$n$を$4$以上の整数とする．$1$番から$n$番までの番号がふられたボールが$1$つずつある．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)以下のような操作でボールを$1$列に並べる：

(i) $1$番のボールを適当な位置におく．
(ii) $2$番のボールを$1$番のボールの左または右に同じ確率でおく．
(iii) $3$番のボールをすでに並んでいる$2$つのボールの左または間または右に同じ確率でおく．
\mon[$\tokeishi$] 以下$n$番まで番号順に，$k$番のボールを，すでに並んでいるボールの一番左または間または一番右に同じ確率でおく，ことを繰り返す．

例えば，左から$2$番，$1$番，$3$番のボールが並んでいるとき，$4$番のボールが$2$番と$1$番の間におかれる確率は$\displaystyle \frac{1}{4}$である．
$n$番のボールをおき終えたとき，$i$番のボールが左から$j$番目に並ぶ確率は$\displaystyle \frac{1}{n}$であることを証明せよ．ただし，$i$と$j$は$1$以上，$n$以下の整数とする．
(2)$(1)$のボールの列を，（左から）番号順に並び替えるため，以下の操作を考える：
隣り合った$2$つのボールの組で，左のボールの番号が右のそれより大きなもの（入れ替え可能な組と呼ぶ）が存在するとき，そのようなボールの組を$1$つ選び，入れ替える．
入れ替え可能な組が複数あった場合に，入れ替える組をどのように選んだとしても，この操作を繰り返すことにより，すべてのボールの列は，必ず番号順の列になることを証明せよ．
(3)$(2)$の操作の回数は，入れ替える組の選び方とは無関係であることを証明せよ．
(4)$(2)$においてボールの列を番号順に並べ替えるとき，$i$番のボールを，より番号の小さいボールと入れ替える回数の期待値を$E_i$とする．このとき，
\[ \sum_{i=1}^n E_i \]
を求めよ．

$1$個のサイコロを$1$回投げるごとに，出た目によって，点$\mathrm{P}$が座標平面上を，次の規則に従って動くものとする．

最初は原点にあり，偶数が出た場合は$x$軸の正の方向に出た目の数だけ進み，奇数が出た場合は$y$軸の正の方向に出た目の数だけ進む．

点$\mathrm{P}$の到達点の座標を$(x_0,\ y_0)$とする．以下の問いに答えよ．

(1)サイコロを$3$回投げたとき，$x_0=0$かつ$y_0=9$となる確率を求めよ．
(2)サイコロを$n$回投げたとき，$x_0=2n+2$かつ$y_0=0$となる確率を$n$を用いて表せ．
(3)サイコロを$2$回投げたとき，$\mathrm{P}$が$\displaystyle \frac{x_0}{2}<y_0<-\frac{{x_0}^3}{4}+8$の表す領域に存在する確率を求めよ．
(4)サイコロを$2$回投げたとき，$\mathrm{P}$が${x_0}^2+{y_0}^2-8x_0-2y_0+13>0$の表す領域に存在する確率を求めよ．

$n$を自然数とし，整式$x^n$を整式$x^2-2x-1$で割った余りを$ax+b$とする．このとき$a$と$b$は整数であり，さらにそれらをともに割り切る素数は存在しないことを示せ．

$n$と$k$を自然数とし，整式$x^n$を整式$(x-k)(x-k-1)$で割った余りを$ax+b$とする．

(1)$a$と$b$は整式であることを示せ．
(2)$a$と$b$をともに割り切る素数は存在しないことを示せ．

$4$個の整数
\[ n+1,\quad n^3+3,\quad n^5+5,\quad n^7+7 \]
がすべて素数となるような正の整数$n$は存在しない．これを証明せよ．

平面上の2つのベクトル$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$はそれぞれの大きさが1であり，また平行でないとする．次の問いに答えよ．

(1)$t \geqq 0$であるような実数$t$に対して，不等式
\[ 0<|\overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}|^2 \leqq (1+t)^2 \]
が成立することを示せ．
(2)$t \geqq 0$であるような実数$t$に対して$\displaystyle \overrightarrow{p}=\frac{2t^2 \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}|^2}$とおき，$f(t)=|\overrightarrow{p}|$とする．このとき，不等式
\[ f(t) \geqq \frac{2t^2}{(1+t)^2} \]
が成立することを示せ．
(3)$f(t)=1$となる正の実数$t$が存在することを示せ．

次の問いに答えよ．

(1)式
\[ 1=\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3} \]
をみたす自然数の組$(a_1,\ a_2,\ a_3)$で，$1 \leqq a_1 \leqq a_2 \leqq a_3$となるものをすべて求めよ．
(2)$r$を正の有理数とする．式
\[ r=\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3} \]
をみたす自然数の組$(a_1,\ a_2,\ a_3)$で，$1 \leqq a_1 \leqq a_2 \leqq a_3$となるものは有限個しかないことを証明せよ．ただし，そのような組が存在しない場合は$0$個とし，有限個であるとみなす．

$xy$平面上に4点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(-1,\ 2)$，$\mathrm{B}(2,\ 1)$，$\mathrm{P}(u,\ v)$がある．点$\mathrm{P}$が
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cos \alpha+\overrightarrow{\mathrm{OB}} \sin \beta \qquad (\text{ただし，} 0 \leqq \alpha \leqq \pi,\ 0 \leqq \beta \leqq \pi) \]
を満たすとき，点$\mathrm{P}$の存在する領域を図示せよ．

$a,\ b$を実数とする．次の問いに答えよ．

(1)$f(x)=a \cos x+b$が，
\[ \int_0^\pi f(x) \, dx=\frac{\pi}{4}+\int_0^\pi \{f(x)\}^3 \, dx \]
をみたすとする．このとき，$a,\ b$がみたす関係式を求めよ．
(2)(1)で求めた関係式をみたす正の数$b$が存在するための$a$の条件を求めよ．

次の命題$\mathrm{P}$を証明したい．

命題$\mathrm{P}$ \quad 次の$2$条件(a)，(b)をともに満たす自然数（$1$以上の整数）$A$が存在する．

(a) $A$は連続する$3$つの自然数の積である．
(b) $A$を$10$進法で表したとき，$1$が連続して$99$回以上現れるところがある．


以下の問いに答えよ．

(1)$y$を自然数とする．このとき不等式
\[ x^3+3yx^2<(x+y-1)(x+y)(x+y+1)<x^3+(3y+1)x^2 \]
が成り立つような正の実数$x$の範囲を求めよ．
(2)命題$\mathrm{P}$を証明せよ．