$a$と$b$を実数とする．$2$次正方行列
\[ X=\left( \begin{array}{cc}
a & -b \\
b & a
\end{array} \right) \]
の逆行列が存在するとし，$A$を等式
\[ AX=\left( \begin{array}{cc}
-2a & -2b \\
-2b & 2a
\end{array} \right) \]
を満たす$2$次正方行列とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$X^{-1}AX$を求めよ．
(2)$n$が正の偶数のとき，$A^n$を求めよ．
(3)$n$が正の偶数のとき，$(A^{-1})^n$を求めよ．

任意の$2$次の正方行列$M=\left( \begin{array}{cc}
p & q \\
r & s
\end{array} \right)$に対し，$D(M)=ps+3qr$，$T(M)=p+s$とする．また，$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right),\ B=\left( \begin{array}{cc}
d & b \\
c & a
\end{array} \right)$とし，$D(AB)=D(A)D(B)$が成り立つものとする．

(1)$bc=0$が成り立つか，または$A$の逆行列が存在しないことを示せ．
(2)自然数$n$に対し，$T(A^n)$を求めよ．

$\log_{10}3=a$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)$3^{20}>10^9,\ 3^{25}<10^{12}$を示せ．
(2)$0.45<a<0.48$を示せ．
(3)$6.54<15a-a^2<6.97$を示せ．
(4)次の$2$つの不等式をともにみたす実数の組$(x,\ y)$は存在しないことを示せ．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x^2-2(1+a)x+y^2-4(2-a)y+a^2-2a+8 \leqq 0 \\
x^2-6(2+a)x+y^2-2(3-a)y+9a^2+38a+29 \leqq 0
\end{array} \right. \]

関数$f(x)=x^3e^{-9x}$と実数$a$に対して，次の問いに答えよ．

(1)導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)$-1 \leqq x \leqq 1$の範囲で，$f(x)=a$をみたす実数$x$の個数を求めよ．
(3)$\displaystyle -\frac{5}{3}\pi \leqq \theta \leqq \frac{5}{3}\pi$の範囲で，$f(\cos \theta)=a$をみたす実数$\theta$がちょうど$6$個存在するような$a$の範囲を求めよ．

以下の各問に答えよ．

(1)不等式$x+|y-1| \leqq 1$の表す領域を図示せよ．
(2)$a$を実数とする．このとき，
\[ A \left( \begin{array}{c}
1 \\
2
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
3 \\
1 \\
2
\end{array} \right) \quad \text{かつ} \quad A \left( \begin{array}{c}
2 \\
a
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
2 \\
1 \\
3
\end{array} \right) \]
を満たす行列$A$が存在するかどうかを調べよ．存在するときは$A$を求め，存在しないときは「存在しない」と答えよ．

$\triangle \mathrm{OAB}$において，辺$\mathrm{OA}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{OB}$の長さを$1$，$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=k$とする．このとき，辺$\mathrm{OB}$上の点$\mathrm{Q}$に関して，次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=s \overrightarrow{\mathrm{OB}} \ (0 \leqq s \leqq 1)$のとき，$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$と$s$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=s \overrightarrow{\mathrm{OB}} \ (0 \leqq s \leqq 1)$かつ$\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|=\frac{1}{3}|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$のとき，等式$9s^2-6ks+2k-1=0$が成り立つことを示せ．
(3)$\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|=\frac{1}{3}|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$を満たす点$\mathrm{Q}$が辺$\mathrm{OB}$上にただ$1$つ存在するような$k$の値の範囲を求めよ．ただし，点$\mathrm{Q}$が辺$\mathrm{OB}$上に存在するとは，$\mathrm{Q}$が$\mathrm{O}$または$\mathrm{B}$と一致する場合を含むものとする．

さいころを$4$回投げて，$k$回目（$k=1,\ 2,\ 3,\ 4$）に出る目の数を$X_k$とする．$1$から$6$までの目は等確率で出るものとするとき，以下の問いに答えよ．

(1)$j,\ k \ (j<k)$は数の集合$\{1,\ 2,\ 3,\ 4\}$を動くものとする．$X_1,\ X_2,\ X_3,\ X_4$の中で，$X_j=X_k$となる組$\{j,\ k\}$が少なくとも$1$つ存在する事象を$A$，$X_j=X_k$となる組$\{j,\ k\}$がただ$1$つ存在する事象を$B$，同じ目がちょうど$3$つ出る事象を$C$とする．確率$P(A)$，$P(B)$，$P(C)$をそれぞれ求めよ．
(2)$A$が起こったときの和事象$B \cup C$の条件つき確率$P_A(B \cup C)$を求めよ．
(3)$X_1,\ X_2,\ X_3,\ X_4$の値を小さい順に並べ替えて，$X_{(1)} \leqq X_{(2)} \leqq X_{(3)} \leqq X_{(4)}$を定める．例えば，$X_1=3,\ X_2=2,\ X_3=6,\ X_4=2$の場合，$X_{(1)}=2,\ X_{(2)}=2,\ X_{(3)}=3,\ X_{(4)}=6$である．確率$P(X_{(1)}=4)$と$P(X_{(1)}=X_{(2)}=4)$をそれぞれ求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)関数$y=x \log x-x \ (x>0)$の増減を調べ，そのグラフをかけ．
(2)$a$を正の実数とする．曲線$C:y=\log (x+1)$上の点$(t,\ \log (t+1))$における接線$\ell_t$が，曲線$C_a:y=a \log x$上の点$(s,\ a \log s)$における接線にもなっているとき，$t$と$s$の関係を$a$を含まない式で表せ．
(3)任意に与えられた$t>-1$に対して，直線$\ell_t$が曲線$C_a$の接線にもなっているような$a$が唯一つ存在すること，および$a>1$であることを示せ．
(4)直線$\ell_t$が曲線$C_a$の接線になっているとき，その接点の$x$座標を$s(t)$とかくことにする．$s(t)$を$t$の関数とみて増減を調べ，さらに$\displaystyle \lim_{t \to \infty}(s(t)-t)$を求めよ．

$f(x)=x^3-x+5$として，曲線$y=f(x)$を$C$とする．点$\mathrm{P}(a,\ f(a))$における$C$の接線を$\ell$，法線を$n$とする．以下の各問に答えよ．ただし，点$\mathrm{P}$における$C$の法線とは，点$\mathrm{P}$を通り，かつ点$\mathrm{P}$における$C$の接線に直交する直線のことである．

(1)$\ell,\ n$の方程式をそれぞれ求めよ．
(2)$\ell$と$C$の共有点で，$\mathrm{P}$以外のものの個数を求めよ．
(3)$\displaystyle |a|<\frac{1}{\sqrt{3}}$のときには，$n$と$C$との共有点が$\mathrm{P}$以外にも存在することを示せ．

$2$次の正方行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$について以下の問いに答えよ．ただし，$a,\ b,\ c,\ d$は実数とする．

(1)$A^2=\left( \begin{array}{cc}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{array} \right)$を満たす$A$は存在しないことを示せ．
(2)$A^2=\left( \begin{array}{cc}
0 & 1 \\
-1 & 0
\end{array} \right)$を満たす$A$をすべて求めよ．
(3)(2)で求めた$A$のそれぞれについて$A+A^2+A^3+\cdots +A^{2013}$を求めよ．