$\ell_1,\ \ell_2,\ \ell_3$を座標空間の点Oを始点とする3つの相異なる半直線とする．$\ell_1$と$\ell_2$及び$\ell_1$と$\ell_3$がOにおいてなす角は$\displaystyle \frac{\pi}{3}$であるとし，$\ell_2$と$\ell_3$がOにおいてなす角を$\displaystyle \theta \ \left( 0<\theta \leqq \frac{2\pi}{3} \right)$とする．Oとは異なる$\ell_1,\ \ell_2,\ \ell_3$上の3点P$_1$，P$_2$，P$_3$を頂点とする正三角形が存在するような$\cos \theta$の範囲を求めよ．

以下では，実数を成分にもつ行列を考える．

(1)$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
0 & d
\end{array} \right)$とする．

(i) $a>0,\ d \geqq 0$または$a \geqq 0,\ d>0$のとき，$X^2=A$を満たす行列$X$を1つ求めよ．
(ii) $a<0$または$d<0$のとき，$X^2=A$を満たす行列$X$が存在するための必要十分条件を$a,\ b,\ d$を用いて表せ．また，この条件が成り立つとき，$X^2=A$を満たす行列$X$を1つ求めよ．
(iii) $a=d=0,\ b \neq 0$のとき，$X^2=A$を満たす行列$X$は存在しないことを示せ．

(2)$B=\left( \begin{array}{cc}
p & q \\
r & s
\end{array} \right),\ B^2=\left( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} \right)$とする．

(i) $p+s=0,\ ps-qr=0$となることを示せ．
(ii) $B \neq \left( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} \right)$のとき，$X^2=B$を満たす行列$X$は存在しないことを示せ．

正の奇数$p$に対して，$3$つの自然数の組$(x,\ y,\ z)$で，$x^2+4yz=p$を満たすもの全体の集合を$S$とおく．すなわち，
\[ S=\left\{ (x,\ y,\ z) \;\Big|\; x,\ y,\ z \text{は自然数，} x^2+4yz=p \right\} \]
次の問いに答えよ．

(1)$S$が空集合でないための必要十分条件は，$p=4k+1 \ (k \text{は自然数})$と書けることであることを示せ．
(2)$S$の要素の個数が奇数ならば$S$の要素$(x,\ y,\ z)$で$y=z$となるものが存在することを示せ．

曲線$C:y=\log x$上に異なる$2$点$\mathrm{A}(a,\ \log a)$，$\mathrm{B}(b,\ \log b)$をとり，$C$の$\mathrm{A}$における接線と$\mathrm{B}$における接線の交点について考える．次の問いに答えよ．

(1)任意に与えられた$a>1$に対して，$2$本の接線の交点がちょうど直線$x=1$上にくるような$b$が唯一つだけ存在し，$b<1$であることを示せ．
(2)$2$点$\mathrm{A}(a,\ \log a)$，$\mathrm{B}\displaystyle \left( \frac{1}{a},\ \log \frac{1}{a} \right) \ (a>1)$について，$2$本の接線の交点の$x$座標が$1$より大きいか小さいかを調べよ．
(3)$k$を自然数とする．$\displaystyle a=1+\frac{1}{k}$として(2)の結果を使って，次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} > \frac{1}{2} \left( 1+\frac{1}{n} \right) +\log n \quad (n \geqq 2) \]

関数$f(x)=2 \sin x-x \cos x \ (0 \leqq x \leqq \pi)$について，次の問いに答えよ．

(1)$f(x)$の導関数を$f^\prime(x)$とするとき，$\displaystyle \frac{\pi}{2} \leqq a \leqq \pi$および$f^\prime(a)=0$を満たす$a$がただ1つ存在することを示せ．
(2)(1)の$a$を用いて，関数$y=f(x)$の増減，グラフの凹凸および変曲点を調べ，そのグラフの概形をかけ．
(3)(1)の$a$について，$0<t<a$とするとき，
\[ S(t)=\int_0^a |f(x)-f(t)| \, dx \]
が最小となるような$t$の値を$a$を用いて表せ．

$a$を正の定数とする．放物線$C:y=(1-x)(x+a)$と$C$上の動点$\mathrm{P}(t,\ (1-t)(t+a))$について，次の問に答えよ．ただし，$0<t<1$とする．

(1)$x$軸に関して$\mathrm{P}$と対称な点を$\mathrm{Q}$，$xy$平面の原点を$\mathrm{O}$とし，放物線$C$と$y$軸および$2$つの線分$\mathrm{PQ}$，$\mathrm{OQ}$とで囲まれた図形の面積を$S$とするとき，$S$を$t$と$a$で表せ．
(2)$S$を最大にする$t$が$\displaystyle \frac{3}{4}<t<\frac{4}{5}$の範囲に存在することを示せ．

次の問いに答えよ．

(1)$33^{20}$を$90$で割ったときの余りを求めよ．
(2)正六角形$\mathrm{ABCDEF}$において，辺$\mathrm{CD}$の中点を$\mathrm{P}$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{\mathrm{AE}}=\overrightarrow{e}$とおく．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{FP}}$を$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{e}$を用いて表せ．
(3)袋の中に$1$から$10$までの数字が$1$つずつ書かれた$10$個の玉が入っている．この袋から同時に$3$個の玉を取り出す．このとき，取り出された玉の$3$つの数を$3$辺の長さとする三角形が存在する確率を求めよ．

$a,\ b,\ c$を正の整数とするとき，等式
\[ \left( 1+\frac{1}{a} \right) \left( 1+\frac{1}{b} \right) \left( 1+\frac{1}{c} \right)=2 \cdots (*) \]
について次の問いに答えよ．

(1)$c=1$のとき，等式$(*)$を満たす正の整数$a,\ b$は存在しないことを示せ．
(2)$c=2$のとき，等式$(*)$を満たす正の整数$a$と$b$の組で$a \geqq b$を満たすものをすべて求めよ．
(3)等式$(*)$を満たす正の整数の組$(a,\ b,\ c)$で$a \geqq b \geqq c$を満たすものをすべて求めよ．

$k$を実数とする．$x$についての方程式$2^{x+k}-4^x-2^3=0$の実数解について，次の各問に答えよ．

(1)解が存在するときの$k$の条件を求めよ．
(2)正の解と負の解それぞれの個数を求めよ．

$a,\ b$を実数とする．$2$次方程式
\[ x^2+(a-1)x+b+1 = 0 \]
が実数解を持ち、すべての解の絶対値が$1$以下になっているとき，次の問いに答えよ．

(1)点$(a,\ b)$が存在する領域を$D$とする．$D$に含まれる
$a$の最大値は$[ア]$，最小値は$[イ]$，
$b$の最大値は$[ウ]$，最小値は$[エ]$である．
(2)領域$D$の面積は$[オ]$である．