 0 \\
0 & -1
\end{array} \right) \left( \begin{array}{c}
x_{n} \\
y_{n}
\end{array} \right) & (y_n<0 \text{のとき})
\end{array} \right. \]
以下の問に答えよ．

(1)$(x_1,\ y_1) = (-1,\ 2)$のとき，$(x_3,\ y_3)$を求めよ．
(2)$(x_1,\ y_1) = (1,\ 0)$のとき，$(x_5,\ y_5)$を求めよ．
(3)$x_1>0$かつ$y_1>0$のとき，$(x_4,\ y_4) = (x_1,\ y_1)$となることを示せ．
(4)$(x_n,\ y_n)=(x_1,\ y_1)$となる$2$以上の整数$n$が存在しないとき，点$(x_1,\ y_1)$はどのような範囲にあるかを図示せよ．

$b,\ c$を実数とし，$2$次方程式$x^2+bx+c=0$の解を$\alpha,\ \beta$とする．次の$[　]$をうめよ．

(1)$\alpha=\cos \theta$，$\beta=\sin \theta$となる$0 \leqq \theta<2\pi$が存在すれば，$b$と$c$は等式$[$1$]$を満たす．
(2)$\alpha=3 \cos \theta$，$\beta=\sin \theta$となる$0 \leqq \theta<2\pi$が存在するという条件のもとで，$b$のとりうる最大の値は$[$2$]$であり，このとき$\alpha=[$3$]$，$\beta=[$4$]$である．また，同じ条件のもとで$c$のとりうる最大の値は$[$5$]$であり，このとき$\theta=[$6$]$，$[$7$]$である．ただし，$[$6$]<[$7$]$とする．

次の問いに答えよ．

(1)平面上の$4$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(0,\ 2)$，$\mathrm{B}(4,\ 0)$，$\mathrm{C}(1,\ 1)$に対し，線分$\mathrm{BC}$の垂直二等分線は$[ア]x+y+[イ]=0$となる．また，平面上で$\mathrm{PC} \leqq \mathrm{PO}$，$\mathrm{PC} \leqq \mathrm{PA}$，$\mathrm{PC} \leqq \mathrm{PB}$を満たす点$\mathrm{P}$の存在する範囲は$3$点$(0,\ 1)$，$(2,\ [ウ])$，$([エ],\ [オ])$を頂点とする三角形の内部および周であり，この三角形の面積は$[カ]$である．
(2)平面上に$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$があり，点$\mathrm{O}$を定点として，$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$は次の条件を満たしながら動く．

$\angle \mathrm{AOB}=60^\circ$
$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}|^2+|\overrightarrow{\mathrm{OA}}-\overrightarrow{\mathrm{OB}}|^2=8$

さらに，点$\mathrm{C}$を$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}$となるようにとるとき，$|\overrightarrow{\mathrm{OC}}|$の最大値は$\sqrt{[キ]}$である．

$xy$平面上の$3$点$(0,\ -13)$，$(1,\ -6)$，$(3,\ 2)$を通る$2$次関数のグラフ$y=f(x)$があり，これと$x$軸で囲まれた部分の中に存在する平行四辺形$\mathrm{ABCD}$を考える．ここで，平行四辺形の辺$\mathrm{AB}$は$x$軸上にあり，点$\mathrm{C}$と点$\mathrm{D}$は$2$次関数のグラフ上にある．ただし，点$\mathrm{A}$の$x$座標は点$\mathrm{B}$の$x$座標より小さく，点$\mathrm{C}$の$x$座標は$4$より大きいものとする．このとき，次の問に答えよ．

(1)上の条件を満たす$f(x)$を求めよ．
(2)点$\mathrm{C}$の$x$座標を$t$とするとき，平行四辺形$\mathrm{ABCD}$の面積$S$を$t$を用いて表せ．
(3)平行四辺形$\mathrm{ABCD}$の面積$S$の最大値を求めよ．

$k$を実数の定数とするとき，下記の問いに答えなさい．

(1)$f(x)=2x^3+x^2-5x+3$，$g(x)=x^4+x^2-(k+1)x+k$とおく．$k$の値が変化するとき，曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$の共有点の個数を調べなさい．
(2)$x$についての方程式$\displaystyle 6 \tan x+\cos x-k \sin x=0 \left( 0<x<\frac{\pi}{2} \right)$を考える．$k$の値が変化するとき，実数解の個数が$2$個であるのは$[$1$]$のときである．また実数解の個数が$1$個であるのは$[$2$]$のときであり，実数解が存在しないのは$[$3$]$のときである．
$[$1$]$，$[$2$]$，$[$3$]$に該当する$k$の条件を答えなさい．

次の問いに答えよ．

(1)方程式$x^2-xy-4x+2y+3=0$が表す曲線の概形を描け．その曲線が$x$軸および$y$軸と交差する場合にはその交点の座標を明記すること．また，漸近線が存在する場合には，その漸近線も描き，その式を明記すること．
(2)(1)で描かれた曲線と$x$軸および$y$軸で囲まれる図形をA，また(1)で描かれた曲線が$x$軸と$y$軸で交わる点を結んでできる図形をBとする．領域$A \cap B$の面積を求めよ．