「存在」について
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国立 富山大学 2011年 第2問$p$を実数とする．すべての実数$x$に対して
\[ u(x)=x^2+p\int_0^1 (1+tx)u(t) \, dt \]
をみたす関数$u(x)$が存在するとき，次の問いに答えよ．
(1)$u(x)$は2次関数であることを示せ．
(2)$p \neq 8+2\sqrt{13}$かつ$p \neq 8-2\sqrt{13}$であることを示せ．
\[ u(x)=x^2+p\int_0^1 (1+tx)u(t) \, dt \]
をみたす関数$u(x)$が存在するとき，次の問いに答えよ．
(1)$u(x)$は2次関数であることを示せ．
(2)$p \neq 8+2\sqrt{13}$かつ$p \neq 8-2\sqrt{13}$であることを示せ．
国立 島根大学 2011年 第2問数列$\{a_n\}$と$\{b_n\}$を
\[ a_1=3, b_1=\frac{3}{2}, a_{n+1}=b_n, b_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2} \quad (n \geqq 1) \]
で定義する．このとき，次の問いに答えよ．
(1)すべての$n \geqq 1$に対して$a_{n+1}+\alpha b_{n+1}=\beta(a_n+\alpha b_n)$が成り立つ$\alpha,\ \beta$の値の組をすべて求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(3)$a_n=2$となる自然数$n$の存在性を調べよ．
\[ a_1=3, b_1=\frac{3}{2}, a_{n+1}=b_n, b_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2} \quad (n \geqq 1) \]
で定義する．このとき，次の問いに答えよ．
(1)すべての$n \geqq 1$に対して$a_{n+1}+\alpha b_{n+1}=\beta(a_n+\alpha b_n)$が成り立つ$\alpha,\ \beta$の値の組をすべて求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(3)$a_n=2$となる自然数$n$の存在性を調べよ．
国立 山口大学 2011年 第1問2つの関数$y=ax^2+b,\ y=|(x-1)(x+1)|$のグラフが共有点をもつための必要十分条件を$a,\ b$を用いて表し，点$(a,\ b)$の存在する領域を座標平面上に図示しなさい．
国立 富山大学 2011年 第2問$p$を実数とする．すべての実数$x$に対して
\[ u(x)=x^2+p\int_0^1 (1+tx)u(t) \, dt \]
をみたす関数$u(x)$が存在するかどうかを考える．このとき，次の問いに答えよ．
(1)もしこのような$u(x)$が存在すれば，$u(x)$は2次関数であることを示せ．
(2)このような$u(x)$が存在しないような$p$の値をすべて求めよ．
\[ u(x)=x^2+p\int_0^1 (1+tx)u(t) \, dt \]
をみたす関数$u(x)$が存在するかどうかを考える．このとき，次の問いに答えよ．
(1)もしこのような$u(x)$が存在すれば，$u(x)$は2次関数であることを示せ．
(2)このような$u(x)$が存在しないような$p$の値をすべて求めよ．
国立 三重大学 2011年 第4問関数$\displaystyle f(x)=-\frac{1}{2x}+\tan x,\ g(x)=x\cos (x^2)$について以下の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle 0< \alpha < \frac{\pi}{2}$の範囲にある$\alpha$で$f(\alpha)=0$となるものがただひとつ存在することを示せ．
(2)閉区間$\displaystyle \left[\; 0,\ \sqrt{\frac{\pi}{2}} \; \right]$における$g(x)$の増減表を書け．必要ならば(1)の$\alpha$を用いてよい．
(3)$\displaystyle 0< \beta < \sqrt{\frac{\pi}{2}}$の範囲にあり$g^{\prime}(\beta)=0$を満たす$\beta$を(1)の$\alpha$を用いて表せ．また$g(x)=x \cos (x^2) \ (0 \leqq x \leqq \beta)$の逆関数を$h(x)$とする．このとき$y=g(x)$のグラフと$y=h(x)$のグラフの関係に注意して，定積分$\displaystyle \int_0^{g(\beta)} h(x) \, dx$を$\alpha$を用いて表せ．
