$X$を2次の正方行列として以下の問いに答えよ．

(1)$p,\ q$を実数とし$q \neq 0$とする．$\biggl( \begin{array}{cc}
p & q \\
0 & p
\end{array} \biggr)X=X \biggl( \begin{array}{cc}
p & q \\
0 & p
\end{array} \biggr)$ならば，$X$は$X=\biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
0 & a
\end{array} \biggr)$の形に表せることを示せ．
(2)$X=\biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
0 & a
\end{array} \biggr)$のとき，自然数$n$に対し$X^n=\biggl( \begin{array}{cc}
a^n & na^{n-1}b \\
0 & a^n
\end{array} \biggr)$となることを数学的帰納法により示せ．ただし$a^0=1$とする．
(3)$m,\ n$を自然数とする．$X$の各成分は0以上の整数で，さらに$X^{n+1}-X^n=\biggl( \begin{array}{cc}
2^{m+1} & 2^{50} \\
0 & 2^{m+1}
\end{array} \biggr)$を満たすものとする．このような行列$X$が存在するような組$(m,\ n)$をすべて求めよ．

$a,\ b$は実数で，$a>1$とする．$t$の関数
\[ f(t)=2t^3-3(a+1)t^2+6at+b \]
について，次の問いに答えよ．

(1)関数$f(t)$の極値を，$a,\ b$を用いて表せ．
(2)$a$の値を$x$座標，$b$の値を$y$座標とする$xy$平面上の点P$(a,\ b)$を考える．このとき，3次方程式$f(t)=0$が相異なる3つの実数解をもつような点P$(a,\ b)$の存在する領域$D$を$xy$平面上に図示せよ．
(3)$D$および$D$の境界からなる領域を$E$とする．領域$E$のうち，
\[ y \leqq -x^2+4x-11 \]
を満たす部分の面積を求めよ．

行列$A$で表される移動によって，点$(x,\ y)$は点$(x+y,\ x-y)$に移る．行列$B$で表される移動によって，点$(x,\ y)$は点$(2x+y+ax,\ x+2y-ay)$に移る．行列$X$が$AX=B$を満たすとき，次の問いに答えよ．

(1)$X$の逆行列が存在しないような$a$の値を求めよ．
(2)$a$が整数で，行列$X^{-1}$のすべての成分が整数になるような$a$をすべて求めよ．

$a,\ b$を$a>b>0$を満たす定数とし，
\[ \left\{
\begin{array}{l}
a_1=a, a_{n+1}=a_n^2+b_n^2 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \\
b_1=b, b_{n+1}=2a_nb_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)
\end{array}
\right. \]
で定義される数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$を考える．次の問いに答えよ．

(1)数列$\{c_n\}$を$c_n=a_n+b_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$により定義するとき，その一般項$c_n$を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$の一般項$a_n,\ b_n$を$a,\ b$を用いて表せ．
(3)極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{b_n}{a_n}$が存在するかどうかを調べ，存在する場合はその値を求めよ．
(4)無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n$が収束するとき，$a+b<1$が成り立つことを証明せよ．

一辺の長さが$2s$である正三角形$\mathrm{ABC}$の3つの頂点を$\mathrm{A}(-s,\ 0)$，$\mathrm{B}(s,\ 0)$，C$(0,\ \sqrt{3}s)$とする．$\mathrm{AP}^2+\mathrm{BP}^2+\mathrm{CP}^2=t$であるような点$\mathrm{P}$について，以下の問いに答えよ．

(1)このような点$\mathrm{P}$が存在するための$s,\ t$についての必要十分条件と，この条件の下での点$\mathrm{P}$の軌跡の方程式を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$の軌跡が頂点$\mathrm{A}$を通る場合の$s$と$t$の関係式を求めよ．またこのときの点$\mathrm{P}$の軌跡を$\triangle \mathrm{ABC}$とともに図示せよ．

$xy$平面上に2つの円
\begin{align}
& C_1:x^2+y^2=16 \nonumber \\
& C_2:(x-6)^2+y^2=1 \nonumber
\end{align}
がある．このとき以下の問いに答えよ．

(1)$C_1$上の点$(a,\ b)$を接点とする接線の方程式を求めよ．
(2)$C_1$と$C_2$の両方に接する接線の方程式をすべて求めよ．
(3)点Pを通る任意の直線が$C_1$または$C_2$の少なくとも一方と共有点を持つとする．このような点Pの存在する領域を図示せよ．

$xy$平面上に2つの円
\begin{align}
& C_1:x^2+y^2=16 \nonumber \\
& C_2:(x-6)^2+y^2=1 \nonumber
\end{align}
がある．このとき以下の問いに答えよ．

(1)$C_1$と$C_2$の両方に接する接線の方程式をすべて求めよ．
(2)点Pを通る任意の直線が$C_1$または$C_2$の少なくとも一方と共有点を持つとする．このような点Pの存在する領域を図示せよ．

$xy$平面上に2つの円
\begin{align}
& C_1:x^2+y^2=16 \nonumber \\
& C_2:(x-6)^2+y^2=1 \nonumber
\end{align}
がある．このとき以下の問いに答えよ．

(1)$C_1$と$C_2$の両方に接する接線の方程式をすべて求めよ．
(2)点Pを通る任意の直線が$C_1$または$C_2$の少なくとも一方と共有点を持つとする．このような点Pの存在する領域を図示せよ．

$p$を0でない実数とし，行列$A,\ B$をそれぞれ次のように定める．このとき，以下の問いに答えよ．
\[ A=\biggl( \begin{array}{cc}
p-\frac{1}{p} & 1 \\
2 & -p
\end{array} \biggr),\quad B=\biggl( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
\frac{1}{p} & -1
\end{array} \biggr) \]

(1)等式$A^{-1}=aA+bE$が成り立つ定数$a,\ b$を$p$で表せ．ただし，$E$は2次の単位行列である．
(2)$AB=C$とおく．$E+C$の逆行列が存在することを示し，さらに自然数$m$に対して等式
\[ E-C+C^2-C^3+\cdots -C^{2m-1}=(E-C^{2m})(E+C)^{-1} \]
が成り立つことを示せ．
(3)$p=\sqrt{3}$とし，自然数$n$に対し$D_n=E-C+C^2-C^3+\cdots -C^{6n-1}$とおく．行列$D_n$の表す1次変換により点$(2,\ 3)$が点$(x_n,\ y_n)$に移されるとする．$x_n$および$\displaystyle \frac{y_n}{x_n}$を求めよ．

点$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に$2$点$\mathrm{A}(1,\ 1)$，$\mathrm{B}(1,\ -1)$がある．このとき，以下の各問に答えよ．

(1)実数$s,\ t$によって，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}$で定められる点$\mathrm{P}$を考える．$s,\ t$が$s+2t \leqq 2$，$s \geqq 0$，$t \geqq 0$を満たしながら動くとき，点$\mathrm{P}$の存在する範囲を求めよ．さらに，その範囲が表す図形を図示せよ．
(2)実数$u$によって，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=(1-u)\overrightarrow{\mathrm{QA}}+2u\overrightarrow{\mathrm{QB}}$で定められる点$\mathrm{Q}$を考える．$u$が$0 \leqq u \leqq 1$を満たしながら動くとき，点$\mathrm{Q}$の存在する範囲を求めよ．さらに，その範囲が表す図形を図示せよ．
(3)(1)で得られた図形が，(2)で得られた図形によって$2$つの図形に分割される．この$2$つの図形の面積をそれぞれ$S,\ T (S \leqq T)$とおくとき，$\displaystyle \frac{S}{T}$の値を求めよ．