数列$\{a_n\}$を次のように定める．
\[ a_1=a_2=a_3=1,\quad a_{n+3}=a_{n+1}+a_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]

(1)$a_{n+1} \leqq a_{n+2} \leqq 2a_n$を示せ．
(2)$a_n \leqq \sqrt{2^n}$を示せ．
さらに，数列$\{b_n\}$を
\[ b_n=\left\{ \begin{array}{ll}
0 & a_n \ \text{が偶数のとき} \\
1 & a_n \ \text{が奇数のとき}
\end{array} \right. \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
によって定める．また，自然数$k$に対して，条件
\[ p_k \ \text{：すべての自然数} \ n \ \text{について} \ b_{n+k}=b_n \ \text{が成り立つ} \]
を考える．以下の問いに答えよ．
(3)条件$p_k$を満たす最小の自然数$k$を求めよ．
(4)$p,\ q,\ r$を整数とし，数列$\{a_n\}$の$a_1,\ a_2,\ a_3$を$a_1=p,\ a_2=q,\ a_3=r$に置き換え，数列$\{b_n\}$もそれにあわせて置き換える．$p,\ q,\ r$をどのように選んでも，条件$p_k$を満たす自然数$k$が存在することを示せ．

$2$次の正方行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$に対して，$\Delta (A)=ad-bc$とおく．たとえば単位行列$E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$に対しては$\Delta (E)=1 \times 1-0 \times 0=1$となる．また$K=\left( \begin{array}{cc}
2 & 3 \\
5 & 7
\end{array} \right)$に対しては$\Delta (K)=2 \times 7-3 \times 5=-1$となる．次の各問いに答えよ．

(1)$P=\left( \begin{array}{cc}
0 & 1 \\
2 & 3
\end{array} \right),\ Q=\left( \begin{array}{cc}
1 & 2 \\
3 & 4
\end{array} \right)$に対して$R=PQ$とおく．$\Delta (P),\ \Delta (Q),\ \Delta (R)$を計算し，$\Delta (R)=\Delta (P) \Delta (Q)$が成り立つことを確かめよ．
(2)すべての$2$次の正方行列$A,\ B$に対して，$C=AB$とおくと$\Delta (C)=\Delta (A) \Delta (B)$が成り立つことを示せ．
(3)$X^2=\left( \begin{array}{cc}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{array} \right)$となる$2$次の正方行列$X$ですべての成分が実数であるようなものは存在しないことを示せ．
(4)$2$次の正方行列$A$に逆行列$B$が存在したとする．$A$と$B$の成分がすべて整数ならば，$\Delta (A)$は$1$か$-1$のどちらかである．このことを示せ．

実数$a$に対し，行列$X(a)$を
\[ X(a)=\frac{1}{a^2+1} \left( \begin{array}{cc}
2a^2+1 & -a \\
-a & a^2+2
\end{array} \right) \]
と定める．

(1)ベクトル$\left( \begin{array}{c}
x_0 \\
y_0
\end{array} \right)$を考える．ベクトル$\left( \begin{array}{c}
x_0 \\
y_0
\end{array} \right)$，$X(a) \left( \begin{array}{c}
x_0 \\
y_0
\end{array} \right)$の大きさをそれぞれ$l_0,\ l_1$とおく．このとき
\[ l_0 \leqq l_1 \]
を示せ．ただしベクトル$\left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right)$の大きさとは$\sqrt{x^2+y^2}$のことである．
(2)(1)で$l_0=l_1$となるとき，$X(a) \left( \begin{array}{c}
x_0 \\
y_0
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
x_0 \\
y_0
\end{array} \right)$を示せ．
(3)$a,\ b$が異なる実数のとき，${X(a)}^m={X(b)}^n$となるような正の整数$m,\ n$は存在しないことを示せ．

$X_1=\left( \begin{array}{cc}
1 & 2 \\
-2 & 1
\end{array} \right)$，$X_2=\left( \begin{array}{cc}
6 & 5 \\
1 & 3
\end{array} \right)$，
\[ \begin{array}{r}
X_n=\left( \begin{array}{cc}
\displaystyle\frac{9}{4} & \displaystyle\frac{3}{2} \\
-\displaystyle\frac{1}{2} & \displaystyle\frac{1}{2}
\end{array} \right)X_{n-1}-\left( \begin{array}{cc}
\displaystyle\frac{5}{4} & \displaystyle\frac{3}{2} \\
-\displaystyle\frac{1}{2} & -\displaystyle\frac{1}{2}
\end{array} \right)X_{n-2}+\left( \begin{array}{cc}
\displaystyle\frac{1}{4} & \displaystyle\frac{3}{2} \\
-\displaystyle\frac{1}{2} & -\displaystyle\frac{3}{2}
\end{array} \right) \\
(n=3,\ 4,\ 5,\ \cdots)
\end{array} \]
で定義される$2$次の正方行列の列がある．このとき，以下の問に答えよ．