(1)$\displaystyle 0< \alpha < \frac{\pi}{2}$の範囲にある$\alpha$で$f(\alpha)=0$となるものがただひとつ存在することを示せ．
(2)閉区間$\displaystyle \left[\; 0,\ \sqrt{\frac{\pi}{2}} \; \right]$における$g(x)$の増減表を書け．必要ならば(1)の$\alpha$を用いてよい．
(3)$\displaystyle 0< \beta < \sqrt{\frac{\pi}{2}}$の範囲にあり$g^{\prime}(\beta)=0$を満たす$\beta$を(1)の$\alpha$を用いて表せ．また$g(x)=x \cos (x^2) \ (0 \leqq x \leqq \beta)$の逆関数を$h(x)$とする．このとき$y=g(x)$のグラフと$y=h(x)$のグラフの関係に注意して，定積分$\displaystyle \int_0^{g(\beta)} h(x) \, dx$を$\alpha$を用いて表せ．
国立 東京医科歯科大学 2011年 第2問座標平面において，原点をOとし，次のような3点P，Q，Rを考える．
\mon[(a)] 点Pは$x$軸上にあり，その$x$座標は正である．
\mon[(b)] 点Qは第1象限にあって，$\text{OQ}=\text{QP}=1$を満たす．
\mon[(c)] 点Rは第1象限にあって，$\text{OR}+\text{RP}=2$を満たし，かつ線分RPが$x$軸に垂直となる．
ただし，座標軸は第1象限に含めないものとする．このとき以下の各問いに答えよ．
(1)上の条件を満たす2点Q，Rが存在するような，点Pの$x$座標が取りうる値の範囲を求めよ．
(2)(1)の範囲を点Pが動くとき，線分QRが通過する領域を図示し，その面積を求めよ．
(3)線分OPの中点をMとする．(1)の範囲を点Pが動くとき，四角形MPRQの面積を最大にする点Pの$x$座標を求めよ．
\mon[(a)] 点Pは$x$軸上にあり，その$x$座標は正である．
\mon[(b)] 点Qは第1象限にあって，$\text{OQ}=\text{QP}=1$を満たす．
\mon[(c)] 点Rは第1象限にあって，$\text{OR}+\text{RP}=2$を満たし，かつ線分RPが$x$軸に垂直となる．
ただし，座標軸は第1象限に含めないものとする．このとき以下の各問いに答えよ．
(1)上の条件を満たす2点Q，Rが存在するような，点Pの$x$座標が取りうる値の範囲を求めよ．
(2)(1)の範囲を点Pが動くとき，線分QRが通過する領域を図示し，その面積を求めよ．
(3)線分OPの中点をMとする．(1)の範囲を点Pが動くとき，四角形MPRQの面積を最大にする点Pの$x$座標を求めよ．
国立 群馬大学 2011年 第1問斜辺の長さが$a$，面積が$b$である直角三角形が存在するとき，座標平面上の点$(a,\ b)$の存在範囲を図示せよ．
国立 茨城大学 2011年 第2問点A，BをA$(-1,\ 5)$，B$(2,\ -1)$とする．実数$a,\ b$について直線$y=(b-a)x-(3b+a)$が線分ABと共有点をもつとする．点P$(a,\ b)$の存在する領域を図示せよ．
国立 宮崎大学 2011年 第5問方程式$\tan x=x$について，次の各問に答えよ．ただし，必要であれば，$\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2}$を満たす$x$について，不等式$\sin x <x < \tan x$が成り立つことを用いてもよい．
(1)各自然数$n$について，$\displaystyle n\pi-\frac{\pi}{2}<x<n\pi+\frac{\pi}{2}$の範囲に方程式$\tan x=x$の解がただ1つ存在することを示せ．
(2)各自然数$n$について，(1)で存在が示された解を$x_n$とする．このとき，極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}n \left( n\pi+\frac{\pi}{2}-x_n \right)$を求めよ．
(1)各自然数$n$について，$\displaystyle n\pi-\frac{\pi}{2}<x<n\pi+\frac{\pi}{2}$の範囲に方程式$\tan x=x$の解がただ1つ存在することを示せ．
(2)各自然数$n$について，(1)で存在が示された解を$x_n$とする．このとき，極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}n \left( n\pi+\frac{\pi}{2}-x_n \right)$を求めよ．
国立 山口大学 2011年 第4問2つの関数$y=ax^2+b,\ y=|(x-1)(x+1)|$のグラフが共有点をもつための必要十分条件を$a,\ b$を用いて表し，点$(a,\ b)$の存在する領域を座標平面上に図示しなさい．