「存在」について
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国立 富山大学 2012年 第2問$x>0$のとき，$\tan \theta =x$となる$\theta$が$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$の範囲にただ1つ存在する．その$\theta$を$f(x)$と表すことにする．
(1)3以上の素数$p$に対して，$\displaystyle f \left( \frac{p}{k} \right)+f \left( \frac{p}{l} \right) = \frac{\pi}{4}$を満たす自然数の組$(k,\ l)$を求めよ．ただし，$k \leqq l$とする．
(2)自然数$m,\ n$について，$\displaystyle \sin \left\{ 2f \left( \frac{m}{n} \right) \right\}$を$m$と$n$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{m=1}^n \sin \left\{ 2f \left( \frac{m}{n} \right) \right\}$を求めよ．
(1)3以上の素数$p$に対して，$\displaystyle f \left( \frac{p}{k} \right)+f \left( \frac{p}{l} \right) = \frac{\pi}{4}$を満たす自然数の組$(k,\ l)$を求めよ．ただし，$k \leqq l$とする．
(2)自然数$m,\ n$について，$\displaystyle \sin \left\{ 2f \left( \frac{m}{n} \right) \right\}$を$m$と$n$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{m=1}^n \sin \left\{ 2f \left( \frac{m}{n} \right) \right\}$を求めよ．
国立 富山大学 2012年 第1問$x>0$のとき，$\tan \theta =x$となる$\theta$が$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$の範囲にただ$1$つ存在する．その$\theta$を$f(x)$と表すことにする．
(1)$\displaystyle f \left( \frac{2}{k} \right)+f \left( \frac{2}{l} \right) = \frac{\pi}{4}$を満たす自然数の組$(k,\ l)$を求めよ．ただし，$k \leqq l$とする．
(2)自然数$m,\ n$について，$\displaystyle \sin \left\{ 2f \left( \frac{m}{n} \right) \right\}$を$m$と$n$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{m=1}^n \sin \left\{ 2f \left( \frac{m}{n} \right) \right\}$を求めよ．
(1)$\displaystyle f \left( \frac{2}{k} \right)+f \left( \frac{2}{l} \right) = \frac{\pi}{4}$を満たす自然数の組$(k,\ l)$を求めよ．ただし，$k \leqq l$とする．
(2)自然数$m,\ n$について，$\displaystyle \sin \left\{ 2f \left( \frac{m}{n} \right) \right\}$を$m$と$n$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{m=1}^n \sin \left\{ 2f \left( \frac{m}{n} \right) \right\}$を求めよ．
国立 富山大学 2012年 第3問$3$次関数$f(x)=x^3+ax^2+b$について，曲線$y=f(x)$上の点$\mathrm{P}(t,\ f(t))$における曲線の接線を$\ell_t$とする．
(1)$\ell_t$の方程式を求めよ．
(2)$\ell_t$が原点を通るような$t$の値がただ$1$つに定まるための$a,\ b$の条件を求めよ．
(3)$a,\ b$が(2)の条件を満たすとき，点$(a,\ b)$が存在する領域を図示せよ．
(1)$\ell_t$の方程式を求めよ．
(2)$\ell_t$が原点を通るような$t$の値がただ$1$つに定まるための$a,\ b$の条件を求めよ．
(3)$a,\ b$が(2)の条件を満たすとき，点$(a,\ b)$が存在する領域を図示せよ．
国立 九州工業大学 2012年 第1問関数$f(x)=kx^3-3kx \ (k>0)$が表す座標平面上の曲線を$C:y=f(x)$とする．曲線$C$上の2点P$(p,\ f(p))$，Q$(ap,\ f(ap))$における接線をそれぞれ$\ell_1,\ \ell_2$とする．ただし，$p>0,\ a \neq 1$とする．以下の問いに答えよ．
(1)点Pにおける接線$\ell_1$の方程式を$k,\ p$を用いて表せ．
(2)点Qにおける接線$\ell_2$が点Pを通るとき，$a$の値を求めよ．
(3)ある$k$に対して2つの接線$\ell_1,\ \ell_2$が点Pにおいて垂直に交わっているとき，$k$を$p$を用いて表せ．また，そのような$k$が存在する$p$の値の範囲を求めよ．
(4)ある$k$に対して2つの接線$\ell_1,\ \ell_2$が点Pにおいて垂直に交わっているとき，接線$\ell_2$と曲線$C$によって囲まれた図形の面積$S$を$p$を用いて表せ．
(1)点Pにおける接線$\ell_1$の方程式を$k,\ p$を用いて表せ．
(2)点Qにおける接線$\ell_2$が点Pを通るとき，$a$の値を求めよ．
(3)ある$k$に対して2つの接線$\ell_1,\ \ell_2$が点Pにおいて垂直に交わっているとき，$k$を$p$を用いて表せ．また，そのような$k$が存在する$p$の値の範囲を求めよ．
(4)ある$k$に対して2つの接線$\ell_1,\ \ell_2$が点Pにおいて垂直に交わっているとき，接線$\ell_2$と曲線$C$によって囲まれた図形の面積$S$を$p$を用いて表せ．
国立 香川大学 2012年 第4問定数$a>0$に対して，$f(x)=ax^3-6ax^2+9ax+1$とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)関数$y=f(x)$の極値を調べて，そのグラフをかけ．