(1)$A=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
1 & 0
\end{array} \right)$，$B=\left( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
-1 & 1
\end{array} \right)$，$C=\left( \begin{array}{cc}
\displaystyle\frac{5}{4} & \displaystyle\frac{3}{2} \\
-\displaystyle\frac{1}{2} & -\displaystyle\frac{1}{2}
\end{array} \right)$，$P=\left( \begin{array}{cc}
2 & 3 \\
1 & 1
\end{array} \right)$とする．$C=P^{-1}(kA+lB)P$を満たす実数$k$と$l$を求めよ．
(2)$C+C^2+\cdots +C^n=\left( \begin{array}{cc}
\alpha_n & \beta_n \\
\gamma_n & \delta_n
\end{array} \right) \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする．このとき，極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\alpha_n$，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\beta_n$，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\gamma_n$，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\delta_n$を求めよ．
(3)$X_n=\left( \begin{array}{cc}
a_n & b_n \\
c_n & d_n
\end{array} \right) \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$としたとき，極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}b_n$，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}c_n$，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}d_n$が存在するかどうかを考察し，存在する場合はその値を求めよ．

放物線$y=x^2$を$C_1$，$C_1$と異なる放物線$y=ax^2+bx+c \ (a \neq 0)$を$C_2$とする．

(1)$a=1$のとき，$C_1$と$C_2$の両方に接する直線は最大でも$1$本しか存在しないことを示せ．
(2)$a=1$のとき，条件$b \neq 0$は条件

$C_1$と$C_2$の両方に接する直線が$1$本だけ存在する

の必要十分条件であることを示せ．
(3)条件$p_1,\ p_2,\ q_1,\ q_2$を次で定める．
\[ \begin{array}{ll}
p_1:C_2 \text{は下に凸である．} & p_2:C_2 \text{は上に凸である．} \\
q_1:C_1 \text{と} C_2 \text{が異なる}2 \text{点で交わる．} & q_2:C_1 \text{と} C_2 \text{が交わらない．}
\end{array} \]
$a \neq 1$のとき，条件

$p:$「$p_1$かつ$q_1$」または「$p_2$かつ$q_2$」

は条件

$q:C_1$と$C_2$の両方に接する直線が$2$本存在する

の必要十分条件であることを示せ．

座標平面上に$2$点$\mathrm{A}(t,\ t)$，$\mathrm{B}(t-1,\ -t+1)$をとり，線分$\mathrm{AB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{P}$とする．

(1)$t$がすべての実数を動くとき，点$\mathrm{P}$の軌跡を求めよ．
(2)直線$\mathrm{AB}$の方程式を$t$を用いて表せ．
(3)$(2)$で求めた方程式を満たす実数$t$が存在するための$x,\ y$についての条件を求め，条件を満たす点$(x,\ y)$全体の領域$D$を座標平面内に図示せよ．
(4)$(1)$で求めた点$\mathrm{P}$の軌跡の方程式を$y=f(x)$とする．連立不等式
\[ y \geqq x,\quad y \geqq -x,\quad y \leqq 1,\quad y \geqq f(x) \]
の表す領域と領域$D$の共通部分の面積を求めよ．

$2$つの不等式
\[ \left\{ \begin{array}{ll}
3x^2-7x-6>0 & \cdots\cdots① \\
x^2-(a-1)x+2a-6<0 & \cdots\cdots②
\end{array} \right. \]
について考える．ただし，$②$において$a$は$a>5$を満たす実数とする．以下の各問に答えよ．

(1)不等式$①$を満たす$x$の範囲を求めよ．
(2)不等式$①,\ ②$を同時に満たす$x$の値が存在するような$a$の値の範囲を求めよ．

次の$[　]$に適切な答えを入れよ．

(1)$\displaystyle \sin (\theta+\frac{2}{3}\pi)+\cos (\theta+\frac{1}{6}\pi)$を$r \sin (\theta+\alpha)$と表せば，$r=[ア]$，$\alpha=[イ]$である．ただし，$0 \leqq \alpha<2\pi$とする．
(2)$a>0$とするとき，$3$辺の長さが$a,\ a^2,\ a^3$となる三角形が存在するのは，$[ウ]<a<[エ]$のときである．

$[　]$の中に答を入れよ．

(1)実数$a$に対して，$2$つの関数
\[ f(x)=x^2+4ax+8,\quad g(x)=-x^2+(2a-2)x-10 \]
を考える．このとき，$g(x) \geqq f(x)$となる$x$が存在するような$a$の値の範囲は$[ア]$である．また，$f(x)$の最小値が$g(x)$の最大値より大きくなるような$a$の値の範囲は$[イ]$である．
(2)$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，$x=\sin \theta+\cos \theta$のとりうる値の範囲は$[ウ]$であり，$y=\sin 2\theta+2(\sin \theta+\cos \theta)$のとりうる値の範囲は$[エ]$である．
(3)以下の$4$つの数のうち，$1$番大きな数は$[オ]$であり，$1$番小さな数は$[カ]$である．
\[ 7^{777},\quad 10^{7 \log_{10}7},\quad 7^{(7^7)},\quad 7777777 \]
(4)$r$を正の実数とする．円$x^2+(y-1)^2=r^2$と曲線$y=x^2$が$x>0$の範囲に異なる$2$つの交点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$をもつような$r$の値の範囲は$[キ]$である．さらに，この$r$の範囲で$\displaystyle \mathrm{PQ}=\frac{\sqrt{5}}{2}$が成り立つ$r$の値は$r=[ク]$である．

$3$つの実数$x,\ y,\ 12-x^2$を$3$辺の長さとする三角形が描けるような点$\mathrm{P}(x,\ y)$が存在する領域を平面上に図示せよ．また，その領域の面積を求めよ．