(2)点A，B，Cの座標をそれぞれ$(-1,\ f(-1))$，$(4,\ f(t))$，$(t,\ f(t))$とする．$-1<t<3$のとき，点Cにおける曲線$y=f(x)$の接線と，線分ABとが平行になるような$t$が1つだけ存在することを示せ．
(1)関数$y=f(x)$の極値を調べて，そのグラフをかけ．
(2)点A，B，Cの座標をそれぞれ$(-1,\ f(-1))$，$(4,\ f(t))$，$(t,\ f(t))$とする．$-1<t<3$のとき，点Cにおける曲線$y=f(x)$の接線と，線分ABとが平行になるような$t$が1つだけ存在することを示せ．
国立 香川大学 2012年 第4問定数$a>0$に対して，$f(x)=ax^3-6ax^2+9ax+1$とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)関数$y=f(x)$の極値を調べて，そのグラフをかけ．
(2)点A，B，Cの座標をそれぞれ$(-1,\ f(-1))$，$(4,\ f(t))$，$(t,\ f(t))$とする．$-1<t<3$のとき，点Cにおける曲線$y=f(x)$の接線と，線分ABとが平行になるような$t$が1つだけ存在することを示せ．
(1)関数$y=f(x)$の極値を調べて，そのグラフをかけ．
(2)点A，B，Cの座標をそれぞれ$(-1,\ f(-1))$，$(4,\ f(t))$，$(t,\ f(t))$とする．$-1<t<3$のとき，点Cにおける曲線$y=f(x)$の接線と，線分ABとが平行になるような$t$が1つだけ存在することを示せ．
国立 三重大学 2012年 第4問以下の問いに答えよ．
(1)関数$y=x-e^{-x}$の増減を調べよ．
(2)実数$\alpha$で$\alpha-e^{-\alpha}=0$を満たすものがひとつだけ存在することを示せ．さらに，この$\alpha$は，$0<\alpha<1$を満たすことを示せ．
(3)(2)の$\alpha$と正の整数$n$に対して，
\[ I_n=\int_0^\alpha (xe^{-nx}+\alpha x^{n-1}) \, dx \]
とおく．$I_n$を$\alpha$の多項式として表せ．また，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}n^2 I_n$を求めよ．
(1)関数$y=x-e^{-x}$の増減を調べよ．
(2)実数$\alpha$で$\alpha-e^{-\alpha}=0$を満たすものがひとつだけ存在することを示せ．さらに，この$\alpha$は，$0<\alpha<1$を満たすことを示せ．
(3)(2)の$\alpha$と正の整数$n$に対して，
\[ I_n=\int_0^\alpha (xe^{-nx}+\alpha x^{n-1}) \, dx \]
とおく．$I_n$を$\alpha$の多項式として表せ．また，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}n^2 I_n$を求めよ．
国立 三重大学 2012年 第4問以下の問いに答えよ．
(1)関数$y=|\,x\,|-e^{-x}$の増減を調べよ．
(2)実数$\alpha$で$|\,\alpha\,|-e^{-\alpha}=0$を満たすものがひとつだけ存在することを示せ．さらに，この$\alpha$は，$0<\alpha<1$を満たすことを示せ．
(3)(2)の$\alpha$と正の整数$n$に対して，
\[ I_n=\int_0^\alpha (xe^{-nx}+\alpha x^{n-1}) \, dx \]
とおく．$I_n$を$\alpha$の多項式として表せ．また，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}n^2 I_n$を求めよ．
(1)関数$y=|\,x\,|-e^{-x}$の増減を調べよ．
(2)実数$\alpha$で$|\,\alpha\,|-e^{-\alpha}=0$を満たすものがひとつだけ存在することを示せ．さらに，この$\alpha$は，$0<\alpha<1$を満たすことを示せ．
(3)(2)の$\alpha$と正の整数$n$に対して，
\[ I_n=\int_0^\alpha (xe^{-nx}+\alpha x^{n-1}) \, dx \]
とおく．$I_n$を$\alpha$の多項式として表せ．また，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}n^2 I_n$を求めよ．
国立 お茶の水女子大学 2012年 第2問$\ell_1,\ \ell_2,\ \ell_3$を座標空間の点$\mathrm{O}$を始点とする$3$つの相異なる半直線とする．$\ell_1$と$\ell_2$及び$\ell_1$と$\ell_3$が$\mathrm{O}$においてなす角は$\displaystyle \frac{\pi}{3}$であるとし，$\ell_2$と$\ell_3$が$\mathrm{O}$においてなす角を$\displaystyle \theta \ \left( 0<\theta \leqq \frac{2\pi}{3} \right)$とする．$\mathrm{O}$とは異なる$\ell_1,\ \ell_2,\ \ell_3$上の$3$点$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\mathrm{P}_3$を頂点とする正三角形が存在するような$\cos \theta$の範囲を求めよ．
国立 お茶の水女子大学 2012年 第3問$\ell_1,\ \ell_2,\ \ell_3$を座標空間の点Oを始点とする3つの相異なる半直線とする．$\ell_1$と$\ell_2$及び$\ell_1$と$\ell_3$がOにおいてなす角は$\displaystyle \frac{\pi}{3}$であるとし，$\ell_2$と$\ell_3$がOにおいてなす角を$\displaystyle \theta \ \left( 0<\theta \leqq \frac{2\pi}{3} \right)$とする．$x,\ y$を正数とし，$\ell_1,\ \ell_2,\ \ell_3$上に点P$_1$，P$_2$，P$_3$をそれぞれ，$\text{OP}_1=1,\ \text{OP}_2=x,\ \text{OP}_3=y$となるようにとる．$\triangle$P$_1$P$_2$P$_3$が正三角形となる$x,\ y$が存在するような$\cos \theta$の範囲を求めよ．